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3.5 圆内接四边形-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如下图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC.若∠AOC=130°，则∠ABC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．115° D．130°
2．如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，若∠ABC=54°，则∠ADC的度数为（　　）
A．54° B．108° C．126° D．136°
3．如图，点、、、在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆E的两点，且满足，连接，则的度数为　 　
7．如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则　 　．
8．如图，点A，B在上，点C在上，若，则为　 　
9．如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．
10．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
二、巩固提升
11．如图，四边形AOBC的顶点A，B，C在⊙O上，点E在BC的延长线上.若∠ACE=68°，则∠AOB的度数为(　　)
A．112° B．126° C．136° D．158°
12．如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，是的直径，是半圆的中点，是弧上的动点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．不能确定
14．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，若 则的度数为∠DAB=　 　°.
16．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在 上， ∠ABC=20 °，则 ∠CDB=　 　°.
17．如图，过四边形的四个顶点，已知，平分，，则　 　．
18．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
19．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=8，AE=6。
（1）求证：
（2）求EC的长。
三、能力应用
21．已知AB， CD是⊙O的弦， CD⊥AB于点E， 且. 连接BC， AD.
（1）如图1， 若AB是⊙O的直径， 求∠C的度数.
（2）如图2， 若∠ADC=50°， 求证： CD=CB.
（3）如图3， 连结AC， 延长DA至F， 记∠CAF=α， ∠ADC=β， 求α， β满足的关系式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵弧AC=弧AC，
∴∠D=∠AOC=65°，
∵∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠D=115°，
故答案为：C.
【分析】先利用圆周角求出∠D的度数，再利用圆内接四边形的性质求出∠B的度数即可.
2．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中，点 、 、 、 分别在圆上，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点、、、在上，
∴，
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故答案为：C．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得出∠B=65°，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC的度数.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC= 110°
∴∠ADC=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD的对角和为180°，已知∠ABC的度数，可以通过180°减去∠ABC的度数来计算其对角∠ADC的度数.
6．【答案】56
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
，
，
，
，
．
故答案为：56．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，最后根据三角形内角和定理得出的度数即可．
7．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形为 圆内接四边形，
．
故答案为：140°.
【分析】根据圆周角定理，可求，再根据圆内接四边形的性质即可求解．
8．【答案】140
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取一点D，连接AD，BD，
则
∵点A，C，B，D四点共圆
∴∠ACB+∠D=180°
∴∠ACB=180°-∠D=180°-40°=140°，
故答案为：140.
【分析】在优弧上取一点D，连接AD，BD，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出∠D的度数，再利用圆内接四边形性质来求解.
9．【答案】解：，
，
，
，
，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要运用等弧对等弧的性质，等边三角形的判定以及圆内接四边形的性质来求解.
10．【答案】（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，由邻补角得，从而根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算即可．
（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
11．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点D，连接AD，BD，
∵∠D+∠ACB=∠ACE+∠ACB=180°，且∠ACE=68°，
∴∠D=∠ACE=68° ，
∴∠AOB=2∠D=136°．
故选：C.
【分析】在优弧上取点D，连接AD，BD，得∠D=∠ACE=68°，即可求得∠AOB的度数．
12．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据两直线平行，同位角相等得到，利用等边对等角和三角形内角和定理解答即可．
13．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是半圆的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：B.
【分析】连接BC，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，由弧中点定义得，由等弧所对的弦相等得AC=BC，由等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠ABC=45°，然后通过圆内接四边形对角互补即可求出∠D的度数.
14．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形为圆的内接四边形，
∵是半圆的直径，
故选：B．
【分析】
先根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，再结合圆内接四边形的性质推出，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，就可以计算出的度数.
15．【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CO，DO，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=125°，
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠B=180°-125°=55°
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=55°，
∴∠COB=180°-55°-55°=70°
∵点C为的中点
∴
∴∠COB=∠DOC=70°，
∴∠DOB=140°
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO=70°
故答案为：70.
【分析】根据题意连接CO，DO，利用圆内接四边形对角互补，得∠B=55°，继而得∠COB=70°，再利用圆周角定理得∠COB=∠DOC=70°，再利用外角和定理即可得到本题答案.
16．【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
．
故答案为：110.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得 ，利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补解答即可．
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵平分，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
把绕点D逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
∴点B、C、E共线，
，
．
故答案为：．
【分析】先证明为等腰直角三角形，再根据圆内接四边形的性质得到，再把绕点D逆时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，所以为等腰直角三角形，接着证明点B、C、E共线得到，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
18．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案．
19．【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm， BC=5cm，
∴BD=13 (cm)，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
故AB的长为
（2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ，
∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABC' =180°，
又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
，
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先勾股定理得BD的长，由∠ABD=∠ADB=45°是AB=AD，由此得AB的长；
(2)由圆内接四边形的性质知∠ABC+∠ABC' =180°，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，知 △ACD≌△ABC'，由此得△C'AC是等腰直角三角形即得
20．【答案】（1）证明：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴
（2）解：∵，AD＝8
∴AC＝AD＝8，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴CE2．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)连接AC，利用角平分线定义得∠ABE=∠ABD，根据圆内接四边形性质外角∠ABE=∠ADC，由同弧所对圆周角相等得∠ABD=∠ACD，进而推出∠ADC=∠ACD，进而即可求解；
(2)由(1)得AC＝AD＝8，再根据勾股定理即可求解.
21．【答案】（1）解：∵AB为直径
∴的度数为180°
∵
∴的度数为60°
∴∠ACD=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC
∴∠ABC=50°
∵CD⊥AB
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-50°=40°
∵
∴∠ABD=∠BCD=20°
∵∠BDC=90°-∠ABD
∴∠BDC=90°-20°=70°
∴∠BCD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-40°-70°=70°
∴∠BCD=∠CBD
∴CD=CB
（3）解：∵ADCB内接于圆O
∴∠CBD=∠CAF= α
∵∠ADC= β
∴∠ABC= β ，∠DAB=90°- β
∵
∴∠DAB=∠DCB=2∠ABD
∴∠ABD=
于是+β=α，即2α-β=90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据半圆的角度和弧的关系，可得∠C的度数；
(2)由∠ADC=50°可得∠ABC=50°，由弧的关系可得∠ABD的度数，由此得∠BDC=∠BCD，由此可得结论；
(3)由圆内接四边形外角的性质知∠CBD=α，由弧的关系可得∠DAB=∠DCB=2∠ABD，由此可得 α， β满足的关系式.
1 / 13.5 圆内接四边形-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如下图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC.若∠AOC=130°，则∠ABC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．115° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵弧AC=弧AC，
∴∠D=∠AOC=65°，
∵∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠D=115°，
故答案为：C.
【分析】先利用圆周角求出∠D的度数，再利用圆内接四边形的性质求出∠B的度数即可.
2．如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，若∠ABC=54°，则∠ADC的度数为（　　）
A．54° B．108° C．126° D．136°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中，点 、 、 、 分别在圆上，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可.
3．如图，点、、、在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点、、、在上，
∴，
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
4．如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故答案为：C．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得出∠B=65°，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC的度数.
5．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC= 110°
∴∠ADC=180°-110°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质，四边形ABCD的对角和为180°，已知∠ABC的度数，可以通过180°减去∠ABC的度数来计算其对角∠ADC的度数.
6．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆E的两点，且满足，连接，则的度数为　 　
【答案】56
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
，
，
，
，
．
故答案为：56．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，最后根据三角形内角和定理得出的度数即可．
7．如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
四边形为 圆内接四边形，
．
故答案为：140°.
【分析】根据圆周角定理，可求，再根据圆内接四边形的性质即可求解．
8．如图，点A，B在上，点C在上，若，则为　 　
【答案】140
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取一点D，连接AD，BD，
则
∵点A，C，B，D四点共圆
∴∠ACB+∠D=180°
∴∠ACB=180°-∠D=180°-40°=140°，
故答案为：140.
【分析】在优弧上取一点D，连接AD，BD，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出∠D的度数，再利用圆内接四边形性质来求解.
9．如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．
【答案】解：，
，
，
，
，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题主要运用等弧对等弧的性质，等边三角形的判定以及圆内接四边形的性质来求解.
10．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，由邻补角得，从而根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算即可．
（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
二、巩固提升
11．如图，四边形AOBC的顶点A，B，C在⊙O上，点E在BC的延长线上.若∠ACE=68°，则∠AOB的度数为(　　)
A．112° B．126° C．136° D．158°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点D，连接AD，BD，
∵∠D+∠ACB=∠ACE+∠ACB=180°，且∠ACE=68°，
∴∠D=∠ACE=68° ，
∴∠AOB=2∠D=136°．
故选：C.
【分析】在优弧上取点D，连接AD，BD，得∠D=∠ACE=68°，即可求得∠AOB的度数．
12．如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据两直线平行，同位角相等得到，利用等边对等角和三角形内角和定理解答即可．
13．如图，是的直径，是半圆的中点，是弧上的动点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是半圆的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：B.
【分析】连接BC，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，由弧中点定义得，由等弧所对的弦相等得AC=BC，由等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠ABC=45°，然后通过圆内接四边形对角互补即可求出∠D的度数.
14．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形为圆的内接四边形，
∵是半圆的直径，
故选：B．
【分析】
先根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，再结合圆内接四边形的性质推出，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，就可以计算出的度数.
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，若 则的度数为∠DAB=　 　°.
【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CO，DO，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=125°，
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠B=180°-125°=55°
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=55°，
∴∠COB=180°-55°-55°=70°
∵点C为的中点
∴
∴∠COB=∠DOC=70°，
∴∠DOB=140°
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO=70°
故答案为：70.
【分析】根据题意连接CO，DO，利用圆内接四边形对角互补，得∠B=55°，继而得∠COB=70°，再利用圆周角定理得∠COB=∠DOC=70°，再利用外角和定理即可得到本题答案.
16．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在 上， ∠ABC=20 °，则 ∠CDB=　 　°.
【答案】110
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
．
故答案为：110.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得 ，利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补解答即可．
17．如图，过四边形的四个顶点，已知，平分，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵平分，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
把绕点D逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
∴点B、C、E共线，
，
．
故答案为：．
【分析】先证明为等腰直角三角形，再根据圆内接四边形的性质得到，再把绕点D逆时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，所以为等腰直角三角形，接着证明点B、C、E共线得到，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
18．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案．
19．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm， BC=5cm，
∴BD=13 (cm)，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
故AB的长为
（2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ，
∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABC' =180°，
又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
，
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先勾股定理得BD的长，由∠ABD=∠ADB=45°是AB=AD，由此得AB的长；
(2)由圆内接四边形的性质知∠ABC+∠ABC' =180°，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，知 △ACD≌△ABC'，由此得△C'AC是等腰直角三角形即得
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=8，AE=6。
（1）求证：
（2）求EC的长。
【答案】（1）证明：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴
（2）解：∵，AD＝8
∴AC＝AD＝8，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴CE2．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)连接AC，利用角平分线定义得∠ABE=∠ABD，根据圆内接四边形性质外角∠ABE=∠ADC，由同弧所对圆周角相等得∠ABD=∠ACD，进而推出∠ADC=∠ACD，进而即可求解；
(2)由(1)得AC＝AD＝8，再根据勾股定理即可求解.
三、能力应用
21．已知AB， CD是⊙O的弦， CD⊥AB于点E， 且. 连接BC， AD.
（1）如图1， 若AB是⊙O的直径， 求∠C的度数.
（2）如图2， 若∠ADC=50°， 求证： CD=CB.
（3）如图3， 连结AC， 延长DA至F， 记∠CAF=α， ∠ADC=β， 求α， β满足的关系式.
【答案】（1）解：∵AB为直径
∴的度数为180°
∵
∴的度数为60°
∴∠ACD=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC
∴∠ABC=50°
∵CD⊥AB
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-50°=40°
∵
∴∠ABD=∠BCD=20°
∵∠BDC=90°-∠ABD
∴∠BDC=90°-20°=70°
∴∠BCD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-40°-70°=70°
∴∠BCD=∠CBD
∴CD=CB
（3）解：∵ADCB内接于圆O
∴∠CBD=∠CAF= α
∵∠ADC= β
∴∠ABC= β ，∠DAB=90°- β
∵
∴∠DAB=∠DCB=2∠ABD
∴∠ABD=
于是+β=α，即2α-β=90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据半圆的角度和弧的关系，可得∠C的度数；
(2)由∠ADC=50°可得∠ABC=50°，由弧的关系可得∠ABD的度数，由此得∠BDC=∠BCD，由此可得结论；
(3)由圆内接四边形外角的性质知∠CBD=α，由弧的关系可得∠DAB=∠DCB=2∠ABD，由此可得 α， β满足的关系式.
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