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3.7 弧长及扇形的面积（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据弧长公式即可求出答案.
2．如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】∵C为弧AB中点，
∴=，
∴∠ABC=∠BAC=30 ，
在△ABC中： ∠ACB=180 30 30 =120 .
所对的圆周角为120 .
同弧圆心角是圆周角 2 倍： n=2×(180 120 )=120 .
已知半径r=OA=3，n=120：
lAB ==2π.
故答案为：B.
【分析】由C是弧AB中点，得弧AC=弧BC，推出圆周角∠ABC=∠BAC=30 ；三角形内角和求∠ACB，再用同弧所对圆心角 = 2 倍圆周角，算出弧AB对应的圆心角度数n；代入弧长公式l=计算弧长.
3．如图，扇形AOB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径OA=15cm，∠AOB=120°，则的长为（　　）
A．8π B．10π C．12π D．14π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：的长=，
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
4．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故选：C．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
5．在等边三角形中，为中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵在等边三角形中，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴的长是．
【分析】
利用等边三角形的性质可得，从而得到，最后利用弧长公式计算即可．
6．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为　 　厘米．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】三角板为等腰直角三角形，∠AOB=90 ， 量角器圆弧半径OA=OB=6cm，即r=6，n=90。.
弧长公式：lAB=，
lAB==3π.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角板直角顶点在O，得到弧AB对应的圆心角∠AOB=90 ；由OA=6cm，确定扇形半径r=6；回忆弧长公式l=，代入圆心角度数n=90、半径r=6；化简计算得到弧长.
7．已知一条弧所对圆心角是72°，那么这条弧的长度与该弧所在圆的周长之比为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为；
故答案为：．
【分析】根据弧长的定义解答即可．
8．如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的弧长为．
故填：2π.
【分析】
利用弧长计算公式来计算该扇形的弧长.
9．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长．
【答案】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，线段交于点，即点即为所求圆心.
（2）圆形轮片的直径为，圆心角，再根据弧长公式即可求出答案.
二、巩固提升
10．如图， ⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠ACB=90°， AB=4，以C为圆心CA为半径的弧恰好过圆心O且交BC于点F，分别以A、F为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点E，连结CE并延长交⊙O于点 P，则劣弧 的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】 连接OC，OP，如图所示：
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，且∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AB=4，
∴OA=OB=OC=2，
∵以C为圆心CA为半径的弧恰好过圆心O，
∴AC=OC=2，
∴AC=OC=OA=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
由尺规作图可知：CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠ACB=45°，
根据圆周角与圆心角的关系得：∠AOP=2∠ACP=90°，
∴∠COP=∠AOC+∠AOP=150°，
由弧长公式得：劣弧CP的长为：.
【分析】连接OC，OP，依题意得AB是⊙O的直径，则OA=OB=OC=2，由尺规作图得AC=OC=2，CP是∠ACB的平分线，进而得AC=OC=OA=2，∠ACP=45°，由此可得△OAC是等边三角形，则∠AOC=60°，再根据圆周角与圆心角的关系得∠AOP=2∠ACP=90°，继而得∠COP=∠AOC+∠AOP=150°，然后由弧长公式即可求出劣弧长.
11．如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连结．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴的长．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据作图可知，即可得到，然后利用三角形内角和定理求出，再根据弧长公式计算即可．
12． 如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°， OA=6，点C在弧AB上，连结OC， AD垂直平分OC交OB于点D，则弧BC的长度为（　　)
A．π B．2π C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长度．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得为等边三角形，即可得到，进而求出，根据弧长公式解答即可．
13．如图，已知⊙O的半径为2，在⊙O上顺次取A、B、C、D四点，连接AB，BC，CD，AD．若∠ABC=100°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AO、CO，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC=100°
∴∠ADC=80°.
∴∠AOC=160°
∴
故答案为：C.
【分析】根据圆的内接四边形的性质可得∠ADC=80°，可得∠AOC=160°，代入弧长公式计算即可.
14． 如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB=35°，AB=9， 则CD的长等于（　　）
A．5π B．4π C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【分析】连接，根据两直线平行，内错角相等求出，根据等边对等角得到，，再根据两直线平行，内错角相等得出，根据弧长公式计算即可．
15．如图是一个3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，则经过点B的 的长度是　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算；垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接 ，由网格的特点作的垂直平分线交于点 ，连接，
则点 为经过点 的的圆心，
由图知，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴的长度是．
故答案为：.
【分析】先根据垂径定理的推论得到圆心 的位置，连接，根据勾股定理的逆定理求出∠AOC=90°，然后根据弧长公式计算即可．
16． 如图，AB为⊙O 的直径，点C在⊙O 上，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若AB=4，则的长为　 　.
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故答案为：π .
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据角平分线的定义得到∠ACD=45°，再利用圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
17．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则的长度为　 　.
【答案】4π
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的每个内角为，
。
半径
弧的长为
故答案为：
【分析】本题考查正多边形内角和弧长公式。正六边形每个内角为，弧是以为圆心、半径为、圆心角为的弧，代入弧长公式即可求解。
18．如图， 在△ABC中， ∠CAB=90°， 以AB为直径作半⊙O， 点D 是该半圆上的点，连结AD交BC于点E，AE=BE.
（1） 求证： E为BC的中点；
（2） 若AC=AE=6， 求 的长.
【答案】（1）证明：
∴CE=BE，
∴E为BC的中点；
（2）解：如图，连接OD，
由(1)知CE=AE，
∵AC=AE=6，
∴AC=CE=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠C=60°，
∴∠BAD=∠ABE=30°，
∴∠BOD=60°， BC=2AC=12，
的长

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 得到CE=BE，证明结论即可；
(2)连接OD，由(1)知(CE=AE，推出 是等边三角形，得到 求得 BC=2AC=12，根据勾股定理得到 于是得到 的长.
19．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵BC=AC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴，
设∠AOD=x，则∠DOE=90°-x，
∵，
∴，
∴
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得出OC⊥AB，则，设∠AOD=x，则∠DOE=90°-x，由等边对等角得出∠ADO=，∠ODE=，最后根据角的构成，由∠ADE=∠ADO+∠ODE可算出答案；
（2） 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出OD=AD=3，然后根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ADO是等边是哪些，由等边三角形三个内角都等于60°得出∠AOD=60°，然后根据角的构成求出∠DOE的度数，最后由弧长公式计算即可．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
20． 如图， ⊙O的直径CD垂直弦AB于点E， 连接OA， OB， CD=10。
（1） 若∠AOD=50°， 求. 的长；
（2） 若DE=2， 求弦AB的长。
【答案】（1）解：∵AB⊥CD
∴∠AOD=∠BOD
∵∠AOD=50°.
∴∠BOD=50°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=50°+50°=100°，
∵CD=10，
∴r=5，
（2）解：∵DE=2，
∴OE=3
∴在R t△OAE中 ，
∴AB=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理得∠AOD=∠BOD，求出∠AOB=100°，再根据弧长公式即可求解；
(2)根据DE=2可求出OE=3，由垂径定理得，由勾股定理得AE=4，从而即可求解.
三、能力应用
21．如图，在平面直角坐标系中，有三点．
（1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______；
（2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）．
【答案】（1）
（2），
【知识点】垂径定理的实际应用；确定圆的条件；弧长的计算；旋转的性质
【解析】（1）解：如图，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为，
点旋转到点所经过的路径长为，
故答案为：，．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，即点M为圆心，再根据点的位置求出坐标即可.
（2）根据旋转性质，结合弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为，
点旋转到点所经过的路径长为，
故答案为：，．
1 / 13.7 弧长及扇形的面积（1）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，扇形AOB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径OA=15cm，∠AOB=120°，则的长为（　　）
A．8π B．10π C．12π D．14π
4．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（　　）
A． B． C． D．
5．在等边三角形中，为中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为　 　厘米．（结果保留）
7．已知一条弧所对圆心角是72°，那么这条弧的长度与该弧所在圆的周长之比为　 　.
8．如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为　 　．（结果保留）
9．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长．
二、巩固提升
10．如图， ⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠ACB=90°， AB=4，以C为圆心CA为半径的弧恰好过圆心O且交BC于点F，分别以A、F为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点E，连结CE并延长交⊙O于点 P，则劣弧 的长为(　　)
A． B． C． D．
11．如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连结．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12． 如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°， OA=6，点C在弧AB上，连结OC， AD垂直平分OC交OB于点D，则弧BC的长度为（　　)
A．π B．2π C． D．
13．如图，已知⊙O的半径为2，在⊙O上顺次取A、B、C、D四点，连接AB，BC，CD，AD．若∠ABC=100°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
14． 如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB=35°，AB=9， 则CD的长等于（　　）
A．5π B．4π C． D．
15．如图是一个3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，则经过点B的 的长度是　 　.
16． 如图，AB为⊙O 的直径，点C在⊙O 上，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若AB=4，则的长为　 　.
17．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则的长度为　 　.
18．如图， 在△ABC中， ∠CAB=90°， 以AB为直径作半⊙O， 点D 是该半圆上的点，连结AD交BC于点E，AE=BE.
（1） 求证： E为BC的中点；
（2） 若AC=AE=6， 求 的长.
19．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
20． 如图， ⊙O的直径CD垂直弦AB于点E， 连接OA， OB， CD=10。
（1） 若∠AOD=50°， 求. 的长；
（2） 若DE=2， 求弦AB的长。
三、能力应用
21．如图，在平面直角坐标系中，有三点．
（1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______；
（2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据弧长公式即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】∵C为弧AB中点，
∴=，
∴∠ABC=∠BAC=30 ，
在△ABC中： ∠ACB=180 30 30 =120 .
所对的圆周角为120 .
同弧圆心角是圆周角 2 倍： n=2×(180 120 )=120 .
已知半径r=OA=3，n=120：
lAB ==2π.
故答案为：B.
【分析】由C是弧AB中点，得弧AC=弧BC，推出圆周角∠ABC=∠BAC=30 ；三角形内角和求∠ACB，再用同弧所对圆心角 = 2 倍圆周角，算出弧AB对应的圆心角度数n；代入弧长公式l=计算弧长.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：的长=，
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故选：C．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵在等边三角形中，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴的长是．
【分析】
利用等边三角形的性质可得，从而得到，最后利用弧长公式计算即可．
6．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】三角板为等腰直角三角形，∠AOB=90 ， 量角器圆弧半径OA=OB=6cm，即r=6，n=90。.
弧长公式：lAB=，
lAB==3π.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角板直角顶点在O，得到弧AB对应的圆心角∠AOB=90 ；由OA=6cm，确定扇形半径r=6；回忆弧长公式l=，代入圆心角度数n=90、半径r=6；化简计算得到弧长.
7．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为；
故答案为：．
【分析】根据弧长的定义解答即可．
8．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的弧长为．
故填：2π.
【分析】
利用弧长计算公式来计算该扇形的弧长.
9．【答案】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，线段交于点，即点即为所求圆心.
（2）圆形轮片的直径为，圆心角，再根据弧长公式即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】 连接OC，OP，如图所示：
∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，且∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AB=4，
∴OA=OB=OC=2，
∵以C为圆心CA为半径的弧恰好过圆心O，
∴AC=OC=2，
∴AC=OC=OA=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
由尺规作图可知：CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠ACB=45°，
根据圆周角与圆心角的关系得：∠AOP=2∠ACP=90°，
∴∠COP=∠AOC+∠AOP=150°，
由弧长公式得：劣弧CP的长为：.
【分析】连接OC，OP，依题意得AB是⊙O的直径，则OA=OB=OC=2，由尺规作图得AC=OC=2，CP是∠ACB的平分线，进而得AC=OC=OA=2，∠ACP=45°，由此可得△OAC是等边三角形，则∠AOC=60°，再根据圆周角与圆心角的关系得∠AOP=2∠ACP=90°，继而得∠COP=∠AOC+∠AOP=150°，然后由弧长公式即可求出劣弧长.
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴的长．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据作图可知，即可得到，然后利用三角形内角和定理求出，再根据弧长公式计算即可．
12．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长度．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得为等边三角形，即可得到，进而求出，根据弧长公式解答即可．
13．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AO、CO，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC=100°
∴∠ADC=80°.
∴∠AOC=160°
∴
故答案为：C.
【分析】根据圆的内接四边形的性质可得∠ADC=80°，可得∠AOC=160°，代入弧长公式计算即可.
14．【答案】C
【知识点】平行线的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【分析】连接，根据两直线平行，内错角相等求出，根据等边对等角得到，，再根据两直线平行，内错角相等得出，根据弧长公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接 ，由网格的特点作的垂直平分线交于点 ，连接，
则点 为经过点 的的圆心，
由图知，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴的长度是．
故答案为：.
【分析】先根据垂径定理的推论得到圆心 的位置，连接，根据勾股定理的逆定理求出∠AOC=90°，然后根据弧长公式计算即可．
16．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故答案为：π .
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据角平分线的定义得到∠ACD=45°，再利用圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
17．【答案】4π
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的每个内角为，
。
半径
弧的长为
故答案为：
【分析】本题考查正多边形内角和弧长公式。正六边形每个内角为，弧是以为圆心、半径为、圆心角为的弧，代入弧长公式即可求解。
18．【答案】（1）证明：
∴CE=BE，
∴E为BC的中点；
（2）解：如图，连接OD，
由(1)知CE=AE，
∵AC=AE=6，
∴AC=CE=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠C=60°，
∴∠BAD=∠ABE=30°，
∴∠BOD=60°， BC=2AC=12，
的长

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 得到CE=BE，证明结论即可；
(2)连接OD，由(1)知(CE=AE，推出 是等边三角形，得到 求得 BC=2AC=12，根据勾股定理得到 于是得到 的长.
19．【答案】（1）解：连接，
∵BC=AC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴，
设∠AOD=x，则∠DOE=90°-x，
∵，
∴，
∴
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得出OC⊥AB，则，设∠AOD=x，则∠DOE=90°-x，由等边对等角得出∠ADO=，∠ODE=，最后根据角的构成，由∠ADE=∠ADO+∠ODE可算出答案；
（2） 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出OD=AD=3，然后根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ADO是等边是哪些，由等边三角形三个内角都等于60°得出∠AOD=60°，然后根据角的构成求出∠DOE的度数，最后由弧长公式计算即可．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
20．【答案】（1）解：∵AB⊥CD
∴∠AOD=∠BOD
∵∠AOD=50°.
∴∠BOD=50°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=50°+50°=100°，
∵CD=10，
∴r=5，
（2）解：∵DE=2，
∴OE=3
∴在R t△OAE中 ，
∴AB=8
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理得∠AOD=∠BOD，求出∠AOB=100°，再根据弧长公式即可求解；
(2)根据DE=2可求出OE=3，由垂径定理得，由勾股定理得AE=4，从而即可求解.
21．【答案】（1）
（2），
【知识点】垂径定理的实际应用；确定圆的条件；弧长的计算；旋转的性质
【解析】（1）解：如图，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为，
点旋转到点所经过的路径长为，
故答案为：，．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，即点M为圆心，再根据点的位置求出坐标即可.
（2）根据旋转性质，结合弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为，
点旋转到点所经过的路径长为，
故答案为：，．
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