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3.3 垂径定理（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．下列说法正确的是（　　）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理及推论逐项判断解答即可．
2．如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为的直径，C为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理的推论可得，由可得的度数，又根据等边对等角可得的度数.
3．小文不慎把家里的圆形玻璃打碎了（如图四块碎片分别记为①②③④），为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，则小文带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心。只要有一段弧，即可确定圆心和半径，
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②，
故答案为：B.【分析】根据垂径定理的推论得到，带有圆上一段弧的碎片即可解答.
4．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（　　）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【分析】根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案．
5．如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点，
∴，，，
∴
∴，
则不一定相等，
故答案为：B．
【分析】
根据垂径定理的推论：结合的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点，则，，，即可解答．
6．在4×6的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点。若一圆弧过格点A，B，C，则该圆弧所在圆的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】先作图找出圆心，再利用勾股定理性质解答即可．
7．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，．
（1）求证： OD∥BC；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵，OD是半径，
，
又，
，
（2）解：∵AC=8，DE=2，
，，
又∵在Rt△AOE中，，

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC；
(2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长.
8．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
【答案】证明：∵是直径，点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】根据垂径定理的推论可得垂直平分，再根据垂直平分线性质即可求出答案.
二、巩固提升
9．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：圆弧经过，，三点，连接，，
圆心在和垂直平分线的交点，
半径．
故答案为：B.
【分析】连接AB、BC，利用方格纸的特点作出弦AB及BC的垂直平分线，由垂径定理的推论“垂直平分弦的直线一定经过圆心”可得AB、BC垂直平分线的交点一定是该圆弧所在圆的圆心，从而再结合方格纸的特点，利用勾股定理即可算出该圆弧所在圆的半径.
10．如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于点，
是的中点，
，，
在和中：
，
，
，
设的半径为，则，
则在中：，
即，
解得，
，
故选C．
【分析】由于平分弦的直径垂直这条弦，故连接交于点，则OM垂直平分BC，再利用AAS可证明和全等，则，再设的半径为，则OE可用含r的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
11．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　）
A．5cm B．12cm C．13cm D．8cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D， 连接OA， 如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm.
故答案为：D .
【分析】本根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
12．如图，在⊙O内，OP⊥弦AB，若AB=8，OP=3，则⊙O的直径为（　　）
A．10 B．12 C．9 D．5
【答案】A
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长AO交⊙O于点D，则AD为⊙O的直径，
∵弦AB＝8，OP＝3，OP⊥AB于点P，
∴AP＝BP＝AB＝4，∠APO＝90°，
∴OA＝＝＝5，
∴AD＝2OA＝10，
∴⊙O的直径为10，
故选：A．
【分析】连接并延长AO交⊙O于点D，则AD为⊙O的直径，由弦AB＝8，OP⊥AB于点P，得AP＝BP＝4，∠APO＝90°，而OP＝3，则OA＝＝5，所以AD＝10，于是得到问题的答案．
13． 如图，⊙O的半径为5，AB 是⊙O的弦，AB=8，Q为AB 的中点，P 是⊙O上的一点(不与点A，B 重合)，连结 PQ，则 PQ 长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OQ，OA.
∵AB=8，Q 为AB 的中点，
∴ AQ=4，OQ⊥AB.延长OQ 交⊙O 于点 P，此时PQ的长取得最小值.
∵∠AQO= 90°，
3.
∴ PQ 长的最小值为OP-OQ=5-3=2.
故答案为：B .
【分析】连接OQ、OA，根据垂径定理的推论求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可.
14．如图，菱形OABC的顶点A，C在圆O上，连结并延长OB交圆于点D，连结AD，CD，若OB=BD=2，则四边形OADC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点，如图．
由，得，
∴圆的半径．
因此．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点，求出圆的半径，根据菱形的性质可得，再利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
15．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心、5m为半径的圆的一部分，M是弦CD的中点，ME 经过圆心O 交⊙O于点E.若CD=6m，则隧道的高(ME 的长)为　 　.
【答案】9m
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD.
又∵CD=6m，
∴(m)
设OM是x m，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，
即：52=32+x2
解得：x=4.
所以EM=5+4=9(m)
故答案为：9m .
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理的推论可知EM⊥CD，则CM=DM=3，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM.
16．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，，是弧AC的中点，AC与BD交于点E，若E是BD的中点，则BC的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，交AC于点F，
∵是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=AC=，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC，OD∥BC，
∴∠D=∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△BCE和△DFE中，
∴△BCE≌△DFE(ASA)
∴DF=BC，
∵OF=BC，
∴OF=DF，
∴OF=OD
设半径为r，则r2=
∴r=3
∴BC=DF==2.
故答案为：2 .
【分析】根据圆周角定理及垂径定理知DF∥BC，∠D=∠CBE，再根据“ASA”证明△BCE≌△DFE，从而得BC=DF=2OF，再根据勾股定理计算出BC的长.
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AC上一点，连结AD，FD，OD，且OD平分∠ADF，
（1）求证：AD＝FD.
（2）若，CD＝8，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OF，
∵OA=OD=OF，
∴∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，
又∵OD平分∠ADF，
∴ ∠OAD=∠ODA=∠OFD=∠ODF，
∴∠AOD=∠DOF，
∴AD=DF
（2）解：∵，AD=DF，
∴，
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴，
设圆的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△ODE中，，即，
解得r=5，即圆的半径为5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，再根据角平分线得到∠ODA=∠ODF，然后得到∠AOD=∠DOF，根据弧，弦，圆心角的关系证明即可；
（2）根据垂径定理得到DE=CE=4，然后根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求出圆的半径即可.
18．如图，OC 是⊙O 的半径，点 P 在⊙O 的直径BA 的延长线上，且OC⊥PC，垂足为 C，A为 的中点，且 求：
（1） ⊙O的半径.
（2）CD的长.
【答案】（1）解：设OC=x，则OA=x.
∵A为 的中点，
∴OA⊥CD.
∴ 易得∠OCE=30°.
∵OC⊥PC，
∴易得∠P=30°.
∴PO=2OC=2x.
∵PA=6，
∴ PO=PA+OA=6+x.
∴6+x=2x，解得x=6.
∴⊙O 的半径为6.
（2）解：由(1)，得OC=6，OE=3.
由勾股定理，得
∵OA⊥CD，
【知识点】勾股定理；垂径定理；直角三角形的性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)设OC=x，则OA=x，因为A为弧CD的中点，根据垂径定理可得OA⊥CD，又因为，进而可得，再利用直角三角形的性质求得PO=2x，进而列出方程，求解即可；
(2)根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解.
三、能力应用
19． 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。
如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为。作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为点；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点；
④以点为圆心，的长为半径作。
则就是所要作的圆弧。
解答下列问题：
（1） 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 若，，求的半径长。
【答案】（1）解：月洞门的设计图如图3所示，
（2）解：如图，连接，设的半径为，则，，
由题意可知，垂直平分，
∴，，
在直角中，，
∴，
解得，．
答：的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题意进行作图即可；
（2）连接，设的半径为，由（1）可知，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可．
20．如图1， AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为 的中点，连结CD， CA， AD.
（1） 求证： OC平分∠ACD.
（2） 如图2， 延长AC， DB相交于点 E，
①求证： OC∥BE.
②若 求⊙O的半径.
【答案】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系得到，利用垂径定理的推论得到，根据三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得，即可得到，再根据垂径定理的推论得到，进而得到结论；
②连接，则，由，，根据平行线的性质得到，即可得到，再根据勾股定理得到，根据勾股定理求出半径即可．
1 / 13.3 垂径定理（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．下列说法正确的是（　　）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
2．如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．小文不慎把家里的圆形玻璃打碎了（如图四块碎片分别记为①②③④），为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，则小文带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
4．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（　　）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
5．如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．在4×6的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点。若一圆弧过格点A，B，C，则该圆弧所在圆的半径为　 　.
7．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，．
（1）求证： OD∥BC；
（2）若，，求BC的长．
8．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
二、巩固提升
9．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
11．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　）
A．5cm B．12cm C．13cm D．8cm
12．如图，在⊙O内，OP⊥弦AB，若AB=8，OP=3，则⊙O的直径为（　　）
A．10 B．12 C．9 D．5
13． 如图，⊙O的半径为5，AB 是⊙O的弦，AB=8，Q为AB 的中点，P 是⊙O上的一点(不与点A，B 重合)，连结 PQ，则 PQ 长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．8
14．如图，菱形OABC的顶点A，C在圆O上，连结并延长OB交圆于点D，连结AD，CD，若OB=BD=2，则四边形OADC的面积为　 　.
15．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心、5m为半径的圆的一部分，M是弦CD的中点，ME 经过圆心O 交⊙O于点E.若CD=6m，则隧道的高(ME 的长)为　 　.
16．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，，是弧AC的中点，AC与BD交于点E，若E是BD的中点，则BC的长为　 　．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AC上一点，连结AD，FD，OD，且OD平分∠ADF，
（1）求证：AD＝FD.
（2）若，CD＝8，求⊙O的半径.
18．如图，OC 是⊙O 的半径，点 P 在⊙O 的直径BA 的延长线上，且OC⊥PC，垂足为 C，A为 的中点，且 求：
（1） ⊙O的半径.
（2）CD的长.
三、能力应用
19． 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。
如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为。作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为点；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点；
④以点为圆心，的长为半径作。
则就是所要作的圆弧。
解答下列问题：
（1） 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 若，，求的半径长。
20．如图1， AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为 的中点，连结CD， CA， AD.
（1） 求证： OC平分∠ACD.
（2） 如图2， 延长AC， DB相交于点 E，
①求证： OC∥BE.
②若 求⊙O的半径.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理及推论逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为的直径，C为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理的推论可得，由可得的度数，又根据等边对等角可得的度数.
3．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心。只要有一段弧，即可确定圆心和半径，
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②，
故答案为：B.【分析】根据垂径定理的推论得到，带有圆上一段弧的碎片即可解答.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【分析】根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点，
∴，，，
∴
∴，
则不一定相等，
故答案为：B．
【分析】
根据垂径定理的推论：结合的直径与弦（不是直径）交于点，且为的中点，则，，，即可解答．
6．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】先作图找出圆心，再利用勾股定理性质解答即可．
7．【答案】（1）证明：∵，OD是半径，
，
又，
，
（2）解：∵AC=8，DE=2，
，，
又∵在Rt△AOE中，，

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC；
(2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长.
8．【答案】证明：∵是直径，点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】根据垂径定理的推论可得垂直平分，再根据垂直平分线性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：圆弧经过，，三点，连接，，
圆心在和垂直平分线的交点，
半径．
故答案为：B.
【分析】连接AB、BC，利用方格纸的特点作出弦AB及BC的垂直平分线，由垂径定理的推论“垂直平分弦的直线一定经过圆心”可得AB、BC垂直平分线的交点一定是该圆弧所在圆的圆心，从而再结合方格纸的特点，利用勾股定理即可算出该圆弧所在圆的半径.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于点，
是的中点，
，，
在和中：
，
，
，
设的半径为，则，
则在中：，
即，
解得，
，
故选C．
【分析】由于平分弦的直径垂直这条弦，故连接交于点，则OM垂直平分BC，再利用AAS可证明和全等，则，再设的半径为，则OE可用含r的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D， 连接OA， 如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm.
故答案为：D .
【分析】本根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
12．【答案】A
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长AO交⊙O于点D，则AD为⊙O的直径，
∵弦AB＝8，OP＝3，OP⊥AB于点P，
∴AP＝BP＝AB＝4，∠APO＝90°，
∴OA＝＝＝5，
∴AD＝2OA＝10，
∴⊙O的直径为10，
故选：A．
【分析】连接并延长AO交⊙O于点D，则AD为⊙O的直径，由弦AB＝8，OP⊥AB于点P，得AP＝BP＝4，∠APO＝90°，而OP＝3，则OA＝＝5，所以AD＝10，于是得到问题的答案．
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OQ，OA.
∵AB=8，Q 为AB 的中点，
∴ AQ=4，OQ⊥AB.延长OQ 交⊙O 于点 P，此时PQ的长取得最小值.
∵∠AQO= 90°，
3.
∴ PQ 长的最小值为OP-OQ=5-3=2.
故答案为：B .
【分析】连接OQ、OA，根据垂径定理的推论求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点，如图．
由，得，
∴圆的半径．
因此．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点，求出圆的半径，根据菱形的性质可得，再利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
15．【答案】9m
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD.
又∵CD=6m，
∴(m)
设OM是x m，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，
即：52=32+x2
解得：x=4.
所以EM=5+4=9(m)
故答案为：9m .
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理的推论可知EM⊥CD，则CM=DM=3，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM.
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，交AC于点F，
∵是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=AC=，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC，OD∥BC，
∴∠D=∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△BCE和△DFE中，
∴△BCE≌△DFE(ASA)
∴DF=BC，
∵OF=BC，
∴OF=DF，
∴OF=OD
设半径为r，则r2=
∴r=3
∴BC=DF==2.
故答案为：2 .
【分析】根据圆周角定理及垂径定理知DF∥BC，∠D=∠CBE，再根据“ASA”证明△BCE≌△DFE，从而得BC=DF=2OF，再根据勾股定理计算出BC的长.
17．【答案】（1）证明：连接OF，
∵OA=OD=OF，
∴∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，
又∵OD平分∠ADF，
∴ ∠OAD=∠ODA=∠OFD=∠ODF，
∴∠AOD=∠DOF，
∴AD=DF
（2）解：∵，AD=DF，
∴，
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴，
设圆的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△ODE中，，即，
解得r=5，即圆的半径为5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，∠OFD=∠ODF，再根据角平分线得到∠ODA=∠ODF，然后得到∠AOD=∠DOF，根据弧，弦，圆心角的关系证明即可；
（2）根据垂径定理得到DE=CE=4，然后根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求出圆的半径即可.
18．【答案】（1）解：设OC=x，则OA=x.
∵A为 的中点，
∴OA⊥CD.
∴ 易得∠OCE=30°.
∵OC⊥PC，
∴易得∠P=30°.
∴PO=2OC=2x.
∵PA=6，
∴ PO=PA+OA=6+x.
∴6+x=2x，解得x=6.
∴⊙O 的半径为6.
（2）解：由(1)，得OC=6，OE=3.
由勾股定理，得
∵OA⊥CD，
【知识点】勾股定理；垂径定理；直角三角形的性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)设OC=x，则OA=x，因为A为弧CD的中点，根据垂径定理可得OA⊥CD，又因为，进而可得，再利用直角三角形的性质求得PO=2x，进而列出方程，求解即可；
(2)根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解.
19．【答案】（1）解：月洞门的设计图如图3所示，
（2）解：如图，连接，设的半径为，则，，
由题意可知，垂直平分，
∴，，
在直角中，，
∴，
解得，．
答：的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）按照题意进行作图即可；
（2）连接，设的半径为，由（1）可知，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可．
20．【答案】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-三线合一；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系得到，利用垂径定理的推论得到，根据三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得，即可得到，再根据垂径定理的推论得到，进而得到结论；
②连接，则，由，，根据平行线的性质得到，即可得到，再根据勾股定理得到，根据勾股定理求出半径即可．
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