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《第3章 圆的基本性质》巩固卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在中国传统建筑中，八角窗(图 1)是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学.八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容.图2是图1的示意图，这个八边形的每个内角都相等，则每个内角的度数为（　　）
A．108° B．120° C．135° D．150°
2．如图，AB是半圆的直径，点 C在半圆上，若∠BAC=40°，则 的度数是（　　)
A．40° B．80° C．100° D．140°
3． 如图， 弦AC， BD 相交于点 E， 且点 C为 的中点， 连结AD， AB， BC. 若∠ABC=110°， 则∠AEB=（　　)
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　)
A． B． C．π D．
6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC.若∠CAD=2∠BAC， BC=4，则CD的长可能是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图， AB为⊙O的直径， CD为⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠D 的度数为（ )
A．40° B．50° C．60° D．80°
9．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为(　　)
A．8cm B． C． D．
10．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 如图， 四边形ABCD 是半圆O的内接四边形，AB 是直径，CD=DA.若∠BCD=120°， 则∠ABC的度数为　 　.
12．如图，在等边△ABC中，AB=2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留根号和π）.
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥AB于点E，若OE =1，∠ACB =45°，则AB=　 　.
14．如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是　 　．
15．如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为　 　（结果保留）．
16．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA 为半径画弧，交⊙O于点 C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB 的两侧，连结 CD。
（1） 求证： AB=CD。
（2） 连结BD， 若∠ABD=40°， OA=5， 求 的长。(结果保留π)
18． 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长．
19．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底截线，弦是水位线，于点．
（1）当测得水面宽时，求此时水位的高度；
（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
20．如图，是的直径，点是圆上一点，连结，，过点作于点，交于点。
（1）求证：。
（2）若，，求的长。
（3）在（2）的条件下，求弓形的面积。
21．如图， 是 的外接圆，，，，.
（1） 求圆心 O 到 BC 的距离；
（2） 求 AD 的长.
22．如图，在中，以为直径的⊙O交边于点，且边的中点.
（1）求证：
（2）若，求.
23．如图1，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D， 连结OC．与⊙O相交于点 E．
（1） 连结DE， 求∠ADE的度数；
（2） 如图2， 若点D为AC的中点， 且AC=6， 求的长．
24．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： 边形的内角和公式为 ，
八边形的内角和为 ，
这个八边形的每个内角都相等 ，
每个内角的度数为．
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵是半圆的直径，
∴．
∵，
在中，．
∴的度数为；
故答案为：C.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】连接，由圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理的推论得到，然后根据三角形外角解答即可．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意，
故选： A.
【分析】确定圆心O，连接OA和OC，得出 和 的度数，再根据三角形的内角和求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中位线，，
，且，
，
，
，
，
扇形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线求出的长度和，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出，利用扇形面积公式计算即可．
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，
则，
∵∠CAD=2∠BAC，BC=4
∴∠CAE=∠DAE=∠BAC，
∴BC=CE=DE=4，
∴BC故选：B.
【分析】作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，则，再由∠CAD=2∠BAC可得出∠CAE=∠DAE=∠BAC，故BC=CE=DE=4，再由三角形的三边关系即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再由三角形内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可求解．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC=80°，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=100°.
由圆周角定理得
∠D=∠BOC=50°.
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理和邻补角即可得解.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】过点作于点，交于点，连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出算的长解答即可．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴是等边三角形，
，
∴的长度为：．
故答案为：C.
【分析】先得到是等边三角形，即可得到∠AOB=60°，再根据弧长公式解答即可．
11．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是半圆的内接四边形，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆内接四边形的对角互补求出，再根据直角所对圆周角是直角得到，即可得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，再根据角的和差解答即可．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接CD，
∵在等边 中，AB=2，D是边AB的中点，
阴影部分的面积为
故答案为：
【分析】连接CD，根据阴影面积等于 求解即可.
13．【答案】2
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出，，再根据AE=OE解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵四边形ABCD内接于，
∴（圆内接四边形对角互补）
∵，
∴
∴（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴
∵，
∴（等弧所对的圆心角相等）
∴
根据弧长公式（其中n为圆心角度数，r为半径），劣弧的长为：
故答案为：
【分析】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理和弧长公式。首先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数。结合等弧所对的圆心角相等，求出劣弧BC所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接和，
点，，，均在上，
，
，
的长为．
故答案为：
【分析】本题以圆内接四边形和弧长计算为背景，考查了圆内接四边形的对角互补性质、圆周角定理及弧长公式。根据圆内接四边形对角互补求出∠A的度数，再利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOD，最后代入弧长公式计算BD的长度。
16．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
已知是的直径，且，
可得，
因为，，
所以．
因为弦于点，
根据勾股定理可得，
因为弦于点，
所以．
故答案为：6
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，连接OC，直径AB=10得半径OC=5，由AE=1算出OE=4，在中用勾股定理求CE，再由垂径定理CD=2CE，计算出弦长CD。
17．【答案】（1）证明：
连结OA， OC， AC，
∵由题可得OA=OC=AC
∴△AOC为等边三角形
∴
同理
∴
∴AB = CD
∴AB=CD
（2）解：连结BD、OB、OD
∵由题意知OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∵∠ABD=40°
∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=20°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD；
(2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得的长 .
18．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵OP=OP，OC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切
（2）解：连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB，OB=OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；圆的相关概念；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据平行线的性质及等边对等角得到，然后根据SAS得到，即可得到，证明解困即可；
（2）根据全等可得垂直平分，然后根据等面积法求出长，即可求出长，再根据勾股定理求出AC长即可．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，AO=BO，
∵，
∴，
∵AB=20cm，
∴，
∴.
（2）解：该货船能顺利通过桥洞，理由如下：
由（1）中水位高度为，
∴此时，
延长交于F，连接，
∴，
∵货船宽为，船舱顶部高出水面，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该货船能顺利通过桥洞．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，即可得出桥洞的半径，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）先求出，延长交于F，连接，则，可得，则，利用勾股定理求出，最后比较即可．
20．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
（2）解：在中，点O为的中点，
∵，
∴点D为中点．
∴．
设圆的半径为r，则．
在中，，
即，整理可得，
解得．
∵点O与点D分别为与的中点，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵圆的半径为6，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即，
∴弓形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据垂直的定义可得，根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在中根据勾股定理求出r的值解答即可．
（3）连接，求出，即，即可得到，进而得到哦啊为等边三角形，求出，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可．
21．【答案】（1）解：如图所示，过点O作于点E，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
= == ；
（2）解：如图所示，连接 AO，过点 作 于点 ，则四边形OEDF是矩形，
，
，
，
，
在 中，，
在 中，，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到是矩形，进而得到，根据勾股定理求出OB和AF长，根据线段的和差解答即可．
22．【答案】（1）证明：连接AE
∵AB为直径
∴∠AEB=90
∵E为BC的中点
∴AC=AB
（2）解：连接BD、OE交于点F
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵AB=10， AD=6
∴BD=8
∵O，E分别为AB，BC的中点
∴OE∥AC
∴OE⊥BD
∵OB=5， BF=4
∴OF=3 ，EF=2
∴BE=
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接AE，知AE⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得AB=AC；
(2)由直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，由勾股定理得BD的长，由中位线定理知OE||AC，由此得EF和BF的长，即可得BE的长.
23．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．

【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
24．【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
1 / 1《第3章 圆的基本性质》巩固卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在中国传统建筑中，八角窗(图 1)是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学.八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容.图2是图1的示意图，这个八边形的每个内角都相等，则每个内角的度数为（　　）
A．108° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： 边形的内角和公式为 ，
八边形的内角和为 ，
这个八边形的每个内角都相等 ，
每个内角的度数为．
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
2．如图，AB是半圆的直径，点 C在半圆上，若∠BAC=40°，则 的度数是（　　)
A．40° B．80° C．100° D．140°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵是半圆的直径，
∴．
∵，
在中，．
∴的度数为；
故答案为：C.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可.
3． 如图， 弦AC， BD 相交于点 E， 且点 C为 的中点， 连结AD， AB， BC. 若∠ABC=110°， 则∠AEB=（　　)
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】连接，由圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理的推论得到，然后根据三角形外角解答即可．
4．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意，
故选： A.
【分析】确定圆心O，连接OA和OC，得出 和 的度数，再根据三角形的内角和求解即可.
5． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　)
A． B． C．π D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中位线，，
，且，
，
，
，
，
扇形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线求出的长度和，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出，利用扇形面积公式计算即可．
6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC.若∠CAD=2∠BAC， BC=4，则CD的长可能是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，
则，
∵∠CAD=2∠BAC，BC=4
∴∠CAE=∠DAE=∠BAC，
∴BC=CE=DE=4，
∴BC故选：B.
【分析】作∠CAD的平分线交⊙O于点E，连接CE，DE，则，再由∠CAD=2∠BAC可得出∠CAE=∠DAE=∠BAC，故BC=CE=DE=4，再由三角形的三边关系即可得出结论.
7．如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再由三角形内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可求解．
8．如图， AB为⊙O的直径， CD为⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠D 的度数为（ )
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC=80°，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=100°.
由圆周角定理得
∠D=∠BOC=50°.
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理和邻补角即可得解.
9．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为(　　)
A．8cm B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】过点作于点，交于点，连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出算的长解答即可．
10．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴是等边三角形，
，
∴的长度为：．
故答案为：C.
【分析】先得到是等边三角形，即可得到∠AOB=60°，再根据弧长公式解答即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 如图， 四边形ABCD 是半圆O的内接四边形，AB 是直径，CD=DA.若∠BCD=120°， 则∠ABC的度数为　 　.
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是半圆的内接四边形，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆内接四边形的对角互补求出，再根据直角所对圆周角是直角得到，即可得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，再根据角的和差解答即可．
12．如图，在等边△ABC中，AB=2，D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交边AC于点E，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留根号和π）.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接CD，
∵在等边 中，AB=2，D是边AB的中点，
阴影部分的面积为
故答案为：
【分析】连接CD，根据阴影面积等于 求解即可.
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥AB于点E，若OE =1，∠ACB =45°，则AB=　 　.
【答案】2
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出，，再根据AE=OE解答即可．
14．如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵四边形ABCD内接于，
∴（圆内接四边形对角互补）
∵，
∴
∴（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴
∵，
∴（等弧所对的圆心角相等）
∴
根据弧长公式（其中n为圆心角度数，r为半径），劣弧的长为：
故答案为：
【分析】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理和弧长公式。首先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数。结合等弧所对的圆心角相等，求出劣弧BC所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
15．如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接和，
点，，，均在上，
，
，
的长为．
故答案为：
【分析】本题以圆内接四边形和弧长计算为背景，考查了圆内接四边形的对角互补性质、圆周角定理及弧长公式。根据圆内接四边形对角互补求出∠A的度数，再利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOD，最后代入弧长公式计算BD的长度。
16．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
已知是的直径，且，
可得，
因为，，
所以．
因为弦于点，
根据勾股定理可得，
因为弦于点，
所以．
故答案为：6
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，连接OC，直径AB=10得半径OC=5，由AE=1算出OE=4，在中用勾股定理求CE，再由垂径定理CD=2CE，计算出弦长CD。
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA 为半径画弧，交⊙O于点 C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB 的两侧，连结 CD。
（1） 求证： AB=CD。
（2） 连结BD， 若∠ABD=40°， OA=5， 求 的长。(结果保留π)
【答案】（1）证明：
连结OA， OC， AC，
∵由题可得OA=OC=AC
∴△AOC为等边三角形
∴
同理
∴
∴AB = CD
∴AB=CD
（2）解：连结BD、OB、OD
∵由题意知OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∵∠ABD=40°
∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=20°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD；
(2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得的长 .
18． 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵OP=OP，OC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切
（2）解：连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB，OB=OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；圆的相关概念；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据平行线的性质及等边对等角得到，然后根据SAS得到，即可得到，证明解困即可；
（2）根据全等可得垂直平分，然后根据等面积法求出长，即可求出长，再根据勾股定理求出AC长即可．
19．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底截线，弦是水位线，于点．
（1）当测得水面宽时，求此时水位的高度；
（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【答案】（1）解：∵，
∴，AO=BO，
∵，
∴，
∵AB=20cm，
∴，
∴.
（2）解：该货船能顺利通过桥洞，理由如下：
由（1）中水位高度为，
∴此时，
延长交于F，连接，
∴，
∵货船宽为，船舱顶部高出水面，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该货船能顺利通过桥洞．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，即可得出桥洞的半径，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）先求出，延长交于F，连接，则，可得，则，利用勾股定理求出，最后比较即可．
20．如图，是的直径，点是圆上一点，连结，，过点作于点，交于点。
（1）求证：。
（2）若，，求的长。
（3）在（2）的条件下，求弓形的面积。
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
（2）解：在中，点O为的中点，
∵，
∴点D为中点．
∴．
设圆的半径为r，则．
在中，，
即，整理可得，
解得．
∵点O与点D分别为与的中点，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵圆的半径为6，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即，
∴弓形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据垂直的定义可得，根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在中根据勾股定理求出r的值解答即可．
（3）连接，求出，即，即可得到，进而得到哦啊为等边三角形，求出，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可．
21．如图， 是 的外接圆，，，，.
（1） 求圆心 O 到 BC 的距离；
（2） 求 AD 的长.
【答案】（1）解：如图所示，过点O作于点E，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
= == ；
（2）解：如图所示，连接 AO，过点 作 于点 ，则四边形OEDF是矩形，
，
，
，
，
在 中，，
在 中，，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到是矩形，进而得到，根据勾股定理求出OB和AF长，根据线段的和差解答即可．
22．如图，在中，以为直径的⊙O交边于点，且边的中点.
（1）求证：
（2）若，求.
【答案】（1）证明：连接AE
∵AB为直径
∴∠AEB=90
∵E为BC的中点
∴AC=AB
（2）解：连接BD、OE交于点F
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵AB=10， AD=6
∴BD=8
∵O，E分别为AB，BC的中点
∴OE∥AC
∴OE⊥BD
∵OB=5， BF=4
∴OF=3 ，EF=2
∴BE=
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接AE，知AE⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得AB=AC；
(2)由直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，由勾股定理得BD的长，由中位线定理知OE||AC，由此得EF和BF的长，即可得BE的长.
23．如图1，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D， 连结OC．与⊙O相交于点 E．
（1） 连结DE， 求∠ADE的度数；
（2） 如图2， 若点D为AC的中点， 且AC=6， 求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．

【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
24．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
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