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3.2 圆心角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故答案为：D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项．
2．为了了解学生最喜欢的粽子口味，学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的扇形统计图，其中喜欢鲜肉粽的扇形圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形统计图；圆心角的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】扇形统计图所有占比是1，先求出鲜肉粽所占百分比，再根据扇形统计图圆心角的求法，用鲜肉粽占的百分比乘以360°即可求出答案。
3．如图，点A，B，C在⊙O上，，连结OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（　　）
A．108° B．109° C．110° D．112°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图， 连接OB， OC，
故选： B.
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得出. 又 得到 .再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 最后根据三角形外角的性质求出即可.
4． 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　）
A．90° B．72° C．54° D．36°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ，
∵
∴
∴∠BAC=36°，∠ABE=72°
∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE
∴∠AEB=180°-72°-36°=72°
故答案：B.
【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数.
5．如图，在⊙O中，若，则下列判断错误的是（　　）
A．AB=CD B．AC=CB C． D．∠AOC=∠BOD
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴AB=CD，
∴AC=BD，
故答案为：B .
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系即可求解。
6．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
【答案】52°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N，
则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，
∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD，
∵A、F、G、B共线，
∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，
∵的度数是55°，的度数是21°，
∴、的度数分别为55°、21°，
∴的度数为180°-55°-21°=104°，
根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数，
即∠FDG=×104°=52°.
故答案为： 52°.
【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数.
7．如图，在中，，则　 　度．
【答案】70
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70°
因此∠B=70°
故答案为：70.
【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。
8．如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB
【答案】证明：∵AB=CD
∴
∴
∴=
∴AD=BC.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】本题根据两个相等的弦对应的弧长相等，即AB=CD可得=，然后同时减去，得=，最后根据两个相等的弧长，对应的弦长相等，即可得出证明结果。
9．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，.
（1） 证明：；
（2） 求 BD 的长.
【答案】（1）证明：，
，
即，
∴.
（2）解：，，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得；
(2)由BD=AC即得结果.
二、巩固应用
10．如图，是直径，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴（同弧对应的圆心角相等），
∵，
∴∠AOC=180°-=140°，
∴，
∵OA、OD都是的半径，
∴OA=OD，
∴△ AOD是等腰三角形，
∴.
故选：B.
【分析】本题先根据等弧对应相等圆心角的性质，得到两个圆心角相等，再结合平角的定义求出∠AOD的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可得出答案.
11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠ABC=50°，的度数为70°，则∠DBC等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵的度数为70°
∴∠ABD=35°
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD
∴∠DBC=50°-35°=15°
故答案为：B .
【分析】由圆周角定理知∠ABD的度数，由此可得∠DBC的度数.
12． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：B .
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
13．如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是弧的中点，
∴；
又∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形是是菱形，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等弧所对的圆心角相等得到，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOC与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OA=AC=BC=OB，从而根据四边相等的四边形是菱形可得四边形AOBC是菱形.
14．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，（等边对等角）
∴，
∴，
∴的度数是；
故选：A．
【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案．
15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
16． 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为　 　.
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 如图， 连结 BC.
∵∠ACD=∠CAB，∴.∴ AD=BC=2.∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.在 Rt△ABC 中，∵AC=4，BC=2，∴ ⊙O 的直径 2 .∴⊙O的半径为
故答案为：.
【分析】连接BC，则有AD=BC=2，然后根据勾股定理求出AB长解答即可.
17． 如图，MB，MD 是⊙O 的两条弦，点A，C 分别在，上，且AB=CD，M是 的中点.求证：MB=MD.
【答案】证明：∵M是 的中点，
即
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到再根据 的中点得到再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可.
18．如图，△ABC 为⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，弦DC 平分∠ADB.
（1）求证：△ABC 为等边三角形；
（2）若BD=3，AD=5，过点C 作BD 的平行线，交 DA 的延长线于点E，试求△CAE 面积.
【答案】（1）证明：∵CD平分
为等边三角形
（2）解：如图， 作 于点M，
由 (1) 知：
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，
∵∠BCD=60°-∠ACD =∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE =3，
∴DC = DE= DA+AE =8，
∵CM⊥ED，
∴△CAE面积为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；
(2)作 于点M，结合 (1)可得 是等边三角形，然后证明 可得BD=AE=3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得 面积.
19．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
【答案】证明：∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴
∴
∴
∴AE=BF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可.
三、能力应用
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 ，连接OA、OF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠AOF=3∠FOE，
设∠FOE=x，则∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA= （180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+ （180-3x）=180，
x=20°，
∴∠ABC=80°．
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得： ，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数．
1 / 13.2 圆心角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．为了了解学生最喜欢的粽子口味，学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的扇形统计图，其中喜欢鲜肉粽的扇形圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在⊙O上，，连结OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（　　）
A．108° B．109° C．110° D．112°
4． 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　）
A．90° B．72° C．54° D．36°
5．如图，在⊙O中，若，则下列判断错误的是（　　）
A．AB=CD B．AC=CB C． D．∠AOC=∠BOD
6．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
7．如图，在中，，则　 　度．
8．如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB
9．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，.
（1） 证明：；
（2） 求 BD 的长.
二、巩固应用
10．如图，是直径，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠ABC=50°，的度数为70°，则∠DBC等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
12． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
14．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
16． 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为　 　.
17． 如图，MB，MD 是⊙O 的两条弦，点A，C 分别在，上，且AB=CD，M是 的中点.求证：MB=MD.
18．如图，△ABC 为⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，弦DC 平分∠ADB.
（1）求证：△ABC 为等边三角形；
（2）若BD=3，AD=5，过点C 作BD 的平行线，交 DA 的延长线于点E，试求△CAE 面积.
19．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
三、能力应用
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 ，连接OA、OF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故答案为：D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项．
2．【答案】A
【知识点】扇形统计图；圆心角的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】扇形统计图所有占比是1，先求出鲜肉粽所占百分比，再根据扇形统计图圆心角的求法，用鲜肉粽占的百分比乘以360°即可求出答案。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图， 连接OB， OC，
故选： B.
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得出. 又 得到 .再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 最后根据三角形外角的性质求出即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ，
∵
∴
∴∠BAC=36°，∠ABE=72°
∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE
∴∠AEB=180°-72°-36°=72°
故答案：B.
【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴AB=CD，
∴AC=BD，
故答案为：B .
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系即可求解。
6．【答案】52°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N，
则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，
∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD，
∵A、F、G、B共线，
∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，
∵的度数是55°，的度数是21°，
∴、的度数分别为55°、21°，
∴的度数为180°-55°-21°=104°，
根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数，
即∠FDG=×104°=52°.
故答案为： 52°.
【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数.
7．【答案】70
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70°
因此∠B=70°
故答案为：70.
【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。
8．【答案】证明：∵AB=CD
∴
∴
∴=
∴AD=BC.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】本题根据两个相等的弦对应的弧长相等，即AB=CD可得=，然后同时减去，得=，最后根据两个相等的弧长，对应的弦长相等，即可得出证明结果。
9．【答案】（1）证明：，
，
即，
∴.
（2）解：，，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得；
(2)由BD=AC即得结果.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；补角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴（同弧对应的圆心角相等），
∵，
∴∠AOC=180°-=140°，
∴，
∵OA、OD都是的半径，
∴OA=OD，
∴△ AOD是等腰三角形，
∴.
故选：B.
【分析】本题先根据等弧对应相等圆心角的性质，得到两个圆心角相等，再结合平角的定义求出∠AOD的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可得出答案.
11．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵的度数为70°
∴∠ABD=35°
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD
∴∠DBC=50°-35°=15°
故答案为：B .
【分析】由圆周角定理知∠ABD的度数，由此可得∠DBC的度数.
12．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：B .
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
13．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是弧的中点，
∴；
又∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形是是菱形，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等弧所对的圆心角相等得到，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOC与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OA=AC=BC=OB，从而根据四边相等的四边形是菱形可得四边形AOBC是菱形.
14．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，（等边对等角）
∴，
∴，
∴的度数是；
故选：A．
【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 如图， 连结 BC.
∵∠ACD=∠CAB，∴.∴ AD=BC=2.∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.在 Rt△ABC 中，∵AC=4，BC=2，∴ ⊙O 的直径 2 .∴⊙O的半径为
故答案为：.
【分析】连接BC，则有AD=BC=2，然后根据勾股定理求出AB长解答即可.
17．【答案】证明：∵M是 的中点，
即
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到再根据 的中点得到再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可.
18．【答案】（1）证明：∵CD平分
为等边三角形
（2）解：如图， 作 于点M，
由 (1) 知：
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，
∵∠BCD=60°-∠ACD =∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE =3，
∴DC = DE= DA+AE =8，
∵CM⊥ED，
∴△CAE面积为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；
(2)作 于点M，结合 (1)可得 是等边三角形，然后证明 可得BD=AE=3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得 面积.
19．【答案】证明：∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA
∴
∴
∴
∴AE=BF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可.
20．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠AOF=3∠FOE，
设∠FOE=x，则∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA= （180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+ （180-3x）=180，
x=20°，
∴∠ABC=80°．
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得： ，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数．
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