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3.4 圆周角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O直径，根据直径所对圆周角为直角，得∠BAC=90 。
在Rt△ABC中，∠ACB=30 ，
∴∠ABC=180 ∠BAC ∠ACB=180 90 30 =60 .
∠D与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，同弧所对圆周角相等，
∴∠D=∠ABC=60 .
故答案为：D .
【分析】由直径推出直角∠BAC，利用三角形内角和求出∠ABC；再根据同弧圆周角相等，得到∠D=∠ABC，求出角度。由直径圆周角性质、直角三角形内角计算、同弧圆周角相等完成角度推导.
2． 如图，点 A，B， C，D在⊙O上，AB=CD， ∠ACB=35°，则∠DBC等于(　　)
A．60° B．55° C．45° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：
又
故答案为：D .
【分析】利用同弧所对圆周角相等得到 结合已知条件即可求得结果.
3．小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、图形中的圆周角是，根据的圆周角所对的弦是直径知，选项A符合题意；
B、图形中的不是圆周角，故选项B不符合题意；
C、图形中的不是圆周角，故选项C不符合题意；
D、图形中的不是圆周角，故选项D不符合题意；故答案为：A．
【分析】本题主要考查圆周角定理，根据的圆周角所对的弦是直径即可判断．
4．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BD，则根据题意得，∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB= 90°，
∴ ∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°，
则∠D的度数是65°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，首先根据圆周角定理可得出∠CDB=∠CAB=25°，根据圆周角定理的推论可得出∠ADB= 90°，进而即可得出∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°。
5．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧.若∠D=24°，则∠ABC的度数为（　　）
A．66° B．64° C．56° D．54°
【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
，
是直径，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论可得的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
6．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为　 　．
【答案】51°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵为圆的直径，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：51°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=39°，从而利用那个角的和差可求出∠CDB的度数.
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是　 　．
【答案】35°
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余得到∠B＝35°，根据同圆中同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠B＝35°，解答即可．
8． 如图， 点C， D在以AB为直径的⊙O上， 若∠D=50°， 则∠CAB的大小为　 　°.
【答案】40
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴根据直径所对的圆周角是直角，可得，
又∵点、都在上，且和所对的弧都是，
根据同弧所对的圆周角相等，可得，
∵，
∴，
在中，（直角三角形两锐角互余），
∴.
故答案为：40.
【分析】本题考查圆周角定理的推论（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等）以及直角三角形的性质，解题时先利用直径得出直角三角形，再通过同弧所对的圆周角相等求出的度数，最后在直角三角形中，利用两锐角互余的性质求出的度数。
9．已知：如图，是的直径，于D，求证：．
【答案】证明：是的直径，
，
，
于D，
，
，
，
，
∴，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据圆周角定理的推论可得，根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
10．如图，是的外接圆，为直径，，于，且交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：为直径，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，由为直径即可求得的度数；
（2）由垂径定理即可得，再根据等弧所对圆周角相等可得，又由，易证得，解答即可．
（1）解：为直径，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
二、巩固提升
11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽AD为2m、高AB为4m，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高)为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
，
，
，
，
∴，
∴改建后门洞的高是，
故答案为：B.
【分析】连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，圆周角定理的推论得到是直径，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到半径长，利用垂径定理和勾股定理得到，再根据线段的和差解答即可．
12．如图， AB是⊙O的直径， ∠ADC=50°，则∠CAB的度数是(　　)
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】是的直径，
，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理的推论得到，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
13． 如图，已知∠BAC=α（0°<α<180°)， AB=m， AC=n，（m， n都是常数).过A，B，C三点的圆与∠BAC的平分线交于点 D，连结CD.当α变化时，下列代数式的值不变的是（　　)
A．AD-CD B． C．AD+CD D．AD·CD
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点，
则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，都是常数，
∴为常数，即的值不变，选项B符合题意；
当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
故答案为：.
【分析】在上取点，使得，过点作于点，根据SAS得到，即可得到，进而可得为等腰三角形，根据三线合一可得，即；设，在和中，根据勾股定理可得，然后逐项判断解答即可．
14．小明用一把含 30°角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图 1，30°角的顶点在圆上，弦AB的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦CD长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是 （　　）
A．①正确， B．错误B. ①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设圆的圆心为点O，连接OA，OB，
∴OA=OB，
∵30°角的顶点在圆上
∴∠AOB=60°，即△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=OB，
∴AB的长即为圆的半径长，故①正确；
∵直角顶点在圆上，
∴CD为圆的直径
∴CD长的一半即为圆的半径长，故②正确；
故选：C.
【分析】设圆的圆心为点O，连接OA，OB，求得∠AOB=60°，即△AOB为等边三角形，从而求出AB的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出CD为圆的直径，则CD长的一半即为圆的半径长，故②正确.
15．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°
∴∠BDC=∠BAC=70°
∵是的直径
∴∠DBC=90°
∴∠DBP=∠DBC-∠ABC=30°
∴∠BPC=∠BDC+∠DBP=100°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC，根据圆周角定理的推论可得∠DBC，根据角之间的关系可得∠DBP，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．如图，是的直径，是的弦．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠DCB=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°
∴∠ABD=90°-∠DAB=45°
∴BD=AD=1，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB=90°，求出∠DCB=∠DAB=45°，得到BD=AD=1，利用勾股定理求解即可.
17．如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则　 　．
【答案】40
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：40．
【分析】连接，根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得∠BEC，再根据角之间的关系可得∠A，根据圆周角定理的推论可得∠ACB，再根据角之间的关系即可求出答案.
18． 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， 以AC为直径作半圆O， 交AB于点D， 在AD上取一点E，使 连接CE. 若∠B=50°， 则∠ACE的度数为　 　°.
【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，先求得，再求得，根据，可得，即可求得，利用圆周角定理即可求得．
19．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E.
（1）求证： AD＝BD；
（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接CD.
∵BC为⊙O的直径，
又AC＝BC，
∴AD＝BD.
（2）解：连接OD.
∵弦DF⊥BC，BC为直径，DF＝8，
∵AD＝BD， AB＝10，
在 Rt△DEB中，
设⊙O的半径为r，BE＝3，则OE＝r－3.
在 Rt△DOE中，
∴的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得到教CDB=90°，然后呢根据三线合一证明结论即可；
（2）由（1）求出的长，根据垂径定理得到的长，利用勾股定理求出的长，设的半径为在中根据勾股定理即可求出的值即可．
20．如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再利用HL即可证明；
（2）根据垂径定理得出，根据得出，从而得出，利用等弧所对的圆周角相等得出，再根据，即可得出的度数 ．
（1）略
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
．
三、能力应用
21．单规作图问题：
如图1，已知直线l及直线l外一点 P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行。下面是小尹设计的的作图过程。
①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点：
②以点A为圆心，截取AP长；
③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q：
则点Q就是所求作的点。
（1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明。
证明：连结AP， BQ，作直线 PQ
（2）小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意。”你认为他说得对吗 请谈谈你的理解。
【答案】（1）证明：连结 BP
因为AP=BQ，
所以，
所以∠ABP=∠QPB，
所以PQ∥l.
（2）解：因为AP=QB，所以，
若OP⊥l，则∠AOP=∠BOQ=90°
即点P，Q重合。
所以无法作出直线使其与AB平行，即点Q不是所求作的点。
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-平行线；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结 BP，根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABP=∠QPB，即可证明结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，若OP⊥l，即可得到P，Q重合，不能做出平行线解答即可.
1 / 13.4 圆周角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，点 A，B， C，D在⊙O上，AB=CD， ∠ACB=35°，则∠DBC等于(　　)
A．60° B．55° C．45° D．35°
3．小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧.若∠D=24°，则∠ABC的度数为（　　）
A．66° B．64° C．56° D．54°
6．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为　 　．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是　 　．
8． 如图， 点C， D在以AB为直径的⊙O上， 若∠D=50°， 则∠CAB的大小为　 　°.
9．已知：如图，是的直径，于D，求证：．
10．如图，是的外接圆，为直径，，于，且交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：．
二、巩固提升
11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽AD为2m、高AB为4m，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高)为（　　)
A． B． C． D．
12．如图， AB是⊙O的直径， ∠ADC=50°，则∠CAB的度数是(　　)
A．25° B．30° C．40° D．50°
13． 如图，已知∠BAC=α（0°<α<180°)， AB=m， AC=n，（m， n都是常数).过A，B，C三点的圆与∠BAC的平分线交于点 D，连结CD.当α变化时，下列代数式的值不变的是（　　)
A．AD-CD B． C．AD+CD D．AD·CD
14．小明用一把含 30°角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图 1，30°角的顶点在圆上，弦AB的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦CD长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是 （　　）
A．①正确， B．错误B. ①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
15．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
16．如图，是的直径，是的弦．若，，则　 　．
17．如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则　 　．
18． 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， 以AC为直径作半圆O， 交AB于点D， 在AD上取一点E，使 连接CE. 若∠B=50°， 则∠ACE的度数为　 　°.
19．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E.
（1）求证： AD＝BD；
（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径.
20．如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
三、能力应用
21．单规作图问题：
如图1，已知直线l及直线l外一点 P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行。下面是小尹设计的的作图过程。
①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点：
②以点A为圆心，截取AP长；
③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q：
则点Q就是所求作的点。
（1）根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明。
证明：连结AP， BQ，作直线 PQ
（2）小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意。”你认为他说得对吗 请谈谈你的理解。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O直径，根据直径所对圆周角为直角，得∠BAC=90 。
在Rt△ABC中，∠ACB=30 ，
∴∠ABC=180 ∠BAC ∠ACB=180 90 30 =60 .
∠D与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，同弧所对圆周角相等，
∴∠D=∠ABC=60 .
故答案为：D .
【分析】由直径推出直角∠BAC，利用三角形内角和求出∠ABC；再根据同弧圆周角相等，得到∠D=∠ABC，求出角度。由直径圆周角性质、直角三角形内角计算、同弧圆周角相等完成角度推导.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：
又
故答案为：D .
【分析】利用同弧所对圆周角相等得到 结合已知条件即可求得结果.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、图形中的圆周角是，根据的圆周角所对的弦是直径知，选项A符合题意；
B、图形中的不是圆周角，故选项B不符合题意；
C、图形中的不是圆周角，故选项C不符合题意；
D、图形中的不是圆周角，故选项D不符合题意；故答案为：A．
【分析】本题主要考查圆周角定理，根据的圆周角所对的弦是直径即可判断．
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BD，则根据题意得，∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB= 90°，
∴ ∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°，
则∠D的度数是65°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，首先根据圆周角定理可得出∠CDB=∠CAB=25°，根据圆周角定理的推论可得出∠ADB= 90°，进而即可得出∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°。
5．【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
，
是直径，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论可得的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
6．【答案】51°
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵为圆的直径，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：51°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=39°，从而利用那个角的和差可求出∠CDB的度数.
7．【答案】35°
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余得到∠B＝35°，根据同圆中同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠B＝35°，解答即可．
8．【答案】40
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴根据直径所对的圆周角是直角，可得，
又∵点、都在上，且和所对的弧都是，
根据同弧所对的圆周角相等，可得，
∵，
∴，
在中，（直角三角形两锐角互余），
∴.
故答案为：40.
【分析】本题考查圆周角定理的推论（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等）以及直角三角形的性质，解题时先利用直径得出直角三角形，再通过同弧所对的圆周角相等求出的度数，最后在直角三角形中，利用两锐角互余的性质求出的度数。
9．【答案】证明：是的直径，
，
，
于D，
，
，
，
，
∴，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据圆周角定理的推论可得，根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
10．【答案】（1）解：为直径，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，由为直径即可求得的度数；
（2）由垂径定理即可得，再根据等弧所对圆周角相等可得，又由，易证得，解答即可．
（1）解：为直径，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
，
，
，
，
∴，
∴改建后门洞的高是，
故答案为：B.
【分析】连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，圆周角定理的推论得到是直径，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到半径长，利用垂径定理和勾股定理得到，再根据线段的和差解答即可．
12．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】是的直径，
，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理的推论得到，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点，
则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，都是常数，
∴为常数，即的值不变，选项B符合题意；
当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
故答案为：.
【分析】在上取点，使得，过点作于点，根据SAS得到，即可得到，进而可得为等腰三角形，根据三线合一可得，即；设，在和中，根据勾股定理可得，然后逐项判断解答即可．
14．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设圆的圆心为点O，连接OA，OB，
∴OA=OB，
∵30°角的顶点在圆上
∴∠AOB=60°，即△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=OB，
∴AB的长即为圆的半径长，故①正确；
∵直角顶点在圆上，
∴CD为圆的直径
∴CD长的一半即为圆的半径长，故②正确；
故选：C.
【分析】设圆的圆心为点O，连接OA，OB，求得∠AOB=60°，即△AOB为等边三角形，从而求出AB的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出CD为圆的直径，则CD长的一半即为圆的半径长，故②正确.
15．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°
∴∠BDC=∠BAC=70°
∵是的直径
∴∠DBC=90°
∴∠DBP=∠DBC-∠ABC=30°
∴∠BPC=∠BDC+∠DBP=100°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC，根据圆周角定理的推论可得∠DBC，根据角之间的关系可得∠DBP，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠DCB=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°
∴∠ABD=90°-∠DAB=45°
∴BD=AD=1，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB=90°，求出∠DCB=∠DAB=45°，得到BD=AD=1，利用勾股定理求解即可.
17．【答案】40
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：40．
【分析】连接，根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得∠BEC，再根据角之间的关系可得∠A，根据圆周角定理的推论可得∠ACB，再根据角之间的关系即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，先求得，再求得，根据，可得，即可求得，利用圆周角定理即可求得．
19．【答案】（1）证明：连接CD.
∵BC为⊙O的直径，
又AC＝BC，
∴AD＝BD.
（2）解：连接OD.
∵弦DF⊥BC，BC为直径，DF＝8，
∵AD＝BD， AB＝10，
在 Rt△DEB中，
设⊙O的半径为r，BE＝3，则OE＝r－3.
在 Rt△DOE中，
∴的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得到教CDB=90°，然后呢根据三线合一证明结论即可；
（2）由（1）求出的长，根据垂径定理得到的长，利用勾股定理求出的长，设的半径为在中根据勾股定理即可求出的值即可．
20．【答案】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再利用HL即可证明；
（2）根据垂径定理得出，根据得出，从而得出，利用等弧所对的圆周角相等得出，再根据，即可得出的度数 ．
（1）略
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
．
21．【答案】（1）证明：连结 BP
因为AP=BQ，
所以，
所以∠ABP=∠QPB，
所以PQ∥l.
（2）解：因为AP=QB，所以，
若OP⊥l，则∠AOP=∠BOQ=90°
即点P，Q重合。
所以无法作出直线使其与AB平行，即点Q不是所求作的点。
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-平行线；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连结 BP，根据弧、弦、圆心角的关系得到，根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABP=∠QPB，即可证明结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，若OP⊥l，即可得到P，Q重合，不能做出平行线解答即可.
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