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3.3 垂径定理（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　）
A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设截面圆的半径为r cm，则OA=OD=r cm.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6 cm，
∵CD=3 cm，
∴OC=OD CD=(r 3) cm.
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，
代入得：r2=62+(r 3)2
展开化简：r2=36+r2 6r+9，
6r=45，
r=7.5.
∴ 截面圆的半径为7.5 cm，
故答案为：D.
【分析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到弦AB被平分，算出AC的长度；设截面圆半径为r，用r表示出OC的长度；再在Rt△OAC中应用勾股定理建立关于r的一元一次方程，解方程即可求出截面圆的半.
2． 如图， A， B， C是⊙O上的点， OC⊥AB，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若 OA的长为 6，则 BC的长为（　　)
A．3 B．5 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°
∵D为OC的中点
∴OD=CD
∴△ADO≌△BDC（SAS）
∴AO=BC
∵AO=6
∴BC=6.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查垂径定理与三角形全等的性质与判定.根据垂径定理得到两个直角相等、两条边相等，结合已知判定三角形全等（SAS），从而得到所求线段BC与半径OA长度相等.
3．如图，是直径，是弦且，垂足为．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：已知 ，则圆的半径 。
因为 ，所以 。
由垂径定理， 可得 为 的中点，即 ，且 。
在 中，根据勾股定理：
因此 。
故答案为：D。
【分析】 根据垂径定理，直径垂直于弦时，直径平分弦，因此 ；由半径 可知 ，结合 ，可得 ；在 中，利用勾股定理 ；因此 。
4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB=24cm，则水的最大深度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．13cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点作半径于点，
故答案为：A .
【分析】连结，过点作半径于点，利用垂径定理求出AC=12cm，然后利用勾股定理求出OC长解答即可．
5．如图为一座拱形桥示意图，跨径(弦AB)长度为8m，半径OC垂直AB于点D，OD=3m，则桥拱高CD为(　　)
A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
半径弦于点，，
，
，
．
故选：C．
【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
6．如图为一条排水管的截面，若半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度为　 　：
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10
∵AB=16
∴
∴
∴CD=OD-OC=4
故答案为：4
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10，根据垂径定理可得BC，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．如图， 在⊙O中， 直径 AB=8， 弦 CD⊥AB， 交 AB于点 E， 若 AE=1， 则弦 CD=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵ 弦 CD⊥AB
∴CE=DE
∵直径 AB=8
∴OA=OB=4
∵ AE=1
∴OE=3
由勾股定理得：CE=
∴CD=2
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，根据半径等于直径得一半得到OA=OB=4，再由线段的和差计算得到OE=3，再由勾股定理计算可得CE，从而得到CD的值，解答即可.
8．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O 的半径为　 　cm.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥AB，连接OA，
∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
∴AE=4cm，OE=3cm，
∴，
即⊙O 的半径为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据垂径定理以及勾股定理计算求解即可。
9． 如图，AB为⊙O的直径，C和D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且 连接AD， AC， BC， BD.
（1） 求证： .
（2） 连接OD， 若OD⊥AC， 求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∴AC=BD.
（2）解：∵OD⊥AC， OD为⊙O的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵AB为直径，
∴，，的度数之和是180°，
∴的度数为 .
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据“在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得，要证明AC=BD，只需证明，而由已知条件可推得；
（2）由OD⊥AC，可联想到垂径定理，则，易证得，由AB为直径，可得，，的度数之和是180°，从而可得的度数.
10．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
二、巩固提升
11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=8cm，则截面圆中弦AB 的长为（　　） cm.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
OC经过圆心O，
故选： C.
【分析】连接OA，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出AC可得结论.
12．数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB 于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为(　　)
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB。
由垂径定理得，。
设圆形工件的半径为，则，。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理在圆半径计算中的应用。解题时首先根据垂直平分线的性质确定CD经过圆心，结合垂径定理求出弦长一半BD的长度；再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离OD，最后在直角三角形OBD中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到圆形工件的半径。
13． 如图， AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E， OB＝CD＝2，则OE长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：为直径，，，
，
在中，．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得的长，再在中根据勾股定理求出长解答即可．
14．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为，
故选：C
【分析】
利用网格得到弦和的垂直平分线，根据圆心的确定方法：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，因此这两条垂直平分线的交点就是圆心M，由此即可得到点M的坐标.
15．如图，圆O的直径是AB，点P和点Q均是半圆上一点，连接BP和OQ交于点C，若AB=10，BC=PC=4，则CQ=（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径是，，
∴，，
在中，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理的推论可得，然后根据勾股定理求得，再根据线段的和差解答即可．
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，A 是 的中点，BD是⊙O 的直径，若BD=10，BC=8，则AD的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AC，连接AO并延长，交BC于点E，
∵点A是的中点
∴
∴AB=AC，
∴，AE⊥BC，∠ABC=∠ACB
∵BD=10，BC=8，
∴OB=OA=5
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴
∴AE=AO+OE=5+3=8
在Rt△ABE中，∠AEB=90°.
∴
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，连接AO并延长，交BC于点E，由题意可得，AB=AC，则BE=BC=4，AE⊥BC，∠ABC=∠ACB，由勾股定理可得OE=3，从而得出AE=8，最后再由勾股定理计算即可得出结果.
17．如图，AB是⊙O的直径， ，则⊙O的半径长为　 　.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，设直径与弦交于垂足．
是直径，，
垂直平分，
．
，
，
在中，，
．
，
，
．
在中，，，
．
设半径，则．
由勾股定理：，
代入得：
，
．
的半径长为4．
故答案为：4.
【分析】根据垂径定理得到；根据三角形内角和可得∠A=30°，根据等边对等角得到；利用角的直角三角形性质和勾股定理求出R的值解答即可．
18． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，设AD=2a，根据垂径定理可得AF=a，然后利用菱形的性质，根据AAS得到△OGC≌△OFA，即可得到CG=AF，求出CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，然后根据勾股定理求出EH和AE长解答即可.
19． 如图，在□ABCD中，对角线AC平分∠BAD， ⊙O经过顶点A， B且与边CD所在的直线相切于点 E.
（1）求证： □ABCD为菱形.
（2）当BC=6，菱形ABCD的高为4时，求OA的长.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BA=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）解：连接EO 并延长交AB 于点 F，
∵⊙O 与边CD 所在的直线相切于点 E，
∴∠FEC=90°，
∵菱形ABCD，
∴AB∥CD， AB=BC=6，
，
∴OF⊥AB 且EF是菱形ABCD 的高，
，
设OA=R，
∴OE=R， OF=4-R，
在 Rt△AOF中， ，
解得 ，
.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等角对等边得到，证明结论即可；
（2）连接并延长交于点F，即可得到，进而可得是菱形的高，设，在中，根据勾股定理求出的长解答即可．
三、能力应用
20．如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，过B作AC的垂线交AC于点E.
（1）求证：∠A=2∠EBC；
（2）如图2，当圆心O恰好落在BE上时，求∠A的度数；
（3）如图3，延长BE交⊙O于点F，点H在线段AC上，CH=CF，若AB=10，S△BCH=10，求线段CE的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠A=180°-2∠ACB．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=90°-∠ACB，
∴∠A=2∠EBC
（2）解：∵BE⊥AC
∴BC=BA
∵AB=AC
∴AB=AC=BC
∴△ABC为等边三角形
∴∠A=60°
（3）解：在BE上取点G，使CG=CF，连接GC，
∵CG=CF
∴∠CGF=∠CFG
∵∠F=∠A，∠A=2CBE
∴∠F=2∠CBE
∴∠CGF=2∠CBG
∵∠CGF=∠CBG+∠BCG
∴∠GBC=∠GCB
∴BG=GC
过点H作HJ⊥BC于点J，GI⊥BC
∵∠BCE+∠CHJ=90°，∠BCE+∠IBG=90°
∴∠IBG=∠CHJ
∴△BIG≌△HJC(AAS)
∴HJ=BI
，得BI=
设CE=x，则AE=10-x，在△BCE和△ACE中，由勾股定理得
即有，解得x=2，故CE=2
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形和三角形内角和定理可得∠A=180°-2∠ACB，∠EBC=90°-∠ACB，即得结论；
(2)由垂径定理知AB=BC，由此知△ABC为等边三角形，即得∠A的度数；
(3)在BE上取点G，使CG=CF，连接GC，结合(1)的度数关系可得BG=GC，同时过点H作HJ⊥BC于点J，GI⊥BC，得△BIG≌△HJC由此得BI的长，在△BCE和△ACE中，利用勾股定理可得CE的长.
21． 如图1， 直径. 弦BC于点 D.
（1）BC=6，AD=4.
①求半径长；
②如图2， 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合)， 连接BF，CF， AF， AC.当线段CF过圆心O时，求 的面积；
（2） 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合) ， 连接BF， CF， AF， AC.当 时，求 的面积.
【答案】（1）解：①如图， 连接OB，
∵直径 弦BC于点D，
设⊙O的半径长为x，则(OD=4-x，
在 中，
解得
∴⊙O的半径长为
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，
（2）解：如图，连接AB，在CF上取 过点A作 于H，则
∵直径AE⊥弦BC于点D，
∴AE垂直平分BC，
【知识点】三角形的面积；垂径定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)①连接OB，由垂径定理得 =3，设⊙O的半径长为x，则OD=4-x，再利用勾股定理解答即可求解；
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，可得 利用勾股定理求出AC进而求出AF即可求解；
(2)连接AB， 在CF上取 过点A作. 于H，可得FG=FC-CG= 由垂径定理可得.AB=AC，进而可证 得到AF=AG，即得G 得到CH=CG+G 再利用勾股定理求出AH即可求解.
1 / 13.3 垂径定理（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　）
A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm
2． 如图， A， B， C是⊙O上的点， OC⊥AB，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若 OA的长为 6，则 BC的长为（　　)
A．3 B．5 C．3 D．6
3．如图，是直径，是弦且，垂足为．若，，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB=24cm，则水的最大深度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．13cm
5．如图为一座拱形桥示意图，跨径(弦AB)长度为8m，半径OC垂直AB于点D，OD=3m，则桥拱高CD为(　　)
A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m
6．如图为一条排水管的截面，若半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度为　 　：
7．如图， 在⊙O中， 直径 AB=8， 弦 CD⊥AB， 交 AB于点 E， 若 AE=1， 则弦 CD=　 　.
8．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O 的半径为　 　cm.
9． 如图，AB为⊙O的直径，C和D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且 连接AD， AC， BC， BD.
（1） 求证： .
（2） 连接OD， 若OD⊥AC， 求的度数.
10．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
二、巩固提升
11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=8cm，则截面圆中弦AB 的长为（　　） cm.
A．6 B．7 C．8 D．9
12．数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB 于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为(　　)
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
13． 如图， AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E， OB＝CD＝2，则OE长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
14．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，圆O的直径是AB，点P和点Q均是半圆上一点，连接BP和OQ交于点C，若AB=10，BC=PC=4，则CQ=（　　）
A．2 B．3 C． D．
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，A 是 的中点，BD是⊙O 的直径，若BD=10，BC=8，则AD的长为　 　.
17．如图，AB是⊙O的直径， ，则⊙O的半径长为　 　.
18． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
19． 如图，在□ABCD中，对角线AC平分∠BAD， ⊙O经过顶点A， B且与边CD所在的直线相切于点 E.
（1）求证： □ABCD为菱形.
（2）当BC=6，菱形ABCD的高为4时，求OA的长.
三、能力应用
20．如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，过B作AC的垂线交AC于点E.
（1）求证：∠A=2∠EBC；
（2）如图2，当圆心O恰好落在BE上时，求∠A的度数；
（3）如图3，延长BE交⊙O于点F，点H在线段AC上，CH=CF，若AB=10，S△BCH=10，求线段CE的长.
21． 如图1， 直径. 弦BC于点 D.
（1）BC=6，AD=4.
①求半径长；
②如图2， 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合)， 连接BF，CF， AF， AC.当线段CF过圆心O时，求 的面积；
（2） 点F在弧AB上运动(点F不与点A和点B重合) ， 连接BF， CF， AF， AC.当 时，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设截面圆的半径为r cm，则OA=OD=r cm.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6 cm，
∵CD=3 cm，
∴OC=OD CD=(r 3) cm.
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，
代入得：r2=62+(r 3)2
展开化简：r2=36+r2 6r+9，
6r=45，
r=7.5.
∴ 截面圆的半径为7.5 cm，
故答案为：D.
【分析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到弦AB被平分，算出AC的长度；设截面圆半径为r，用r表示出OC的长度；再在Rt△OAC中应用勾股定理建立关于r的一元一次方程，解方程即可求出截面圆的半.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°
∵D为OC的中点
∴OD=CD
∴△ADO≌△BDC（SAS）
∴AO=BC
∵AO=6
∴BC=6.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查垂径定理与三角形全等的性质与判定.根据垂径定理得到两个直角相等、两条边相等，结合已知判定三角形全等（SAS），从而得到所求线段BC与半径OA长度相等.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：已知 ，则圆的半径 。
因为 ，所以 。
由垂径定理， 可得 为 的中点，即 ，且 。
在 中，根据勾股定理：
因此 。
故答案为：D。
【分析】 根据垂径定理，直径垂直于弦时，直径平分弦，因此 ；由半径 可知 ，结合 ，可得 ；在 中，利用勾股定理 ；因此 。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点作半径于点，
故答案为：A .
【分析】连结，过点作半径于点，利用垂径定理求出AC=12cm，然后利用勾股定理求出OC长解答即可．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
半径弦于点，，
，
，
．
故选：C．
【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
6．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10
∵AB=16
∴
∴
∴CD=OD-OC=4
故答案为：4
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10，根据垂径定理可得BC，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵ 弦 CD⊥AB
∴CE=DE
∵直径 AB=8
∴OA=OB=4
∵ AE=1
∴OE=3
由勾股定理得：CE=
∴CD=2
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，根据半径等于直径得一半得到OA=OB=4，再由线段的和差计算得到OE=3，再由勾股定理计算可得CE，从而得到CD的值，解答即可.
8．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OE⊥AB，连接OA，
∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
∴AE=4cm，OE=3cm，
∴，
即⊙O 的半径为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据垂径定理以及勾股定理计算求解即可。
9．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∴AC=BD.
（2）解：∵OD⊥AC， OD为⊙O的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵AB为直径，
∴，，的度数之和是180°，
∴的度数为 .
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据“在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得，要证明AC=BD，只需证明，而由已知条件可推得；
（2）由OD⊥AC，可联想到垂径定理，则，易证得，由AB为直径，可得，，的度数之和是180°，从而可得的度数.
10．【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
OC经过圆心O，
故选： C.
【分析】连接OA，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出AC可得结论.
12．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB。
由垂径定理得，。
设圆形工件的半径为，则，。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理在圆半径计算中的应用。解题时首先根据垂直平分线的性质确定CD经过圆心，结合垂径定理求出弦长一半BD的长度；再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离OD，最后在直角三角形OBD中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到圆形工件的半径。
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：为直径，，，
，
在中，．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得的长，再在中根据勾股定理求出长解答即可．
14．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为，
故选：C
【分析】
利用网格得到弦和的垂直平分线，根据圆心的确定方法：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，因此这两条垂直平分线的交点就是圆心M，由此即可得到点M的坐标.
15．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径是，，
∴，，
在中，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理的推论可得，然后根据勾股定理求得，再根据线段的和差解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AC，连接AO并延长，交BC于点E，
∵点A是的中点
∴
∴AB=AC，
∴，AE⊥BC，∠ABC=∠ACB
∵BD=10，BC=8，
∴OB=OA=5
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴
∴AE=AO+OE=5+3=8
在Rt△ABE中，∠AEB=90°.
∴
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，连接AO并延长，交BC于点E，由题意可得，AB=AC，则BE=BC=4，AE⊥BC，∠ABC=∠ACB，由勾股定理可得OE=3，从而得出AE=8，最后再由勾股定理计算即可得出结果.
17．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，设直径与弦交于垂足．
是直径，，
垂直平分，
．
，
，
在中，，
．
，
，
．
在中，，，
．
设半径，则．
由勾股定理：，
代入得：
，
．
的半径长为4．
故答案为：4.
【分析】根据垂径定理得到；根据三角形内角和可得∠A=30°，根据等边对等角得到；利用角的直角三角形性质和勾股定理求出R的值解答即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，设AD=2a，根据垂径定理可得AF=a，然后利用菱形的性质，根据AAS得到△OGC≌△OFA，即可得到CG=AF，求出CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，然后根据勾股定理求出EH和AE长解答即可.
19．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BA=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）解：连接EO 并延长交AB 于点 F，
∵⊙O 与边CD 所在的直线相切于点 E，
∴∠FEC=90°，
∵菱形ABCD，
∴AB∥CD， AB=BC=6，
，
∴OF⊥AB 且EF是菱形ABCD 的高，
，
设OA=R，
∴OE=R， OF=4-R，
在 Rt△AOF中， ，
解得 ，
.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等角对等边得到，证明结论即可；
（2）连接并延长交于点F，即可得到，进而可得是菱形的高，设，在中，根据勾股定理求出的长解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠A=180°-2∠ACB．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=90°-∠ACB，
∴∠A=2∠EBC
（2）解：∵BE⊥AC
∴BC=BA
∵AB=AC
∴AB=AC=BC
∴△ABC为等边三角形
∴∠A=60°
（3）解：在BE上取点G，使CG=CF，连接GC，
∵CG=CF
∴∠CGF=∠CFG
∵∠F=∠A，∠A=2CBE
∴∠F=2∠CBE
∴∠CGF=2∠CBG
∵∠CGF=∠CBG+∠BCG
∴∠GBC=∠GCB
∴BG=GC
过点H作HJ⊥BC于点J，GI⊥BC
∵∠BCE+∠CHJ=90°，∠BCE+∠IBG=90°
∴∠IBG=∠CHJ
∴△BIG≌△HJC(AAS)
∴HJ=BI
，得BI=
设CE=x，则AE=10-x，在△BCE和△ACE中，由勾股定理得
即有，解得x=2，故CE=2
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形和三角形内角和定理可得∠A=180°-2∠ACB，∠EBC=90°-∠ACB，即得结论；
(2)由垂径定理知AB=BC，由此知△ABC为等边三角形，即得∠A的度数；
(3)在BE上取点G，使CG=CF，连接GC，结合(1)的度数关系可得BG=GC，同时过点H作HJ⊥BC于点J，GI⊥BC，得△BIG≌△HJC由此得BI的长，在△BCE和△ACE中，利用勾股定理可得CE的长.
21．【答案】（1）解：①如图， 连接OB，
∵直径 弦BC于点D，
设⊙O的半径长为x，则(OD=4-x，
在 中，
解得
∴⊙O的半径长为
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，
（2）解：如图，连接AB，在CF上取 过点A作 于H，则
∵直径AE⊥弦BC于点D，
∴AE垂直平分BC，
【知识点】三角形的面积；垂径定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)①连接OB，由垂径定理得 =3，设⊙O的半径长为x，则OD=4-x，再利用勾股定理解答即可求解；
②当线段CF过圆心O时，如图，则CF为⊙O的直径，可得 利用勾股定理求出AC进而求出AF即可求解；
(2)连接AB， 在CF上取 过点A作. 于H，可得FG=FC-CG= 由垂径定理可得.AB=AC，进而可证 得到AF=AG，即得G 得到CH=CG+G 再利用勾股定理求出AH即可求解.
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