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3.4 圆周角（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1． 如图， 点A， B， C， D都在⊙O上， OA⊥BC， ∠CDA=30°， 则∠AOB的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，且AE=BE，连结OB，OC，AB，若∠BOC=80°，则∠ABE的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．如图，点A， B， C在⊙O上， ∠C =15°，则∠AOB的度数为(　　)
A．40° B．30° C．20° D．15°
4．如图，在中，，为半径，点C在优弧上，，则（　　）
A． B． C． D．
5． 如图， 弦AB， CD都是⊙O的直径， 若∠AOC=28°， 则∠C= (　　)
A．10°. B．14°. C．18°. D．28°.
6． 如图， AB是半圆O的直径， ∠ABC=20°， 则∠D等于　 　°．
7． 如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC 的度数是　 　.
8．如图，AB是圆O的弦，OH⊥AB于点H，点P是AB所对的优弧上一点，若∠APB=60°，OH=1，则AB=　 　.
9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．
10．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
二、巩固提升
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则弦BC的长为　 　．
12．如图， ⊙O是△ABC的外接圆， ∠OAC=23°，则∠B的大小为(　　)
A．46° B．60 C．67° D．77°
13．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
14． 如图， 点A， B， C在⊙O上， 点D 为⊙O外一点， ∠AOB=50°， BC= OA，则∠D的度数可能是（　　)
A．80° B．75° C．70° D．67°
15． 已知： BC是⊙O的一条弦， ∠BOC=130°， 点A是圆上除点 B， C外任意一点， 则∠BAC的度数为(　　)
A．65° B．65°或230° C．230° D．65°或115°
16． 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O的直径，作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D，连结AD.若∠B=70°，则∠CAD 的度数为(　　)
A．75° B．70° C．65° D．60°
17．如图， △ABC是⊙O的内接三角形， ∠OAB=50°，则∠ACB的度数是　 　．
18．如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为　 　．
19． 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，半径OD⊥AB，垂足为 E，∠C=45°，OE=4，则⊙O 的半径为　 　.
20．如图，BD，CE是⊙O的直径，弦. AD 交CE 于点F， 则 的度数为　 　.
21．如图，等腰△ABC的顶点∠BAC=α，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.
（1）当α=50°，求 的度数.
（2）若点E为 的中点，求α的度数.
22．如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
三、能力应用
23．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”．
（1）如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．
①是弧的“幸运角”吗？请说明理由；
②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数；
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：D .
【分析】连接，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可进行求解．
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据圆周角定理得到，然后根据等边对等角解答即可．
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据一条弧所对的圆周角的等于它所对的圆心角度数的一半解答即可．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据，，即可求得答案．
6．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠D=180°-∠CAB=110°，
故答案为：110.
【分析】由直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，由三角形内角和定理求∠A，然后根据∠D=180°-∠A，计算求解即可.
7．【答案】72°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答.
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠APB
∴∠AOB=120°
∵OH⊥AB
∴∠AOH=∠BOH=∠AOB=60°，AH=BH
∴∠OAB=90°-∠AOB=90°-60°=30°
∴OA=2OH=2
∴AH=
∴AB=
故答案：.
【分析】由圆心角与圆周角的关系可得∠AOB=120°，由等腰三角形的性质可得∠OAB=30°，AH=BH，由勾股定理得AH的长，即得AB的长.
9．【答案】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD与∠ACE互余，
又∵AB⊥CD于点E，
∴∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝×24＝12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣8）2+122，
解得R＝13．
答：⊙O的半径为13cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°，又由AB⊥CD于点E，互余导角得到∠BCD＝∠BAC．根据OA＝OC，等边对等角得∠OAC＝∠OCA．即可求证；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，根据垂径定理，可得CE＝CD=12cm，然后在Rt△CEO中，由勾股定理，列出关于R的方程即可求解．
10．【答案】（1）解：连接，如图，
∵为半圆的直径，
∴，即，
∵是等腰三角形，即，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为100°．
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理推论得，然后再根据等腰三角形”三线合一“的性质得，进而由圆周角定理得证结论；
（2）连接，根据圆周角定理求得，从而得，即可得到答案.
（1）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，即，
∵是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
则的度数为．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
故答案为：
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理得到 再由勾股定理求解.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】连接，根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，然后利用圆周角定理解答即可.
13．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°
∴
故选：A.
【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答.
14．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令交于点，连接、，如图所示：
，，
，
是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
综合四个选项中的角度，只有满足要求，
故答案为：D.
【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案．
15．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：当点A在优弧上时，如图所示：
∵，
；
当点A在劣弧上时，如图所示：
∵，
∴；
故选：D．
【分析】分两种情况，根据圆周角定理直接可得答案．
16．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°
∵CD是∠ACB的平分线，
∴
由圆周角定理得：∠DAB=∠DCB=45°
∴∠CAD=20°+45°=65°
故选：C.
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠CAB，根据角平分线的定义求出∠DCB，计算即可.
17．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 为的半径，
．
在中，
与分别是所对的圆周角和圆心角，
故答案为：40°.
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，然后根据圆周角定理解答即可可．
18．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接OE、OD，由直角三角形两锐角互余求得的度数，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求得得的度数，由圆心角、弧、弦的关系可得，由平角求出度数，最后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ACE的度数.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OB，则∠AOB=2∠C=90°，
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵OD⊥AB，
∴∠OAB=∠AOD=∠BOD=∠OBA=45°，
∴AE=BE=OE=4，
∴，
故答案为： .
【分析】连接OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=90°，然后根据等腰直角三角形的性质和垂径定理得到得到AE=BE=OE=4，再根据勾股定理解答.
20．【答案】75°
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵弦
对的圆周角是 圆心角是
故答案为：
【分析】根据平行线的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出再根据三角形的外角性质求出答案即可.
21．【答案】（1）解：连接AD，
因为等腰三角形△ABC，∠BAC=α=50°，
所以∠ABC=65°，
因为AB是直径，
所以∠ADB=90°，
所以∠BAD=25°，
所以的度数为50°，
（2）解：连接BE，
因为点E为的中点，
所以 ，
因为AB是直径，
所以∠AEB=90°，
即，
α=60°.
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AD，先根据等边对等角和三角形的内角和定理可得∠ABC=65°，根据直径所对的圆周是直角得到∠ADB=90°，即可求出∠BAD的度数，即可得到弧的度数；
（2）连接BE，求出∠ABE的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求出α即可.
22．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为6.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由平行线的性质和垂线的定义可得，然后根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”即可求解；
（2）由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得BC=2OE可求解．
（1）证明：因为是的直径，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：由（1）得，
所以点是的中点，
因为点是的中点，
所以是的中位线，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
23．【答案】（1）解：①∵是⊙O的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是弧的“幸运角”；
②∵弧的度数为n，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的“幸运角”度数为n；
（2）解：连接，，
∵弧的“幸运角”为，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
解得：，，
∴或；
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)①由垂径定理知∠APC=∠APE，而∠APE=∠BPD，得，是弧的“幸运角”；
②由圆周角定理得，由此得∠CPD=n，即幸运角的度数为n；
(2)由幸运角的度数为90得，得EP=CP，设PE=x，则PD=8-x，由勾股定理得，得x=1或7，即得CE的长.
1 / 13.4 圆周角（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1． 如图， 点A， B， C， D都在⊙O上， OA⊥BC， ∠CDA=30°， 则∠AOB的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：D .
【分析】连接，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可进行求解．
2．如图，⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，且AE=BE，连结OB，OC，AB，若∠BOC=80°，则∠ABE的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据圆周角定理得到，然后根据等边对等角解答即可．
3．如图，点A， B， C在⊙O上， ∠C =15°，则∠AOB的度数为(　　)
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据一条弧所对的圆周角的等于它所对的圆心角度数的一半解答即可．
4．如图，在中，，为半径，点C在优弧上，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案.
5． 如图， 弦AB， CD都是⊙O的直径， 若∠AOC=28°， 则∠C= (　　)
A．10°. B．14°. C．18°. D．28°.
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B .
【分析】根据，，即可求得答案．
6． 如图， AB是半圆O的直径， ∠ABC=20°， 则∠D等于　 　°．
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠D=180°-∠CAB=110°，
故答案为：110.
【分析】由直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，由三角形内角和定理求∠A，然后根据∠D=180°-∠A，计算求解即可.
7． 如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC 的度数是　 　.
【答案】72°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答.
8．如图，AB是圆O的弦，OH⊥AB于点H，点P是AB所对的优弧上一点，若∠APB=60°，OH=1，则AB=　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠APB
∴∠AOB=120°
∵OH⊥AB
∴∠AOH=∠BOH=∠AOB=60°，AH=BH
∴∠OAB=90°-∠AOB=90°-60°=30°
∴OA=2OH=2
∴AH=
∴AB=
故答案：.
【分析】由圆心角与圆周角的关系可得∠AOB=120°，由等腰三角形的性质可得∠OAB=30°，AH=BH，由勾股定理得AH的长，即得AB的长.
9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．
【答案】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD与∠ACE互余，
又∵AB⊥CD于点E，
∴∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝×24＝12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣8）2+122，
解得R＝13．
答：⊙O的半径为13cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°，又由AB⊥CD于点E，互余导角得到∠BCD＝∠BAC．根据OA＝OC，等边对等角得∠OAC＝∠OCA．即可求证；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，根据垂径定理，可得CE＝CD=12cm，然后在Rt△CEO中，由勾股定理，列出关于R的方程即可求解．
10．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：连接，如图，
∵为半圆的直径，
∴，即，
∵是等腰三角形，即，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为100°．
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理推论得，然后再根据等腰三角形”三线合一“的性质得，进而由圆周角定理得证结论；
（2）连接，根据圆周角定理求得，从而得，即可得到答案.
（1）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，即，
∵是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
则的度数为．
二、巩固提升
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则弦BC的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
故答案为：
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理得到 再由勾股定理求解.
12．如图， ⊙O是△ABC的外接圆， ∠OAC=23°，则∠B的大小为(　　)
A．46° B．60 C．67° D．77°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】连接，根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，然后利用圆周角定理解答即可.
13．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°
∴
故选：A.
【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答.
14． 如图， 点A， B， C在⊙O上， 点D 为⊙O外一点， ∠AOB=50°， BC= OA，则∠D的度数可能是（　　)
A．80° B．75° C．70° D．67°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令交于点，连接、，如图所示：
，，
，
是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
综合四个选项中的角度，只有满足要求，
故答案为：D.
【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案．
15． 已知： BC是⊙O的一条弦， ∠BOC=130°， 点A是圆上除点 B， C外任意一点， 则∠BAC的度数为(　　)
A．65° B．65°或230° C．230° D．65°或115°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：当点A在优弧上时，如图所示：
∵，
；
当点A在劣弧上时，如图所示：
∵，
∴；
故选：D．
【分析】分两种情况，根据圆周角定理直接可得答案．
16． 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O的直径，作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D，连结AD.若∠B=70°，则∠CAD 的度数为(　　)
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°
∵CD是∠ACB的平分线，
∴
由圆周角定理得：∠DAB=∠DCB=45°
∴∠CAD=20°+45°=65°
故选：C.
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠CAB，根据角平分线的定义求出∠DCB，计算即可.
17．如图， △ABC是⊙O的内接三角形， ∠OAB=50°，则∠ACB的度数是　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 为的半径，
．
在中，
与分别是所对的圆周角和圆心角，
故答案为：40°.
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，然后根据圆周角定理解答即可可．
18．如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，在上取一点E，使，连接．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接OE、OD，由直角三角形两锐角互余求得的度数，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求得得的度数，由圆心角、弧、弦的关系可得，由平角求出度数，最后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ACE的度数.
19． 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，半径OD⊥AB，垂足为 E，∠C=45°，OE=4，则⊙O 的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OB，则∠AOB=2∠C=90°，
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵OD⊥AB，
∴∠OAB=∠AOD=∠BOD=∠OBA=45°，
∴AE=BE=OE=4，
∴，
故答案为： .
【分析】连接OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠C=90°，然后根据等腰直角三角形的性质和垂径定理得到得到AE=BE=OE=4，再根据勾股定理解答.
20．如图，BD，CE是⊙O的直径，弦. AD 交CE 于点F， 则 的度数为　 　.
【答案】75°
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵弦
对的圆周角是 圆心角是
故答案为：
【分析】根据平行线的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出再根据三角形的外角性质求出答案即可.
21．如图，等腰△ABC的顶点∠BAC=α，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.
（1）当α=50°，求 的度数.
（2）若点E为 的中点，求α的度数.
【答案】（1）解：连接AD，
因为等腰三角形△ABC，∠BAC=α=50°，
所以∠ABC=65°，
因为AB是直径，
所以∠ADB=90°，
所以∠BAD=25°，
所以的度数为50°，
（2）解：连接BE，
因为点E为的中点，
所以 ，
因为AB是直径，
所以∠AEB=90°，
即，
α=60°.
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AD，先根据等边对等角和三角形的内角和定理可得∠ABC=65°，根据直径所对的圆周是直角得到∠ADB=90°，即可求出∠BAD的度数，即可得到弧的度数；
（2）连接BE，求出∠ABE的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求出α即可.
22．如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为6.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由平行线的性质和垂线的定义可得，然后根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”即可求解；
（2）由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得BC=2OE可求解．
（1）证明：因为是的直径，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：由（1）得，
所以点是的中点，
因为点是的中点，
所以是的中位线，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
三、能力应用
23．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”．
（1）如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．
①是弧的“幸运角”吗？请说明理由；
②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数；
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长．
【答案】（1）解：①∵是⊙O的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是弧的“幸运角”；
②∵弧的度数为n，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的“幸运角”度数为n；
（2）解：连接，，
∵弧的“幸运角”为，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
解得：，，
∴或；
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)①由垂径定理知∠APC=∠APE，而∠APE=∠BPD，得，是弧的“幸运角”；
②由圆周角定理得，由此得∠CPD=n，即幸运角的度数为n；
(2)由幸运角的度数为90得，得EP=CP，设PE=x，则PD=8-x，由勾股定理得，得x=1或7，即得CE的长.
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