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3.2 圆心角（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
4．下图中的∠ACB是圆心角的是(　　)
A． B． C． D．
5． 如图，AB，CD 是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则∠ACO 的度数为(　　)
A．42° B．44° C．46° D．48°
6．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，若CD=BD，∠AOC=108°，则∠AOD的度数为（　　）
A．140° B．144° C．146° D．150°
7．如图，是的直径，，，则的度数是　 　．
8．如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得．
9． 如图，点A，B，C，D在上，.求证：.
10．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
二、巩固提升
11． 如图，在⊙O中， 则 (　　)
A．AB>2CD B．AB<2CD
C．AB=2CD D．无法比较AB 与2CD 的大小
12．如图，是的直径，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC、BC于点D， E， 若CD=AB， ∠B=87°， 则的度数是（　　）
A．30° B．31° C．32° D．33°
14．如图，AB是⊙O的直径，则∠AEO的度数是(　　).
A．51° B．56° C．68° D．78°
15．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，AB 为⊙O 的直径，BC=BD，∠CDB=24°，!则∠ACD 的度数为　 　
17． 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，连结 AB，BC，OC.若 AB = BC，∠B = 40°，则∠OCB =　 　 °.
18． 如图，AB 是⊙E 的直径，AC，CD，DB 是弦，且AC=CD=DB，则∠AED 的度数为　 　.
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
20． 如图所示，A，B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是. 的中点.
（1）求证：AB 平分∠OAC；
（2）延长 OA 至点 P，使得 AP=OA，连结PC.若⊙O 的半径为1，求 PC 的长.
21． 如图，在 ABCD中，以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆分别交AD，BC 于点 F，G，延长 BA 交⊙A 于点E.
求证：
三、能力应用
22．如图①，为的直径，于点与交于点．
（1）求证；
（2）若，求的长；
（3）如图②，连接，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，在同圆中，相等的弦所对的弧相等，
∴，∴，
∴，
同圆中相等的弧所对的弦相等，因此可得．
故选：B．
【分析】根据同圆中相等的弦对应相等的弧这一性质，推导得出最终结论.
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故答案为：D .
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，即可得到，进而得到，即可得出选项．
3．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；
B、利用等圆的条件进行分析解答；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；
D、根据垂径定理即可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：A选项，顶点在圆上，不是圆心角，故A错误；
B选项，顶点为圆心且两边为半径，为圆心角，故B正确；
C选项，顶点在圆内，不是圆心角，故C错误；
D选项，顶点在圆外，不是圆心角，故D错误；
故答案为： B.
【分析】根据圆心角的定义：顶点为圆心，两边为半径，直观判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
故答案为：D .
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出 ，再根据等腰三角形的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 与 互为邻补角，，
∴。
又∵，在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
∴，
则 。
∵，
∴。
故答案为：B
【分析】本题核心考察同圆中弧、弦与圆心角的对应关系，同时涉及邻补角的性质应用。首先，观察图形可知 与 相邻且组成平角，利用邻补角之和为 可直接算出 的度数；接着，根据题目给出的 ，结合“同圆中等弦对等圆心角”的性质，能推出 与 相等，进而求出 的度数；最后，通过角的和差关系，将 与 相加，即可得到所求的 。
7．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据弦相等可得，然后利用平角的定义计算的度数．
8．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：添加，
则．
故答案为：．
【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案.
9．【答案】证明：∵ ，即 ，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧，弦，圆心角的关系证明即可.
10．【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠AOC＝∠BOD，进而证明结论．
11．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过O作半径于E，连接AF；
由垂径定理知：
在 中，AF>AE，则AF>CD；
即
故答案为：A .
【分析】可过O作半径 于E，由垂径定理可知 因此只需比较 和 的大小即可；易知 在 中， AF是斜边，AE是直角边，很显然AF>AE，即AF>CD，由此可判断出 的大小关系，即可得解.
12．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据弧与圆心角的关系得到，再根据平角结合题意进行角的运算即可求解。
13．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
14．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】∵BC=CD=DE，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=34°，
又∵∠EAO=∠BOE，∴∠EAO=51°.
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51°.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到∠BOC=∠DOE=∠COD=34°，即可求出∠BOE的度数，根据三角形的外角和等边对等角解答即可.
15．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
【分析】
的度即圆心角的度数，故可分别连接，由等边对等角结合三角形内角和可依次得，，，再根据周角的概念求解即可．
16．【答案】66°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，AB为☉O的直径
∴AB⊥CD.
∴∠A+∠ACD=90°
∵∠CDB=24°
∴∠A=∠CDB=24°
∴∠ACD=90°-∠A=90°-24°=66°
故选：66°.
【分析】先根据AB为☉O的直径，，则∠A+∠ACD=90°，再根据，即∠A=∠CDB=24°，代入∠ACD=90°-∠A进行计算，即可作答.
17．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：如图，连结 AO，BO，则OA = OB = OC.
∴ ∠OBC =∠OCB，∠OAB=∠OBA.
∵ AB=BC，
∴ ∠AOB=∠BOC.
∴ ∠OBA= .
∵ ∠ABC=40°，
∴ ∠OBC = 20°.
∴ ∠OCB =∠OBC=20°.
故答案为：20 .
【分析】连结 AO，BO，由于AB=BC，根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，可得 ∠AOB=∠BOC，再根据等腰三角形内角定理，进而即可求解.
18．【答案】120°
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB是直径
∴∠AEB=180°
∵AC=CD=DB
∴∠AEC=∠CED=∠DEB=60°
∴∠AED=∠AEC+∠CED=120°
故答案为：120° .
【分析】根据直径的性质，确定∠AEB为平角；然后，利用弦相等的性质，确定∠AEC、∠CED和∠DEB的度数：最后，通过角度的加法计算出∠AED的度数.
19．【答案】（1）证明：作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC＝CD，得CP＝EQ后得证；
（2）同AC＝AE得∠ECM＝∠CEN，由CE＝EF得∠FCE＝∠FEC＝∠MCE＝∠CEN得证．
20．【答案】（1）明：如图，连结OC.
∵∠AOB=120°，C是AB1的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
又∵OA=OC=OB，
∴△AOC，△BOC 均是等边三角形，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形 AOBC 是菱形，
∴AB 平分∠OAC
（2）解：∵△AOC 是等边三角形，
∴∠CAO=∠OCA=60°.
∵OA=AC，AP=OA，∴AP=AC，
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°，
∴△OPC 是直角三角形.
∵OC=1，AP=OA=1，
∴PO=OA+AP=2，
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1) 连接OC， 证明 和 是等边三角形，得到OA=OB=BC=AC，根据等腰三角形的性质证明结论；
(2)根据直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理计算即可。
21．【答案】证明：连结AG.
∵AB=AG，∴∠ABG=∠AGB.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABG，∠AGB=∠DAG，
∴∠EAD=∠DAG，∴
【知识点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结AG，则有∠ABG=∠AGB，根据平行四边形的性质得到∠EAD=∠ABG，∠AGB=∠DAG，根据等量代换得到∠EAD=∠DAG，根据弧、弦、圆心角的关系证明结论即可.
22．【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O的直径，且 ，
（2）解：如解图①，连接BC，
由（1）得
，
设 则
在 中， 即 解得
（3）证明：如解图②，连接OC交BF于点I，
由（2）可知，BG=CG，
在△OCG和△OBG中，
为半径，
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用等弧所对的弦相等解题即可；（2）连接BC，利用等角对等边得到利用勾股定理解题即可；
（3）连接OC交BF于点I，证明，得到然后根据垂径定理的推论得到即可解题 ．
1 / 13.2 圆心角（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，在同圆中，相等的弦所对的弧相等，
∴，∴，
∴，
同圆中相等的弧所对的弦相等，因此可得．
故选：B．
【分析】根据同圆中相等的弦对应相等的弧这一性质，推导得出最终结论.
2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故答案为：D .
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，即可得到，进而得到，即可得出选项．
3．下列命题中，真命题是（　　）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；
B、利用等圆的条件进行分析解答；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；
D、根据垂径定理即可得出结论.
4．下图中的∠ACB是圆心角的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：A选项，顶点在圆上，不是圆心角，故A错误；
B选项，顶点为圆心且两边为半径，为圆心角，故B正确；
C选项，顶点在圆内，不是圆心角，故C错误；
D选项，顶点在圆外，不是圆心角，故D错误；
故答案为： B.
【分析】根据圆心角的定义：顶点为圆心，两边为半径，直观判断即可.
5． 如图，AB，CD 是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则∠ACO 的度数为(　　)
A．42° B．44° C．46° D．48°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
故答案为：D .
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出 ，再根据等腰三角形的性质求解即可.
6．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，若CD=BD，∠AOC=108°，则∠AOD的度数为（　　）
A．140° B．144° C．146° D．150°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 与 互为邻补角，，
∴。
又∵，在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
∴，
则 。
∵，
∴。
故答案为：B
【分析】本题核心考察同圆中弧、弦与圆心角的对应关系，同时涉及邻补角的性质应用。首先，观察图形可知 与 相邻且组成平角，利用邻补角之和为 可直接算出 的度数；接着，根据题目给出的 ，结合“同圆中等弦对等圆心角”的性质，能推出 与 相等，进而求出 的度数；最后，通过角的和差关系，将 与 相加，即可得到所求的 。
7．如图，是的直径，，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据弦相等可得，然后利用平角的定义计算的度数．
8．如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：添加，
则．
故答案为：．
【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案.
9． 如图，点A，B，C，D在上，.求证：.
【答案】证明：∵ ，即 ，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧，弦，圆心角的关系证明即可.
10．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠AOC＝∠BOD，进而证明结论．
二、巩固提升
11． 如图，在⊙O中， 则 (　　)
A．AB>2CD B．AB<2CD
C．AB=2CD D．无法比较AB 与2CD 的大小
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过O作半径于E，连接AF；
由垂径定理知：
在 中，AF>AE，则AF>CD；
即
故答案为：A .
【分析】可过O作半径 于E，由垂径定理可知 因此只需比较 和 的大小即可；易知 在 中， AF是斜边，AE是直角边，很显然AF>AE，即AF>CD，由此可判断出 的大小关系，即可得解.
12．如图，是的直径，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据弧与圆心角的关系得到，再根据平角结合题意进行角的运算即可求解。
13．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC、BC于点D， E， 若CD=AB， ∠B=87°， 则的度数是（　　）
A．30° B．31° C．32° D．33°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
14．如图，AB是⊙O的直径，则∠AEO的度数是(　　).
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】∵BC=CD=DE，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=34°，
又∵∠EAO=∠BOE，∴∠EAO=51°.
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51°.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到∠BOC=∠DOE=∠COD=34°，即可求出∠BOE的度数，根据三角形的外角和等边对等角解答即可.
15．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
【分析】
的度即圆心角的度数，故可分别连接，由等边对等角结合三角形内角和可依次得，，，再根据周角的概念求解即可．
16．如图，AB 为⊙O 的直径，BC=BD，∠CDB=24°，!则∠ACD 的度数为　 　
【答案】66°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，AB为☉O的直径
∴AB⊥CD.
∴∠A+∠ACD=90°
∵∠CDB=24°
∴∠A=∠CDB=24°
∴∠ACD=90°-∠A=90°-24°=66°
故选：66°.
【分析】先根据AB为☉O的直径，，则∠A+∠ACD=90°，再根据，即∠A=∠CDB=24°，代入∠ACD=90°-∠A进行计算，即可作答.
17． 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，连结 AB，BC，OC.若 AB = BC，∠B = 40°，则∠OCB =　 　 °.
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：如图，连结 AO，BO，则OA = OB = OC.
∴ ∠OBC =∠OCB，∠OAB=∠OBA.
∵ AB=BC，
∴ ∠AOB=∠BOC.
∴ ∠OBA= .
∵ ∠ABC=40°，
∴ ∠OBC = 20°.
∴ ∠OCB =∠OBC=20°.
故答案为：20 .
【分析】连结 AO，BO，由于AB=BC，根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，可得 ∠AOB=∠BOC，再根据等腰三角形内角定理，进而即可求解.
18． 如图，AB 是⊙E 的直径，AC，CD，DB 是弦，且AC=CD=DB，则∠AED 的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB是直径
∴∠AEB=180°
∵AC=CD=DB
∴∠AEC=∠CED=∠DEB=60°
∴∠AED=∠AEC+∠CED=120°
故答案为：120° .
【分析】根据直径的性质，确定∠AEB为平角；然后，利用弦相等的性质，确定∠AEC、∠CED和∠DEB的度数：最后，通过角度的加法计算出∠AED的度数.
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
【答案】（1）证明：作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC＝CD，得CP＝EQ后得证；
（2）同AC＝AE得∠ECM＝∠CEN，由CE＝EF得∠FCE＝∠FEC＝∠MCE＝∠CEN得证．
20． 如图所示，A，B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是. 的中点.
（1）求证：AB 平分∠OAC；
（2）延长 OA 至点 P，使得 AP=OA，连结PC.若⊙O 的半径为1，求 PC 的长.
【答案】（1）明：如图，连结OC.
∵∠AOB=120°，C是AB1的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
又∵OA=OC=OB，
∴△AOC，△BOC 均是等边三角形，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形 AOBC 是菱形，
∴AB 平分∠OAC
（2）解：∵△AOC 是等边三角形，
∴∠CAO=∠OCA=60°.
∵OA=AC，AP=OA，∴AP=AC，
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°，
∴△OPC 是直角三角形.
∵OC=1，AP=OA=1，
∴PO=OA+AP=2，
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1) 连接OC， 证明 和 是等边三角形，得到OA=OB=BC=AC，根据等腰三角形的性质证明结论；
(2)根据直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理计算即可。
21． 如图，在 ABCD中，以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆分别交AD，BC 于点 F，G，延长 BA 交⊙A 于点E.
求证：
【答案】证明：连结AG.
∵AB=AG，∴∠ABG=∠AGB.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABG，∠AGB=∠DAG，
∴∠EAD=∠DAG，∴
【知识点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结AG，则有∠ABG=∠AGB，根据平行四边形的性质得到∠EAD=∠ABG，∠AGB=∠DAG，根据等量代换得到∠EAD=∠DAG，根据弧、弦、圆心角的关系证明结论即可.
三、能力应用
22．如图①，为的直径，于点与交于点．
（1）求证；
（2）若，求的长；
（3）如图②，连接，求证：．
【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O的直径，且 ，
（2）解：如解图①，连接BC，
由（1）得
，
设 则
在 中， 即 解得
（3）证明：如解图②，连接OC交BF于点I，
由（2）可知，BG=CG，
在△OCG和△OBG中，
为半径，
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用等弧所对的弦相等解题即可；（2）连接BC，利用等角对等边得到利用勾股定理解题即可；
（3）连接OC交BF于点I，证明，得到然后根据垂径定理的推论得到即可解题 ．
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