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《第2章 随机事件的概率》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜。已知这堆球的数量是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　）
A． B． C． D．
2． 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为(　　)
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
3．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．
A． B． C． D． E．
5．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
6．一个不透明的袋中装有大小质感等相同的 1个红球，2个黄球.先从袋中随机摸出1个，放回摇匀，再从袋中随机摸出1个.第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是(　　)
A． B． C． D．
7．在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
8．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．已知一次函数(k≠0)，k从2，-3中随机取一个值，b从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　．
12．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是　 　．
13．有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为　 　 ．
14．取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　 　.
15．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为　 　．
16．从-2，2，3这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　.
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知甲同学手中藏有三张分别标有数 ， ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数1，3，2的卡片，所有卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们所标的数分别记为a，b.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订一个游戏规则：若所选出的a，b能使得方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.这个游戏规则公平吗 请用概率知识解释.
18．某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩频数分布表
等级 成绩x (分) 频数
A 90≤x≤100 n
B 80≤x<90 18
C 70≤x<80 m
D 60≤x<70 4
E x<60 2
统计B等级测试成绩 (单位：分)如下：
80， 81， 83， 83， 83， 83， 85， 85， 86， 86， 87， 88， 88， 88， 88， 89， 89， 89， 请根据以上信息， 解答下列问题：
（1）参赛学生总人数为　 　人，成绩频数分布表中m=　 　，n=　 　；
（2）参赛学生此次成绩的中位数是　 　；
（3） 若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率.
19．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享.学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D(字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》)，这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装人一个不透明的盒子中.每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书.
（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为　 　；
（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回.请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率.
20．为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成，其中“一”表示阳爻，“－－”表示阴爻.
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是　 　；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率.
22．某校开展“典藉里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择；A. 《论语》，B. 《史记》，C. 《天工开物》、D. 《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表。如图所示.
课程 内容 人数
A 《论语》 21
B 《史记》 9
C 《天工开物》 12
D 《九章算术》 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，表中m的值为　 　：
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报履示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率.
23．为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅.活动项目如下表所示：
项目 主题
A 红色光影—革命事迹影展
B 红色工坊 —抽章主题手作
C 红色出发—重走红色五卅
D 红色讲述—苏州解放故事
甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加.
（1）甲同学选择项目C的概率为　 　；
（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率.(请用树状图或列表等方法说明理由)
24． AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用.使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别 平均数/分 中位数/分 众数/分
数字人模型 a b 7
AI助教模型 8 8 c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：当m能被3整除时，后取球的人必胜
当m除以3有余数时，先取球的人必胜
m共有2022个值
且且
先取球必胜的m的个数为
故答案为：C.
【分析】先求出所有可能的m的个数，由于只有当球数m能被3整除时后取球的人才能获胜，因此需要求出从4开始到2025这2022个数字中不能被3整除的数字个数；由于连续3个自然数中恰好有两个不能被3整除，因此先取球的人获胜的概率为.
2．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设放入的黑球为x个，则共有（x+1）个球，一共出现的情况数为x（x+1），其中摸出两个黑球的有x（x-1）种，摸出一白一黑的有2x种，
P（摸出两黑）=，（摸出一白一黑）=，
（摸出一白一黑）（摸出两黑），
，
解得：x=3，
经检验，当x=3时，，x=3是原方程的解，
放入的黑球个数为3个.
故答案为：A.
【分析】设放入的黑球为x个，分别表示出摸出两个黑球的概率，摸出一白一黑的概率，利用（摸出一白一黑）（摸出两黑），建立方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：如图，每个小方格有种等可能情况，
∴一共有种等可能情况，
在如图中有种等可能情况，
另外小单元有四个，
∴共有种等可能情况，
∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是，
故选：C．
【分析】求出所有等可能的结果，再求出有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，
第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为．
故答案为：B.
【分析】画出树状图得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
7．【答案】D
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：正方形、圆、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，
设“正方形、圆、平行四边形、菱形”的卡片分别为“A、B、C、D”，其中“A、B、D”既是轴对称图形又是中心对称图形，列表如下，
　 A B C D
A 　 （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） 　 （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） 　 （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） 　
∴翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故选：D．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出既是中心对称图形又是轴对称图形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列举出所有等可能的结果如下：
-
-
-
-
由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码，
∴他设置的密码不会被系统排除的概率是．
故答案为：B.
【分析】先通过列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
∴共有6种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第一、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，
∴该一次函数的图象经过一、三、四象限的概率为=．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出符合条件的情况数，再利用树状图求出概率即可.
10．【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故答案为：D．
【分析】先求出概率，再设不规则图案的面积为，利用概率的定义可得，再求出x的值即可.
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：总面积为16，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【分析】根据题意可得：总面积为16，其中阴影部分面积为7，然后利用几何概率公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意列表求和如下：
1 3 6
1 2 4 7
3 4 6 9
6 7 9 12
∵点P经过两次运动后到达点C，且转动一圈为5次，
∴点P两次运动的数字和为2或7或12，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有4种，
∴点P经过两次运动后到达点C的概率是．
故答案为：
【分析】本题考查列表法求概率及正多边形的性质。通过列表法列出两次抽取卡片数字和的所有等可能结果，再根据正五边形的边长特得到点P两次运动的数字和为2或7或12，最后利用概率公式计算概率即可求解。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 .
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
14．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由电路图可知，闭合开关 和 时，小灯泡发光.
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果
有： 共2种，
∴使得小灯泡发光的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及使得小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数；用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意：
∴当a<0时，此方程有实数根，
∴当a=-2，b=2或a=-2，b=3这两种情况符合题意，
∵a、b的取值共有
，，，，，共6种等可能的结果，
∴P(关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0有实数根)=
故答案为： .
【分析】利用根的判别式确定a的范围，再根据概率公式求即可.
17．【答案】（1）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，即
( ，3)，( ，2)，(1，1)，(1，3)，(1，2)
（2）解：当 时， 0，此时方程 无实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时、 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当a=1，b=1时， 此时方程 无实数根；
当a=1，b=3时，( 此时方程 有两个不相等的实数根；
当a=1，b=2时， 此时方程 有两个相等的实数根，
∴P(甲获胜)
∴P(乙获胜)
∴P(甲获胜)>P(乙获胜)，
∴这个游戏规则对甲有利，不公平
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意用树状图列出所有可能的结果；
（2）把（1）中所有情况都进行分析，通过计算判断根的情况，进而得出答案.
18．【答案】（1）40；12；4
（2）
（3）解：A等级中共有4名学生，分别记为甲、乙、丙(小佳)、丁(小亮)，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小佳和小亮两人同时被选中的结果有2种，
∴同时抽到小佳和小亮的概率为

【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)参赛学生总人数为： (人)，
n=40-18-12-4-2=4.
故答案为： 40， 12， 4；
(2)数据排序后第20、21个数据为81、83，
∴参赛学生此次成绩的中位数是：
故答案为：82；
【分析】(1)利用B等级的人数以及所占的百分比求出总人数，然后利用C等级所占的百分比求出C等级人数m，再用总人数减去其他组人数求出n即可；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)列树状图得出所有等可能的结果以及同时抽到小佳和小亮的结果数，再利用概率公式解答即可.
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小慧 小智 A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由上表可知，共有16种等可能结果，其中摸出的两个小球上所写字母至少有一个D的结果有7种，
∴P(至少有一个D)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为；
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
20．【答案】（1）解：50；
C等级的学生人数为名，
（2）72
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有 2 种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
故答案为：50；
解：由（1）得，；
故答案为：72；
【分析】（1）用B等级的学生人数除以占比求出调查人数，再用调查人数减去其它等级人数求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以C等级人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）
（2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ．
列表法：
第一卦象 第二卦象
树状图：
由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中满足条件的结果有：，，，，，共6种．
所以所求概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ，根据列表法或画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22．【答案】（1）60；18
（2）解法一：由题可画树状图；
∴P （恰好选到课程A和课程
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有 （人），
故表中 的值为 ．
故答案为：60；18；
【分析】（1）根据C课程人数除以占比求出样本容量，然后运用样本数量减去娶她课程人数求出m的值即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
23．【答案】（1）
（2）解：用表格列出所有等可能的结果：
甲选择的项目 乙选择的项目
A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB cc CD
D DA DB DC DD
∴共有16种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有4种，
∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 甲同学选择项目C的概率为；故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）通过列表得到所有等可能结果，再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
24．【答案】（1）7.2；7；8；30
（2）解：
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种，
∴(抽到2名男生)．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
∴；
一共 个数据从小到大排列，第 和个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第 和个数据都是，
∴中位数为，
即 ；
由扇形统计图可知“助教模型”中 分出现次数最多，
∴ ；
∵扇形统计图中 分占百分比为：，
∴，
即 ；
【分析】本题考查统计量的计算与古典概型的概率求解。
（1）计算平均数a时，根据条形统计图中各分数的对应人数，用加权平均数公式计算；求中位数b时，将20个数据从小到大排序，取第10和第11个数据的平均数；求众数c时，根据扇形统计图判断出现次数最多的分数；求m时，先计算8分对应的圆心角占比，再用1减去其他各分数的占比得到结果；
（2）先通过列表或画树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽到2名男生的结果数，代入概率公式计算对应概率。
1 / 1《第2章 随机事件的概率》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜。已知这堆球的数量是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：当m能被3整除时，后取球的人必胜
当m除以3有余数时，先取球的人必胜
m共有2022个值
且且
先取球必胜的m的个数为
故答案为：C.
【分析】先求出所有可能的m的个数，由于只有当球数m能被3整除时后取球的人才能获胜，因此需要求出从4开始到2025这2022个数字中不能被3整除的数字个数；由于连续3个自然数中恰好有两个不能被3整除，因此先取球的人获胜的概率为.
2． 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为(　　)
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
3．在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设放入的黑球为x个，则共有（x+1）个球，一共出现的情况数为x（x+1），其中摸出两个黑球的有x（x-1）种，摸出一白一黑的有2x种，
P（摸出两黑）=，（摸出一白一黑）=，
（摸出一白一黑）（摸出两黑），
，
解得：x=3，
经检验，当x=3时，，x=3是原方程的解，
放入的黑球个数为3个.
故答案为：A.
【分析】设放入的黑球为x个，分别表示出摸出两个黑球的概率，摸出一白一黑的概率，利用（摸出一白一黑）（摸出两黑），建立方程求解即可.
4．将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．
A． B． C． D． E．
【答案】C
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：如图，每个小方格有种等可能情况，
∴一共有种等可能情况，
在如图中有种等可能情况，
另外小单元有四个，
∴共有种等可能情况，
∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是，
故选：C．
【分析】求出所有等可能的结果，再求出有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．一个不透明的袋中装有大小质感等相同的 1个红球，2个黄球.先从袋中随机摸出1个，放回摇匀，再从袋中随机摸出1个.第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，
第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为．
故答案为：B.
【分析】画出树状图得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
7．在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：正方形、圆、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，
设“正方形、圆、平行四边形、菱形”的卡片分别为“A、B、C、D”，其中“A、B、D”既是轴对称图形又是中心对称图形，列表如下，
　 A B C D
A 　 （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） 　 （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） 　 （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） 　
∴翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故选：D．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出既是中心对称图形又是轴对称图形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列举出所有等可能的结果如下：
-
-
-
-
由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码，
∴他设置的密码不会被系统排除的概率是．
故答案为：B.
【分析】先通过列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9．已知一次函数(k≠0)，k从2，-3中随机取一个值，b从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
∴共有6种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第一、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，
∴该一次函数的图象经过一、三、四象限的概率为=．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出符合条件的情况数，再利用树状图求出概率即可.
10．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故答案为：D．
【分析】先求出概率，再设不规则图案的面积为，利用概率的定义可得，再求出x的值即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：总面积为16，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【分析】根据题意可得：总面积为16，其中阴影部分面积为7，然后利用几何概率公式进行计算.
12．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意列表求和如下：
1 3 6
1 2 4 7
3 4 6 9
6 7 9 12
∵点P经过两次运动后到达点C，且转动一圈为5次，
∴点P两次运动的数字和为2或7或12，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有4种，
∴点P经过两次运动后到达点C的概率是．
故答案为：
【分析】本题考查列表法求概率及正多边形的性质。通过列表法列出两次抽取卡片数字和的所有等可能结果，再根据正五边形的边长特得到点P两次运动的数字和为2或7或12，最后利用概率公式计算概率即可求解。
13．有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为　 　 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 .
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
14．取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
15．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由电路图可知，闭合开关 和 时，小灯泡发光.
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果
有： 共2种，
∴使得小灯泡发光的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及使得小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案.
16．从-2，2，3这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数；用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意：
∴当a<0时，此方程有实数根，
∴当a=-2，b=2或a=-2，b=3这两种情况符合题意，
∵a、b的取值共有
，，，，，共6种等可能的结果，
∴P(关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0有实数根)=
故答案为： .
【分析】利用根的判别式确定a的范围，再根据概率公式求即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．已知甲同学手中藏有三张分别标有数 ， ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数1，3，2的卡片，所有卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们所标的数分别记为a，b.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订一个游戏规则：若所选出的a，b能使得方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.这个游戏规则公平吗 请用概率知识解释.
【答案】（1）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，即
( ，3)，( ，2)，(1，1)，(1，3)，(1，2)
（2）解：当 时， 0，此时方程 无实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时、 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根；
当a=1，b=1时， 此时方程 无实数根；
当a=1，b=3时，( 此时方程 有两个不相等的实数根；
当a=1，b=2时， 此时方程 有两个相等的实数根，
∴P(甲获胜)
∴P(乙获胜)
∴P(甲获胜)>P(乙获胜)，
∴这个游戏规则对甲有利，不公平
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意用树状图列出所有可能的结果；
（2）把（1）中所有情况都进行分析，通过计算判断根的情况，进而得出答案.
18．某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩频数分布表
等级 成绩x (分) 频数
A 90≤x≤100 n
B 80≤x<90 18
C 70≤x<80 m
D 60≤x<70 4
E x<60 2
统计B等级测试成绩 (单位：分)如下：
80， 81， 83， 83， 83， 83， 85， 85， 86， 86， 87， 88， 88， 88， 88， 89， 89， 89， 请根据以上信息， 解答下列问题：
（1）参赛学生总人数为　 　人，成绩频数分布表中m=　 　，n=　 　；
（2）参赛学生此次成绩的中位数是　 　；
（3） 若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率.
【答案】（1）40；12；4
（2）
（3）解：A等级中共有4名学生，分别记为甲、乙、丙(小佳)、丁(小亮)，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小佳和小亮两人同时被选中的结果有2种，
∴同时抽到小佳和小亮的概率为

【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)参赛学生总人数为： (人)，
n=40-18-12-4-2=4.
故答案为： 40， 12， 4；
(2)数据排序后第20、21个数据为81、83，
∴参赛学生此次成绩的中位数是：
故答案为：82；
【分析】(1)利用B等级的人数以及所占的百分比求出总人数，然后利用C等级所占的百分比求出C等级人数m，再用总人数减去其他组人数求出n即可；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)列树状图得出所有等可能的结果以及同时抽到小佳和小亮的结果数，再利用概率公式解答即可.
19．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享.学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D(字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》)，这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装人一个不透明的盒子中.每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书.
（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为　 　；
（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回.请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小慧 小智 A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由上表可知，共有16种等可能结果，其中摸出的两个小球上所写字母至少有一个D的结果有7种，
∴P(至少有一个D)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为；
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
20．为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评.学校从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.一般；D.不合格.根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样调查一共抽取了 ▲ 名学生，请把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩等级为 C 的扇形圆心角α为　 　度；
（3）现从成绩等级为 A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取 2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率.
【答案】（1）解：50；
C等级的学生人数为名，
（2）72
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有 2 种，∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50名学生；
故答案为：50；
解：由（1）得，；
故答案为：72；
【分析】（1）用B等级的学生人数除以占比求出调查人数，再用调查人数减去其它等级人数求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以C等级人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成，其中“一”表示阳爻，“－－”表示阴爻.
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是　 　；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率.
【答案】（1）
（2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ．
列表法：
第一卦象 第二卦象
树状图：
由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中满足条件的结果有：，，，，，共6种．
所以所求概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ，根据列表法或画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22．某校开展“典藉里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择；A. 《论语》，B. 《史记》，C. 《天工开物》、D. 《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表。如图所示.
课程 内容 人数
A 《论语》 21
B 《史记》 9
C 《天工开物》 12
D 《九章算术》 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，表中m的值为　 　：
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报履示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率.
【答案】（1）60；18
（2）解法一：由题可画树状图；
∴P （恰好选到课程A和课程
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有 （人），
故表中 的值为 ．
故答案为：60；18；
【分析】（1）根据C课程人数除以占比求出样本容量，然后运用样本数量减去娶她课程人数求出m的值即可；
（2）利用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
23．为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅.活动项目如下表所示：
项目 主题
A 红色光影—革命事迹影展
B 红色工坊 —抽章主题手作
C 红色出发—重走红色五卅
D 红色讲述—苏州解放故事
甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加.
（1）甲同学选择项目C的概率为　 　；
（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率.(请用树状图或列表等方法说明理由)
【答案】（1）
（2）解：用表格列出所有等可能的结果：
甲选择的项目 乙选择的项目
A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB cc CD
D DA DB DC DD
∴共有16种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有4种，
∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 甲同学选择项目C的概率为；故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）通过列表得到所有等可能结果，再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
24． AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用.使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别 平均数/分 中位数/分 众数/分
数字人模型 a b 7
AI助教模型 8 8 c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率.
【答案】（1）7.2；7；8；30
（2）解：
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种，
∴(抽到2名男生)．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
∴；
一共 个数据从小到大排列，第 和个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第 和个数据都是，
∴中位数为，
即 ；
由扇形统计图可知“助教模型”中 分出现次数最多，
∴ ；
∵扇形统计图中 分占百分比为：，
∴，
即 ；
【分析】本题考查统计量的计算与古典概型的概率求解。
（1）计算平均数a时，根据条形统计图中各分数的对应人数，用加权平均数公式计算；求中位数b时，将20个数据从小到大排序，取第10和第11个数据的平均数；求众数c时，根据扇形统计图判断出现次数最多的分数；求m时，先计算8分对应的圆心角占比，再用1减去其他各分数的占比得到结果；
（2）先通过列表或画树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽到2名男生的结果数，代入概率公式计算对应概率。
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