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3.7 弧长及扇形的面积（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB＝30°
∴∠AOB=2∠ACB=60°
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，求出弧AB的长，再根据扇形面积即可求出答案.
2．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
∵是边长为的等边三角形的外接圆
∴∠A=60°，
∴∠BDC=180°-60°=120°
∵点是的中点
∴
∴BD=CD
∵DE⊥BC
∴
∴
∴阴影部分的面积为
故答案为：B
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据等边三角形性质可得∠A=60°，，根据圆内接四边形性质可得∠BDC，根据垂径定理可得BE，∠BDE，再根据扇形面积即可求出答案.
3．如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形BAC，其面积为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
△ABC为等腰直角三角形
∴BC2=AB2+BC2，即4=2AB2
解得：
∴扇形BAC的面积为
故答案为：B
【分析】根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB，再根据扇形面积即可求出答案.
4．如图，学校在一块空地上修建了一个扇形花圃，已知扇形圆心角∠AOB=120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形花圃的圆心角 半径OA为3m，
∴花圃的面积为
故答案为：3π.
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
5．如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∵OC=2，
∴
．
故答案为：C．
【分析】先求出，然后根据即可求得．
6．中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA=25cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条 (竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为　 　cm2.
【答案】200π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵OA=25cm， OB=5cm，∠AOC=120°
∴扇形OAC的面积(cm2)，
扇形OBD的面积(cm2)，
∴山水画所在纸面的面积=扇形OAC的面积-扇形OBD的面积=200π(cm2)
故答案为：200π.
【分析】由扇形的面积公式求出扇形OAC和扇形OBD的面积，即可得到山水画所在纸面的面积.
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求扇形面积，运用扇形面积公式，用大扇形减去小扇形的面积即可求出 图2中阴影部分的面积．
8．半径为30cm，圆心角 150°的扇形面积为　 　cm2.
【答案】375π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
所以扇形的面积是．
故答案为：375π .
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
9．一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数．
【答案】解：设这个扇形的半径为，圆心角是，
根据扇形面积公式，
可得，
解得．
再根据弧长公式，
可得，
解得．
答：扇形的半径为，圆心角为．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】 设这个扇形的半径为R，圆心角是n， 根据扇形面积公式“（l扇形弧长）”建立方程可求出R的值，然后根据扇形弧长公式“”建立方程，可求出n的值.
10．如图，为的直径，于点，交于点，于点.
（1）求证：；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵∴
∵∴
∵，是直径∴
∴
（2）解：
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理知F为AC的中点，由此知OF为△ABC的中位线，由此得OF=BC，而BC=BD，即OF=BC；
(2)用扇形AOC减去三角形AOC，即得阴影部分的面积.
二、巩固提升
11．如图，要将边长为10cm的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，以AE，AF为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细).有下列结论：
① 若AE的长取8cm时，此扇形的面积为96cm2；
② AE的长有两个不同的值满足扇形的面积为100cm2；
③ 当AE=AB时，扇形的面积取得最大值.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，铁丝总长，则扇形弧长，
扇形面积：
，
判断结论①：当时，代入面积解析式：
，结论①正确；
判断结论②：令，得方程：
，
整理为标准一元二次方程：
，
判别式，
方程有两个相等实数根，不存在两个不同的值，结论②错误；
判断结论③二次函数，开口向下，最大值在对称轴处取得，
对称轴：，
正方形边长，
即时，扇形面积取最大值，结论③正确；
综上，①③正确，共2个正确结论．
故答案为：C.
【分析】设扇形半径，正方形边长为，变形为扇形后，弧长，扇形面积公式，代入得，令x=8，代入求出S的值判断①；令S=100，根据根的判别式得到方程根的情况判断②，根据对称轴方程求出对称轴判断③解答即可．
12．如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】因为∠O=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
因为CD=CE，
∴ODCE为正方形，
∴，
则
∴OC=DE=5=r ，∠COB=45°，
∴
故答案为：B.
【分析】由条件可先判定ODCE为正方形，利用面积关系可得阴影部分的面积为扇形COB的面积.
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： 四边形 的内角和为，
四个扇形的圆心角之和为
四个圆的半径都是 ，
四个扇形的面积之和 ．
故答案为：C .
【分析】根据题意可得四个阴影扇形的面积为圆的面积，据此解答即可．
14．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π-2
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
由网格可知，，，
且，
阴影部分面积可拆分为两部分：左侧扇环面积与右侧扇形减三角形的面积
左侧扇环面积：；
右侧部分面积：；
总阴影面积：
故答案为：C
【分析】本题考查网格中扇形面积的计算，通过割补法求解不规则阴影部分的面积。先根据网格边长，利用勾股定理计算出两个扇形的半径，再结合等腰直角三角形的性质确定圆心角的度数；将阴影部分拆分为两个部分分别计算，一部分是两个扇形的面积差（扇环），另一部分是扇形面积减去直角三角形的面积，最后将两部分结果相加得到阴影总面积。
15．如图，AB为半圆O的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A 恰好旋转到点C的位置.若OA=5，则图中阴影部分的面积为　 　 .
【答案】10π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：旋转可知，
则S①+S②=S③+S②，
∴S①=S③，
∴阴影部分的面积可转化为扇形BAC的面积.
∵AB=10，∠ABC=36°
∴扇形BAC的面积为：，即阴影部分的面积为10π，
故选：D.
【分析】根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形BAC的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可.
16．如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
五边形是正五边形，
，内角和为，
每个内角。
在中，，
。
是的直径，
（直径所对的圆周角为直角）。
在中，。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
圆心角。
的半径，
代入扇形面积公式得：
。
故答案为：
【分析】本题综合考查正多边形的性质、圆周角定理与扇形面积计算，解题时连接，先利用正五边形的内角公式得到，再结合直径所对圆周角为直角的性质结合题意得到，通过圆周角定理得到，最后代入扇形面积公式即可求解。
17． 如图， ⊙O的半径为2， A， B， C是⊙O上的三个点. 若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB.
∵四边形OABC为平行四边形，
∵OA=OC，
∴OA=AB，
∴ OABC是菱形，
∴∵OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△AOB是等边三角形，S△OAB=S△ABC，
∴∠AOB=60°，
∴S阴影=S扇形OAB=，
故答案为：.
【分析】根据菱形的判定与性质证明证明 根据等边三角形的判定与性质证明 然后根据S△OAB=S△ABC求出阴影部分面积即可.
18． 如图， 在⊙O中，．
（1）求的度数；
（2）求图中阴影的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点O作于点H，连接，
由（1）得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案；
（2）过点O作于点H，连接，可证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到；可证明，则可求出的长，再根据列式求解即可．
19． 如图， 在⊙O中， 过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A， B两点， 连接OB.
（1） 求∠BOC 的度数；
（2） 若计算阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，连接，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍负），
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由为中点，，根据垂直平分线性质得，结合圆的半径，推出，故是等边三角形，即可得；
（2）由垂径定理得，由角所对的直角边等于斜边的一半得，由勾股定理列方程求得、（即半径）长，由即可得出．
三、能力应用
20．如图，C，D 是以AB 为直径的半圆上的两点， 连结BC，CD.
（1）求证：
（2）若 求 的长及阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠CAB=∠DBA，
∴∠CAB=∠ACD，
∴CD∥AB
（2）解：如图， 连接OC， OD， OC交线段BD于点M.
∵∠ACD =30°，
∴∠ACD =∠CAB=30°，
∴∠AOD=∠COB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°，
∴∠BOD =120°， ∠COD =∠COB，
∵OB=OD，
∴OM⊥BD， BD =2BM，
∵AB=8， ∠DBA=∠ACD =30°，
【知识点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得到 BA， 根据 得到 D，进而得到结论；
(2)连接OC，OD，根据所求的阴影部分面积与扇形BOD的面积及 的关系即可求解.
21． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长BC 到点 D，使得DC=CB，连结 DA 并延长，与⊙O交于点E，连结AC，CE.
（1）求证：
（2）若 的长为 求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BD.
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠D=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠D=∠E
（2）解：如图，连结 OC，过点 O 作 OF⊥BC于点F.
∵AB=4，
∴OA=OB=2.
设∠AOC=n°，由弧长公式，得 解得n=60，即∠AOC=60°，
∵OF⊥BC，
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，根据垂直平分线的性质得到AD=AB，即可得到∠D=∠B，利用圆周角定理的推论即可证明结论；
（2）连结 OC，过点 O 作 OF⊥BC于点F，根据弧长公式求出∠AOC的度数，即可求出∠B=30°，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BC长，然后根据解答即可.
1 / 13.7 弧长及扇形的面积（2）-浙教版数学九上课时同步分层练
一、基础训练
1．如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形BAC，其面积为（　　）
A．π B． C． D．
4．如图，学校在一块空地上修建了一个扇形花圃，已知扇形圆心角∠AOB=120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为(　　)
A． B． C． D．
5．如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA=25cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条 (竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为　 　cm2.
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
8．半径为30cm，圆心角 150°的扇形面积为　 　cm2.
9．一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数．
10．如图，为的直径，于点，交于点，于点.
（1）求证：；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积.
二、巩固提升
11．如图，要将边长为10cm的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，以AE，AF为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细).有下列结论：
① 若AE的长取8cm时，此扇形的面积为96cm2；
② AE的长有两个不同的值满足扇形的面积为100cm2；
③ 当AE=AB时，扇形的面积取得最大值.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为(　　)
A． B． C． D．
13．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A． B． C．π D．2π
14．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π-2
15．如图，AB为半圆O的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A 恰好旋转到点C的位置.若OA=5，则图中阴影部分的面积为　 　 .
16．如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为　 　.
17． 如图， ⊙O的半径为2， A， B， C是⊙O上的三个点. 若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　.
18． 如图， 在⊙O中，．
（1）求的度数；
（2）求图中阴影的面积.
19． 如图， 在⊙O中， 过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A， B两点， 连接OB.
（1） 求∠BOC 的度数；
（2） 若计算阴影部分的面积.
三、能力应用
20．如图，C，D 是以AB 为直径的半圆上的两点， 连结BC，CD.
（1）求证：
（2）若 求 的长及阴影部分的面积.
21． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长BC 到点 D，使得DC=CB，连结 DA 并延长，与⊙O交于点E，连结AC，CE.
（1）求证：
（2）若 的长为 求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB＝30°
∴∠AOB=2∠ACB=60°
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，求出弧AB的长，再根据扇形面积即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
∵是边长为的等边三角形的外接圆
∴∠A=60°，
∴∠BDC=180°-60°=120°
∵点是的中点
∴
∴BD=CD
∵DE⊥BC
∴
∴
∴阴影部分的面积为
故答案为：B
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据等边三角形性质可得∠A=60°，，根据圆内接四边形性质可得∠BDC，根据垂径定理可得BE，∠BDE，再根据扇形面积即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
△ABC为等腰直角三角形
∴BC2=AB2+BC2，即4=2AB2
解得：
∴扇形BAC的面积为
故答案为：B
【分析】根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB，再根据扇形面积即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形花圃的圆心角 半径OA为3m，
∴花圃的面积为
故答案为：3π.
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∵OC=2，
∴
．
故答案为：C．
【分析】先求出，然后根据即可求得．
6．【答案】200π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵OA=25cm， OB=5cm，∠AOC=120°
∴扇形OAC的面积(cm2)，
扇形OBD的面积(cm2)，
∴山水画所在纸面的面积=扇形OAC的面积-扇形OBD的面积=200π(cm2)
故答案为：200π.
【分析】由扇形的面积公式求出扇形OAC和扇形OBD的面积，即可得到山水画所在纸面的面积.
7．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求扇形面积，运用扇形面积公式，用大扇形减去小扇形的面积即可求出 图2中阴影部分的面积．
8．【答案】375π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
，
所以扇形的面积是．
故答案为：375π .
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
9．【答案】解：设这个扇形的半径为，圆心角是，
根据扇形面积公式，
可得，
解得．
再根据弧长公式，
可得，
解得．
答：扇形的半径为，圆心角为．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】 设这个扇形的半径为R，圆心角是n， 根据扇形面积公式“（l扇形弧长）”建立方程可求出R的值，然后根据扇形弧长公式“”建立方程，可求出n的值.
10．【答案】（1）证明：∵∴
∵∴
∵，是直径∴
∴
（2）解：
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理知F为AC的中点，由此知OF为△ABC的中位线，由此得OF=BC，而BC=BD，即OF=BC；
(2)用扇形AOC减去三角形AOC，即得阴影部分的面积.
11．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，铁丝总长，则扇形弧长，
扇形面积：
，
判断结论①：当时，代入面积解析式：
，结论①正确；
判断结论②：令，得方程：
，
整理为标准一元二次方程：
，
判别式，
方程有两个相等实数根，不存在两个不同的值，结论②错误；
判断结论③二次函数，开口向下，最大值在对称轴处取得，
对称轴：，
正方形边长，
即时，扇形面积取最大值，结论③正确；
综上，①③正确，共2个正确结论．
故答案为：C.
【分析】设扇形半径，正方形边长为，变形为扇形后，弧长，扇形面积公式，代入得，令x=8，代入求出S的值判断①；令S=100，根据根的判别式得到方程根的情况判断②，根据对称轴方程求出对称轴判断③解答即可．
12．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】因为∠O=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
因为CD=CE，
∴ODCE为正方形，
∴，
则
∴OC=DE=5=r ，∠COB=45°，
∴
故答案为：B.
【分析】由条件可先判定ODCE为正方形，利用面积关系可得阴影部分的面积为扇形COB的面积.
13．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： 四边形 的内角和为，
四个扇形的圆心角之和为
四个圆的半径都是 ，
四个扇形的面积之和 ．
故答案为：C .
【分析】根据题意可得四个阴影扇形的面积为圆的面积，据此解答即可．
14．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
由网格可知，，，
且，
阴影部分面积可拆分为两部分：左侧扇环面积与右侧扇形减三角形的面积
左侧扇环面积：；
右侧部分面积：；
总阴影面积：
故答案为：C
【分析】本题考查网格中扇形面积的计算，通过割补法求解不规则阴影部分的面积。先根据网格边长，利用勾股定理计算出两个扇形的半径，再结合等腰直角三角形的性质确定圆心角的度数；将阴影部分拆分为两个部分分别计算，一部分是两个扇形的面积差（扇环），另一部分是扇形面积减去直角三角形的面积，最后将两部分结果相加得到阴影总面积。
15．【答案】10π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：旋转可知，
则S①+S②=S③+S②，
∴S①=S③，
∴阴影部分的面积可转化为扇形BAC的面积.
∵AB=10，∠ABC=36°
∴扇形BAC的面积为：，即阴影部分的面积为10π，
故选：D.
【分析】根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形BAC的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
五边形是正五边形，
，内角和为，
每个内角。
在中，，
。
是的直径，
（直径所对的圆周角为直角）。
在中，。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
圆心角。
的半径，
代入扇形面积公式得：
。
故答案为：
【分析】本题综合考查正多边形的性质、圆周角定理与扇形面积计算，解题时连接，先利用正五边形的内角公式得到，再结合直径所对圆周角为直角的性质结合题意得到，通过圆周角定理得到，最后代入扇形面积公式即可求解。
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB.
∵四边形OABC为平行四边形，
∵OA=OC，
∴OA=AB，
∴ OABC是菱形，
∴∵OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△AOB是等边三角形，S△OAB=S△ABC，
∴∠AOB=60°，
∴S阴影=S扇形OAB=，
故答案为：.
【分析】根据菱形的判定与性质证明证明 根据等边三角形的判定与性质证明 然后根据S△OAB=S△ABC求出阴影部分面积即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点O作于点H，连接，
由（1）得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案；
（2）过点O作于点H，连接，可证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到；可证明，则可求出的长，再根据列式求解即可．
19．【答案】（1）解：如图，连接，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍负），
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由为中点，，根据垂直平分线性质得，结合圆的半径，推出，故是等边三角形，即可得；
（2）由垂径定理得，由角所对的直角边等于斜边的一半得，由勾股定理列方程求得、（即半径）长，由即可得出．
20．【答案】（1）证明：
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠CAB=∠DBA，
∴∠CAB=∠ACD，
∴CD∥AB
（2）解：如图， 连接OC， OD， OC交线段BD于点M.
∵∠ACD =30°，
∴∠ACD =∠CAB=30°，
∴∠AOD=∠COB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°，
∴∠BOD =120°， ∠COD =∠COB，
∵OB=OD，
∴OM⊥BD， BD =2BM，
∵AB=8， ∠DBA=∠ACD =30°，
【知识点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得到 BA， 根据 得到 D，进而得到结论；
(2)连接OC，OD，根据所求的阴影部分面积与扇形BOD的面积及 的关系即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BD.
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠D=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠D=∠E
（2）解：如图，连结 OC，过点 O 作 OF⊥BC于点F.
∵AB=4，
∴OA=OB=2.
设∠AOC=n°，由弧长公式，得 解得n=60，即∠AOC=60°，
∵OF⊥BC，
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，根据垂直平分线的性质得到AD=AB，即可得到∠D=∠B，利用圆周角定理的推论即可证明结论；
（2）连结 OC，过点 O 作 OF⊥BC于点F，根据弧长公式求出∠AOC的度数，即可求出∠B=30°，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BC长，然后根据解答即可.
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