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3.6 正多边形-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示)，其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 （　　)
A．22.5° B．30° C．45 D．60°
2．如图，在正五边形中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．小明在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为(　　)
A． B． C． D．
4．将若干个大小相同的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形．
A．9 B．10 C．5 D．7
5．若一个正多边形的每一个内角的度数是其相邻外角的度数的5倍，则这个多边形是（　　）
A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形
6．正六边形的每个外角为 (　　)
A．60° B．120° C．150° D．170°
7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形ABCDEFGH是其示意图，则的度数是　 　°．
8．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为　 　．
9．如图，在正五边形中完成下列问题
（1）请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形；
（2）求正五边形的一个内角的度数．
二、巩固提升
10．如图有一正六边形与一正边形的部分图形，其中、、、为正边形中连续的四个顶点，在上，、、、四点共线求值为何？(　　)
A． B． C． D．
11．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）
A．36° B．30° C．45° D．40°
12．如图，l1，l2经过正五边形的两个顶点， 且l1ll2， 若∠1=80°， 则∠2=(　　)
A．48° B．46° C．44° D．42°
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　)
A．36° B．45° C．60° D．72°
14．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是　 　 ．
15．如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　 　.
16．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）n的值为　 　．
（2）小明走出的这n边形的周长为　 　米．
（3）若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数．
17． 如图， 两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B， C， 且 当∠1=37°时， ∠2=　 　 °
18．综合与实践
【提出问题】如何利用正n边形纸片制作有盖的正n棱柱形收纳盒．
【理解题意】正n棱柱是上下底面为正n边形的直棱柱．
【拟定计划】为了解决问题，可以运用归纳策略寻找规律，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
【实施计划】将一个正n边形硬纸片沿虚线剪开，折成一个有盖的收纳盒，其中收纳盒的上底面盖子由纸片中的阴影部分拼接得到．
边数 3 4 5 n
正n边形
正n棱柱
根据上表信息，完成下列填空：
（1） ∠1 =　 　°， ∠3=　 　°， ∠4=　 　°；
（2） a=　 　， b与c之间满足的等量关系为　 　；
（3）【回顾反思】按照上述方式，若想折出一个底面边长为10cm的正八棱柱形有盖收纳盒，需要使用边长为多少的正八边形硬纸片
19． 如图，G，H 分别是正六边形ABCDEF的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交BH 于点 P.
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH 的度数.
三、能力应用
20．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
21．已知五边形ABCDE，回答下列问题.
（1）①该五边形的内角和为　 　，外角和为　 　，过顶点A 可引　 　条对角线，共有　 　条对角线；
②该五边形的边数由原来的5 增加到n（n>5，n为正整数）时，它的内角和增加　 　；
（2）如图，若五边形ABCDE 是正五边形，连接CE，则每个内角的度数为　 　，每个外角的度数为　 　，对称轴有　 　条，∠ECD 的度数为　 　.∠1+∠2的度数为　 　.
（3）题后反思，如果一个n（n≥3）边形的边数增加1，那么它的内角和增加多少度 如果n边形的边数增加为原来的2倍，那么它的内角和增加多少度
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和均为，正八边形的 8 个外角大小相等，
∴单个外角的度数为，
即。
故答案为：C
【分析】本题考查正多边形的外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360°，与边数无关。正多边形的所有外角大小相等，因此用外角和总度数除以正八边形的边数 8，即可求出单个外角的度数。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用正多边形的内角和求出∠A的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠ABE的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形内角和为
因此每个内角度数为
故答案为：C.
【分析】本题主要考查正多边形性质及多边形内角和.利用多边形内角和公式，计算正八边形内角和，由于正多边形每个内角相等，进而计算一个内角的度数.
4．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的外角和为，正五边形的每个外角为
设相邻两个正五边形的公共顶点为，则在点处形成的角
∵圆环一周为
∴组成圆环共需要正五边形的个数为个
已排3个，还需要个
故答案为：D
【分析】本题考查正多边形的外角和及角度计算。先根据正多边形外角和求出正五边形的外角，再计算相邻正五边形在公共顶点处形成的内角，用周角除以该内角得到组成圆环所需正五边形的总数，减去已有的数量即可。
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正多边形的一个外角等于，则相邻内角为
根据题意，得
解得：，
这个多边形的边数是：．
∴这个多边形是正十二边形．
故选：A．
【分析】设正多边形的一个外角等于，则相邻内角为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的个外角都相等，
∴正六边形每个外角的度数为 .
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和为360°解答即可.
7．【答案】135
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：135.
【分析】多边形内角和计算公式（n-2）×180°，而正多边形每个内角都相等，因此任意正多边形的每个内角为；本题将n=8代入计算即可得出∠A的度数。
8．【答案】90
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为，
．
故答案为：90.
【分析】求出正多边形的中心角解答即可.
9．【答案】（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示：
，
由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、；
（2）解：正五边形的一个内角的度数为．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）画出过顶点A的所有对角线，再结合图形数出三角形个数即可求出答案.
（2）根据正多边形内角和即可求出答案.
（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示：
，
由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、；
故答案为：3；
（2）解：正五边形的一个内角的度数为．
10．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图：延长GE交CH 于点M，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，点G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，
∴△MDE是正三角形，ME=MH，
∴正n边形的边数
即这个正多边形是正十二边形，
故选： C.
【分析】延长GE交CH 于点M，根据正六边形的外角和求出∠MDE=∠MED=60°即可得到△MDE是正三角形，再根据三角形的外角求出∠MHE的长，然后根据多边形的外角和定理求出n的值解答即可..
11．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形内角和为(5-2)×180°=540°，
每个内角度数为540°÷5=108°，
∴∠ABC=108°，
∵AB=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠BCA=∠BAC．
∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，即2∠BCA+∠ABC=180°，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据多边形内角和公式求出正五边形内角和540°，再除以5得到单个内角∠ABC=108°；再根据正五边形各边相等得到AB=BC，判定△ABC是等腰三角形；最后利用三角形内角和180°，求出底角∠BAC=36°．
12．【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作
∵正五边形ABCDE的各内角相等，
∵正五边形的内角和为：(
故选：C.
【分析】根据题意，画出图形.根据正多边形的定义可得各内角相等，再根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角和为： 即可得出. 然后再根据平行线的性质以及邻补角进行计算，即可得出答案.
13．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据正五边形的性质求得中心角，然后根据圆周角定理解答即可．
14．【答案】72°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD， OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴
∴∠BOD=144°
∴
故答案为：72°.
【分析】连接OC，OD， OB，根据正五边形的性质得出∠COD和∠COB的度数，从而得出∠BFD的度数.
15．【答案】36°
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵四边形ABCF是菱形，
故答案为：
【分析】根据正五边形的性质求出 根据菱形的性质求出 即可求解.
16．【答案】（1）15
（2）45
（3）解：根据题意，得，
解得，
故这个正m边形的边数为8．
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：15
（2）解：周长 (米)
故答案为：45
【分析】（1）根据正多边形外角性质即可求出答案.
（2）根据正多边形周长即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：；
（2）解：周长 (米)
（3）解：根据题意，得，
解得，
故这个正m边形的边数为8．
17．【答案】97
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：97．
【分析】先根据正六边形的性质求出内角的度数，根据角的和差求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
18．【答案】（1）120；72；
（2）4；c=(或b=2c)
（3）解：由 (2) 中结论得： b=2c，
由题意知c=10cm，
所以b=2×10=20cm．
答：需要使用边长为20cm 的正八边形硬纸片．
【知识点】立体图形的概念与分类；角的运算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：∠1=360°-60°-90°-90°=120°=；
∠2=90°=；
∴∠3==72°；∠4=，
故答案为：120；72；；
（2）根据规律可得：a==4，b=2c，
故答案为：4；c=(或b=2c).
【分析】（1）利用前几个图形的角度的关系，再求解即可；
（2）利用前几个图形的边长关系可得规律，再求解即可；
（3）利用（2）的规律列出算式求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=120°.
在△ABG 与△BCH 中，
∴△ABG≌△BCH.
（2）解：
【知识点】三角形外角的概念及性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于正多边形的各边相等，各角相等，又已知BG＝CH，则可利用SAS证明结论成立；
（2）由于全等三角形的对应角相等，则利用三角形的外角性质可把 ∠APH转化为正六边形的内角 ∠ABC，即120°.
20．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
21．【答案】（1）540°；360°；2；5；(n-5)·180°
（2）108°；72°；5；36°；144°
（3）解：多边形的内角和为(n-2)·180°，边数每增加 1，内角和增加180°；如果边数增加为原来的2 倍，内角和为(2n-2)·180°，∴内角和增加(2n-
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①五边形的内角和为180°×(5-2)=540°，外角和为360°，过顶点A可引2条对称轴，共有条对称轴，
② 该五边形的边数由原来的5 增加到n（n>5，n为正整数）时，它的内角和增加180°×(n-2)-540°=(n-5)·180°，
故答案为：540°，360°，2，5，(n-5)·180°；
（2） 五边形ABCDE 是正五边形，连接CE，则每个内角的度数为，每个外角的度数为，对称轴有5条，
∵DC=DE，
∴∠ECD=∠DEC=，
∠1+∠2=72°+72°=144°，
故答案为：108°，72°，5，36°，144°；
【分析】（1）根据多边形的内角和定理，外角和和对角线的条数公式解答；
（2）根据正多边形的性质解答即可；
（3）根据多边形的内角和公式解答即可.
1 / 13.6 正多边形-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示)，其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 （　　)
A．22.5° B．30° C．45 D．60°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和均为，正八边形的 8 个外角大小相等，
∴单个外角的度数为，
即。
故答案为：C
【分析】本题考查正多边形的外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360°，与边数无关。正多边形的所有外角大小相等，因此用外角和总度数除以正八边形的边数 8，即可求出单个外角的度数。
2．如图，在正五边形中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用正多边形的内角和求出∠A的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠ABE的度数即可.
3．小明在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形内角和为
因此每个内角度数为
故答案为：C.
【分析】本题主要考查正多边形性质及多边形内角和.利用多边形内角和公式，计算正八边形内角和，由于正多边形每个内角相等，进而计算一个内角的度数.
4．将若干个大小相同的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形．
A．9 B．10 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的外角和为，正五边形的每个外角为
设相邻两个正五边形的公共顶点为，则在点处形成的角
∵圆环一周为
∴组成圆环共需要正五边形的个数为个
已排3个，还需要个
故答案为：D
【分析】本题考查正多边形的外角和及角度计算。先根据正多边形外角和求出正五边形的外角，再计算相邻正五边形在公共顶点处形成的内角，用周角除以该内角得到组成圆环所需正五边形的总数，减去已有的数量即可。
5．若一个正多边形的每一个内角的度数是其相邻外角的度数的5倍，则这个多边形是（　　）
A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正多边形的一个外角等于，则相邻内角为
根据题意，得
解得：，
这个多边形的边数是：．
∴这个多边形是正十二边形．
故选：A．
【分析】设正多边形的一个外角等于，则相邻内角为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
6．正六边形的每个外角为 (　　)
A．60° B．120° C．150° D．170°
【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的个外角都相等，
∴正六边形每个外角的度数为 .
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和为360°解答即可.
7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形ABCDEFGH是其示意图，则的度数是　 　°．
【答案】135
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：135.
【分析】多边形内角和计算公式（n-2）×180°，而正多边形每个内角都相等，因此任意正多边形的每个内角为；本题将n=8代入计算即可得出∠A的度数。
8．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为　 　．
【答案】90
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为，
．
故答案为：90.
【分析】求出正多边形的中心角解答即可.
9．如图，在正五边形中完成下列问题
（1）请画出过顶点A的所有对角线，此时，图中有________个三角形；
（2）求正五边形的一个内角的度数．
【答案】（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示：
，
由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、；
（2）解：正五边形的一个内角的度数为．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）画出过顶点A的所有对角线，再结合图形数出三角形个数即可求出答案.
（2）根据正多边形内角和即可求出答案.
（1）解：画出过顶点A的所有对角线如图所示：
，
由图形可得，此时，图中有个三角形，分别为、、；
故答案为：3；
（2）解：正五边形的一个内角的度数为．
二、巩固提升
10．如图有一正六边形与一正边形的部分图形，其中、、、为正边形中连续的四个顶点，在上，、、、四点共线求值为何？(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图：延长GE交CH 于点M，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，点G、E、H、I为正n边形中连续的四个顶点，
∴△MDE是正三角形，ME=MH，
∴正n边形的边数
即这个正多边形是正十二边形，
故选： C.
【分析】延长GE交CH 于点M，根据正六边形的外角和求出∠MDE=∠MED=60°即可得到△MDE是正三角形，再根据三角形的外角求出∠MHE的长，然后根据多边形的外角和定理求出n的值解答即可..
11．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）
A．36° B．30° C．45° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形内角和为(5-2)×180°=540°，
每个内角度数为540°÷5=108°，
∴∠ABC=108°，
∵AB=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠BCA=∠BAC．
∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，即2∠BCA+∠ABC=180°，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据多边形内角和公式求出正五边形内角和540°，再除以5得到单个内角∠ABC=108°；再根据正五边形各边相等得到AB=BC，判定△ABC是等腰三角形；最后利用三角形内角和180°，求出底角∠BAC=36°．
12．如图，l1，l2经过正五边形的两个顶点， 且l1ll2， 若∠1=80°， 则∠2=(　　)
A．48° B．46° C．44° D．42°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作
∵正五边形ABCDE的各内角相等，
∵正五边形的内角和为：(
故选：C.
【分析】根据题意，画出图形.根据正多边形的定义可得各内角相等，再根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角和为： 即可得出. 然后再根据平行线的性质以及邻补角进行计算，即可得出答案.
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　)
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，
∴，
∵与分别是所对的圆周角和圆心角，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据正五边形的性质求得中心角，然后根据圆周角定理解答即可．
14．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点F是弧AE上一点，连接BF，DF，则∠BFD的度数是　 　 ．
【答案】72°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD， OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴
∴∠BOD=144°
∴
故答案为：72°.
【分析】连接OC，OD， OB，根据正五边形的性质得出∠COD和∠COB的度数，从而得出∠BFD的度数.
15．如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　 　.
【答案】36°
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵四边形ABCF是菱形，
故答案为：
【分析】根据正五边形的性质求出 根据菱形的性质求出 即可求解.
16．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）n的值为　 　．
（2）小明走出的这n边形的周长为　 　米．
（3）若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数．
【答案】（1）15
（2）45
（3）解：根据题意，得，
解得，
故这个正m边形的边数为8．
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：15
（2）解：周长 (米)
故答案为：45
【分析】（1）根据正多边形外角性质即可求出答案.
（2）根据正多边形周长即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：；
（2）解：周长 (米)
（3）解：根据题意，得，
解得，
故这个正m边形的边数为8．
17． 如图， 两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B， C， 且 当∠1=37°时， ∠2=　 　 °
【答案】97
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：97．
【分析】先根据正六边形的性质求出内角的度数，根据角的和差求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
18．综合与实践
【提出问题】如何利用正n边形纸片制作有盖的正n棱柱形收纳盒．
【理解题意】正n棱柱是上下底面为正n边形的直棱柱．
【拟定计划】为了解决问题，可以运用归纳策略寻找规律，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
【实施计划】将一个正n边形硬纸片沿虚线剪开，折成一个有盖的收纳盒，其中收纳盒的上底面盖子由纸片中的阴影部分拼接得到．
边数 3 4 5 n
正n边形
正n棱柱
根据上表信息，完成下列填空：
（1） ∠1 =　 　°， ∠3=　 　°， ∠4=　 　°；
（2） a=　 　， b与c之间满足的等量关系为　 　；
（3）【回顾反思】按照上述方式，若想折出一个底面边长为10cm的正八棱柱形有盖收纳盒，需要使用边长为多少的正八边形硬纸片
【答案】（1）120；72；
（2）4；c=(或b=2c)
（3）解：由 (2) 中结论得： b=2c，
由题意知c=10cm，
所以b=2×10=20cm．
答：需要使用边长为20cm 的正八边形硬纸片．
【知识点】立体图形的概念与分类；角的运算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：∠1=360°-60°-90°-90°=120°=；
∠2=90°=；
∴∠3==72°；∠4=，
故答案为：120；72；；
（2）根据规律可得：a==4，b=2c，
故答案为：4；c=(或b=2c).
【分析】（1）利用前几个图形的角度的关系，再求解即可；
（2）利用前几个图形的边长关系可得规律，再求解即可；
（3）利用（2）的规律列出算式求解即可.
19． 如图，G，H 分别是正六边形ABCDEF的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交BH 于点 P.
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH 的度数.
【答案】（1）证明：∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=120°.
在△ABG 与△BCH 中，
∴△ABG≌△BCH.
（2）解：
【知识点】三角形外角的概念及性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于正多边形的各边相等，各角相等，又已知BG＝CH，则可利用SAS证明结论成立；
（2）由于全等三角形的对应角相等，则利用三角形的外角性质可把 ∠APH转化为正六边形的内角 ∠ABC，即120°.
三、能力应用
20．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
21．已知五边形ABCDE，回答下列问题.
（1）①该五边形的内角和为　 　，外角和为　 　，过顶点A 可引　 　条对角线，共有　 　条对角线；
②该五边形的边数由原来的5 增加到n（n>5，n为正整数）时，它的内角和增加　 　；
（2）如图，若五边形ABCDE 是正五边形，连接CE，则每个内角的度数为　 　，每个外角的度数为　 　，对称轴有　 　条，∠ECD 的度数为　 　.∠1+∠2的度数为　 　.
（3）题后反思，如果一个n（n≥3）边形的边数增加1，那么它的内角和增加多少度 如果n边形的边数增加为原来的2倍，那么它的内角和增加多少度
【答案】（1）540°；360°；2；5；(n-5)·180°
（2）108°；72°；5；36°；144°
（3）解：多边形的内角和为(n-2)·180°，边数每增加 1，内角和增加180°；如果边数增加为原来的2 倍，内角和为(2n-2)·180°，∴内角和增加(2n-
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①五边形的内角和为180°×(5-2)=540°，外角和为360°，过顶点A可引2条对称轴，共有条对称轴，
② 该五边形的边数由原来的5 增加到n（n>5，n为正整数）时，它的内角和增加180°×(n-2)-540°=(n-5)·180°，
故答案为：540°，360°，2，5，(n-5)·180°；
（2） 五边形ABCDE 是正五边形，连接CE，则每个内角的度数为，每个外角的度数为，对称轴有5条，
∵DC=DE，
∴∠ECD=∠DEC=，
∠1+∠2=72°+72°=144°，
故答案为：108°，72°，5，36°，144°；
【分析】（1）根据多边形的内角和定理，外角和和对角线的条数公式解答；
（2）根据正多边形的性质解答即可；
（3）根据多边形的内角和公式解答即可.
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