资源简介

《第3章 圆的基本性质》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（　　）
A．12 B． C．18 D．
2． 如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 上的一个动点(与 ， 不重合)， ， 分别在弧 ，弧 上，且 与 相交于点 . 若 ，则 的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
3．如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则其中正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
4．如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图， 在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4， 以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC， 点 P 为菱形内一点， 连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．8π D．
6．如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为10，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
7． 如图所示，PG 过点O，且 PO 平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.有下列结论：①AB=CD；②；③PO=PE；④；⑤PB=PD.其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，海岸线，经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为6km，船C保持怎样的航行不会进入暗礁区（　　）
A．∠ACB≥60° B．∠ACB≤60° C．∠ACB＞60° D．∠ACB＜60°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，直线l1//l2，直线m交l1、l2于点A、B，以A为圆心， AB长为半径画弧，圆弧交l2于点C，交l1于点 D、E，若∠ABE=55°， AB=6，则 的长为　 　.
12．如图，在半径为4的⊙O中，P为OA的中点，C，D为⊙O上两点，PC⊥PD，连接CD，则CD的最大值为　 　.
13．如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是　 　．
15．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，，E是直径AB上一个动点.已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是　 　cm.
16．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，且OC=8，AB=10，则BC= 　 　.
三、解答题（共6题，共72分）
17．【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”.
（1）【探究】如图①，已知 ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.
以下是小明的部分证明过程：
证明：□ABCD是十字架四边形，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
∵□ABCD为圆内接四边形，
……
（2）【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）.
（3）【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。
∠BOC与∠AOD的和为　 　度；
（4）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为　 　.
18．
某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.
（1）判断甲乙两位同学的结论(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
（2）如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少
（3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形 ABCD 的两边AB 和CD 分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少
19．综合与探究
【问题情境】
如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪．
（1）【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接．
①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由；
②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（2）【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系．
20．【问题探究】
（1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数；
【问题解决】
（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，在中，，点外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与重合），过垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长.
22．
⑴已知：如图①，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
⑵依已知条件和⑴中的结论解答问题：
(Ⅰ)如图②，若点 C 在⊙O外，且 A，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
(Ⅱ)如图③，若点 C 在⊙O 内，且 A，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系.
⑶如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°，连结OC，P 是半径OC 上任意一点，连结 DP，BP，则∠BPD 的度数可能为 ▲ (写出一个即可).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA、OF、OP、BF，
根据正六边形的性质可得，
， ，
∴ ，
∵P是EF的中点，
∴ ，
∴ ，
∵阴影部分四边形ABPE的面积为9，
即 ，
∴ ，
取DE的中点Q，连接BQ、BD，
则 ，
∴五边形BCDEP的面积是 ，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求面积即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点在线段延长线上时，取得最小值为，
故选：C．
【分析】连接，根据弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理得到，即可得到，作的外接圆，记为，连接，即可得到，进而得到为等腰直角三角形，求出，根据求出最值解答即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点F，如图
则，
∴，
∵C是弧的中点，
∴，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，交的延长线于点D，
∴，
∴，
若，则，
∴，
∴，
∴，故①正确；
若，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故②正确．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，根据等边对等角得到．然后根据可得垂直平分，即可得到，由垂直的定义得到，即可得到．若，可以得到，即可得到判断①；若，则有，推理得到，即可得到，根据勾股定理得到判断②解答即可．
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，
由题意知，
，，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
设，
则，
，
与的长之比为，
，
，
，
菱形中，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG；由同圆半径相等得AD=AF=AG=AE=AB=2，由等边对等角及菱形对角相等得∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，从而用“AAS”证△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠DAF，设， 根据三角形内角和定理及圆心角、弧弦的关系得， 由三角形内角和定理得，由菱形对角线平分一组对角，可得，，由菱形对角线互相垂直及直角三角形两锐角互余得，代入求解可得，最后利用弧长公式计算即可．
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故选：B．
【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质可得是等边三角形，然后根据SSS得到△APB≌△APC，即可得到∠PAB=∠PAC，进而得到哦啊△BPC是等腰直角三角形，求出长，利用解答即可．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，的半径是10，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，即．
∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变．
故选：C．
【分析】
过点A作的直径，过点B作的直径，再连接与。结合题意可以得到，因此可推得，之后就可以根据“”证明与全等，得到对应边，最后在中，利用勾股定理即可求出对应结果.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OB，OD，
PO 平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，AB=2BE，CD=2DF，
又∵OB=OD，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴∠BOE=∠DOF，BE=DF，
∴AB=CD，故①正确；
∴，故②正确；
∵∠BEO=90°，
∴PE∵OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，PO=PO，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF，
∴PE=PF，∠POE=∠POF，
∴∠BOG=∠DOG，
∴，故④正确；
∵PE=PF，BE=DF，
∴PB=PD，故⑤正确；
故答案为：C .
【分析】连接OB，OD，即可根据HL得到Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OPE≌Rt△OPF，进而得到∠BOE=∠DOF，BE=DF，PE=PF，∠POE=∠POF，根据垂径定理判断①；根据弧、弦‘圆心角的关系判断②④，根据垂线段最短判断③；根据线段的和差判断⑤解答即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值，
∵，
∴最小值8，此时在E点，F在C点，
当在B点，F在C点时取最大值，
∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内动点最值为背景，综合考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、轴对称求最值以及三角形三边关系。由 CD AB 且 AB 为直径，结合垂径定理得 AB 垂直平分 CD，故 PC = PD，将 m = PC + PF 转化为 m = PD + PF。连接 DF，根据“两点之间线段最短”或三角形两边之和大于第三边，当 D， P， F 共线时 PD + PF 取最小值 DF；最大值出现在 P 与 B 重合时，此时 m = BC + BF，结合勾股定理及圆的对称性可确定 m 的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点，
由题可知：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式。解题步骤如下：作辅助线BG⊥AC于点G；由题可知：AB=BC=AF=EF=4，∠ABC=∠BAF=∠F=120°；由此可求出∠ACB=∠CAB=30°；利用等腰三角形性质结合直角三角形性质可得：BG=AB=2，AC=2AG；计算得AC=2AG=4；同理可得：∠EAF=30°，AF=4；求出∠CAE=60°；最后应用扇形面积公式即可求解。
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC交于点D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，如图所示：
∵ ，
∴AH=AB=，
∵∠OHA=90°，
∴AE=BE，
在Rt△AHE中，EH=OE+OH=9km，由勾股定理可得，AE==3km，
∴AE=BE=AB，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠ADB=∠AEB=60°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＞∠C，
即∠C＜60°，
∴船C保持∠ACB＜60°得航行不会进入暗礁区，
故答案为：D .
【分析】连接AC交于D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得AE=BE=AB，可证明△AEB是等边三角形得到∠AEB=60°，根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=60°，根据三角形的外角性质可得∠C<60°，进而可得出结论.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
由题意得：AB=AC=AD=AE=6.
∴∠1=∠2=55°.
∵∠BAD为△ABE的外角，
∴∠BAD=∠1+∠2=55°+55°=110°，
∴∠3=180°-∠BAD=70°.
∵，
∴∠3=∠ABC=70°.
∵AB=AC，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=70°，
∴.
故填：.
【分析】连接辅助线AC可知，AB=AD=AC，故居凤眼三角形的性质可求得∠ABD的值，再利用平行线的性质可得∠DBC和∠CAD的度数，最后利用弧长公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设 CD 的中点为 M，连接 PM、OM、OC。
∵ PC⊥PD，M 为 CD 的中点，
∴ PM=CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ M 为 CD 的中点，O 为圆心，
∴ OM⊥CD（垂径定理）。
在 Rt△OMC 中，OC=4，
由勾股定理得： OM2+CM2=OC2 ，又 CM=CD=PM，
∴OM2+PM2=16，
已知 P 为 OA 的中点，OA=4，
∴OP=2。
在 △OPM 中，根据三角形三边关系： PM≤OP+OM ，当且仅当 O、P、M 三点共线，且 M 在 OP 的延长线上时，PM 取得最大值，此时 PM=OP+OM。
将 PM=2+OM 代入 OM2+PM2=16，
OM2+(2+OM)2=16，
OM2+4+4OM+OM2=16，
2OM2+4OM 12=0，
OM2+2OM 6=0，
解得：OM= 1+（负根舍去），
则 PM=2+( 1+)=1+，
CD=2PM=2(1+)=2+，
因此，CD 的最大值为 2+.
故答案为：2+ .
【分析】由 PC⊥PD，想到取 CD 的中点 M，利用直角三角形斜边中线的性质，得到 PM=CD，将求 CD 的最大值问题转化为求 PM 的最大值问题。由垂径定理，圆心 O 与 CD 中点 M 的连线 OM 垂直于 CD，结合勾股定理，得到 OM2+CM2=OC2，即 OM2+PM2=16.由三角形三边关系，在 △OPM 中，PM≤OP+OM，当且仅当 O、P、M 三点共线时取等号，此时 PM 最大，联立方程求解，得到 PM 的最大值，进而求出 CD 的最大值.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算
【解析】【解答】在等边△ABC中，边长为，其外接圆半径为2，圆心角∠BOC=120°，点D是BC的中点，
因此BD=CD，且∠BDC=120°。
如图，过D作DH⊥BC于H，则，∠BDH=60°。
在Rt△BDH中，∠DBH=30°，
设DH=x，则BD=2x，
由勾股定理得，
解得x=1，故BD=2。
阴影部分是以D为圆心、BD为半径、圆心角为120°的扇形，
根据扇形面积公式：，
所以阴影部分的面积为。
故答案为：。
【分析】 先根据等边三角形外接圆的性质，求出相关线段和角度，再用初中的等腰三角形和勾股定理求出半径，最后用扇形面积公式计算阴影部分面积。
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF、CD，
∵ D是以AB为直径的半圆O的中点，
∴点D、点E关于AB对称，
当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，
为等边三角形，
的最小值为
∴图中阴影部分周长的最小值是
故答案为：
【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF， 当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，再根据弧长公式求得 的长度，便可得阴影部分周长的最小值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=8，
∴CD=2OC=16，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC∥OB，
∴∠OCA=∠DOB，∠OAC=∠AOB，
又∵∠OCA=∠OAC，AB=10，
∴∠DOB=∠AOB，
∵AB=10，
∴DB=AB=10，
在Rt△CBD中，BC=.
故答案为：．
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，利用圆周角定理的推论，易得∠CBD=90°，利用等腰三角形及平行线的性质易证∠DOB=∠AOB，再利用圆心角定理可得DB=AB=10，在Rt△CBD中，利用勾股定理即可求解.
17．【答案】（1）∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
（2）用直尺过圆心画直径 BD，以 A、C 在圆周上的弦 AC 作线段，保证 AC 与 BD 互相垂直，依次连接 AB、BC、CD、DA，描粗四条边得到十字架四边形 ABCD。

（3）180
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： (3) 十字架四边形对角线垂直，同弧所对圆心角为圆周角两倍，对角相加对应平角，可得∠BOC+∠AOD=180 度。
(4) 十字架四边形有结论 AD2+BC2=4R2，
设 AD=x，则 BC=12 x，
AD2+BC2=x2+(12 x)2，
展开整理为 2x2 24x+144，
这是开口向上的二次函数，顶点处取最小值，
x=6 时平方和最小等于 72，
所以 4R2≥72，解得 R≥，
因此⊙O 半径最小值为。
故答案为：.
【分析】 (1) 平行四边形加对角线垂直可判定为菱形，圆内接平行四边形对角互补且相等，推出内角为直角，有直角的菱形即为正方形；
(2) 先画出圆直径 BD，再作 AC 垂直 BD，四点 A、B、C、D 都在圆上，满足对角线互相垂直且四点共圆，得到十字架四边形；
(3) 十字架四边形对角线垂直，利用圆周角与圆心角关系，可推导出∠BOC+∠AOD=180°；
(4) 先证明十字架四边形里 AD2+BC2=4r2，设 AD 长为 x，BC 长为 12 x，把平方和整理成二次函数，利用二次函数求最小值，再算出半径最小值。
18．【答案】（1）A
（2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴
∵矩形，
∴，
即当面积最大时，矩形面积最大，
∵，，，
∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，
∵，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：过作于于，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高，
∴当时，的面积最大，
此时，，，
当时，的面积，
，
，
，
∴此时矩形的周长．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状；
（3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
19．【答案】（1）解：①存在．理由：∵，
，
，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形”；
②．
理由：如图，
∵四边形内接于
∴，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2），理由见解析
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：．
理由：如图，延长至点，使得，连接．
，
，
∵圆中存在“爪形”，且，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
．
【分析】本题以圆内接四边形及新定义“爪形”为背景，考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
(1) ① 利用等弦所对圆周角相等，证得DB平分∠ADC，从而判断存在“爪形D”。
② 通过构造全等三角形△BAD≌△BCE，证得△BDE为等边三角形，从而得出AD、CD、BD的数量关系。
(2) 在AD⊥DC的条件下，同理构造全等三角形，证得△BDE为等腰直角三角形，利用三边关系得到AD、BD、CD的数量关系。
（1）解：①存在．
理由：∵，
，
，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形”；
②．
理由：如图，
∵四边形内接于
∴，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：．
理由：如图，延长至点，使得，连接．
，
，
∵圆中存在“爪形”，且，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
．
20．【答案】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接，
四边形为的内接四边形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
，
即
（2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下：
如图4所示，延长至F，使，连接，
∵
∴，
从而，
又，
在中，因，，
∴，故，
从而可得，故为直径，，
即，则，
四边形周长
，
∴当最大时即为直径时，四边形周长最大值为
【知识点】勾股定理的逆定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长至E，使，连接，先证出，可得，，证出为等边三角形，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）延长至F，使，连接，先求出，再求出四边形周长，最后证出当最大时即为直径时，四边形周长最大，然后将数据代入求解即可.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形.
（2）解：①当点C在中点时，四边形面积达到最大.
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，
∴，，
，
，
解得.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；多边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°知AB为直径，可得∠APB=90°，同时∠ABP=∠ACP=45°得△ABP为等腰直角三角形；
(2)①当点C在中点时，四边形面积达到最大，即可得最大面积；
②作，交的延长线于，易知PDME为矩形，同时知其为正方形，由此可得PD的长.
22．【答案】解：⑵(I)如图①，连结 DE.
∵∠A +∠BED = 180°，∠BED >∠BCD，
∴∠A+∠BCD<180°.
(II)如图②，延长 DC 交⊙O 于点 E，连结 BE.
∵∠A+∠E=180°，∠BCD>∠E，
∴∠A+∠BCD>180°.
⑶答案不唯一，如80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：(3) 连接OB、OD.
∵四边形ABCD内接于O，
由圆周角定理得，
即
可能为
故答案为“80°.”
【分析】(2) (I) 连接DE， 根据 (1) 的结论以及三角形外角的性质即可解答；
(Ⅱ) 延长DC交⊙O于点E， 连接BE， 根据(1)的结论以及即可解答；
(3)连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质可求出. 的度数，再结合圆周角定理可得 的度数，由此即可解答本题.
1 / 1《第3章 圆的基本性质》能力卷-浙教版数学九上单元测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（　　）
A．12 B． C．18 D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA、OF、OP、BF，
根据正六边形的性质可得，
， ，
∴ ，
∵P是EF的中点，
∴ ，
∴ ，
∵阴影部分四边形ABPE的面积为9，
即 ，
∴ ，
取DE的中点Q，连接BQ、BD，
则 ，
∴五边形BCDEP的面积是 ，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求面积即可。
2． 如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 上的一个动点(与 ， 不重合)， ， 分别在弧 ，弧 上，且 与 相交于点 . 若 ，则 的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
作的外接圆，记为，连接，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点在线段延长线上时，取得最小值为，
故选：C．
【分析】连接，根据弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理得到，即可得到，作的外接圆，记为，连接，即可得到，进而得到为等腰直角三角形，求出，根据求出最值解答即可．
3．如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则其中正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点F，如图
则，
∴，
∵C是弧的中点，
∴，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，交的延长线于点D，
∴，
∴，
若，则，
∴，
∴，
∴，故①正确；
若，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故②正确．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，根据等边对等角得到．然后根据可得垂直平分，即可得到，由垂直的定义得到，即可得到．若，可以得到，即可得到判断①；若，则有，推理得到，即可得到，根据勾股定理得到判断②解答即可．
4．如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，
由题意知，
，，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
设，
则，
，
与的长之比为，
，
，
，
菱形中，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG；由同圆半径相等得AD=AF=AG=AE=AB=2，由等边对等角及菱形对角相等得∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，从而用“AAS”证△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠DAF，设， 根据三角形内角和定理及圆心角、弧弦的关系得， 由三角形内角和定理得，由菱形对角线平分一组对角，可得，，由菱形对角线互相垂直及直角三角形两锐角互余得，代入求解可得，最后利用弧长公式计算即可．
5．如图， 在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4， 以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC， 点 P 为菱形内一点， 连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．8π D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故选：B．
【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质可得是等边三角形，然后根据SSS得到△APB≌△APC，即可得到∠PAB=∠PAC，进而得到哦啊△BPC是等腰直角三角形，求出长，利用解答即可．
6．如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为10，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，的半径是10，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，即．
∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变．
故选：C．
【分析】
过点A作的直径，过点B作的直径，再连接与。结合题意可以得到，因此可推得，之后就可以根据“”证明与全等，得到对应边，最后在中，利用勾股定理即可求出对应结果.
7． 如图所示，PG 过点O，且 PO 平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.有下列结论：①AB=CD；②；③PO=PE；④；⑤PB=PD.其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OB，OD，
PO 平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，AB=2BE，CD=2DF，
又∵OB=OD，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴∠BOE=∠DOF，BE=DF，
∴AB=CD，故①正确；
∴，故②正确；
∵∠BEO=90°，
∴PE∵OE=OF，∠BEO=∠DFO=90°，PO=PO，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF，
∴PE=PF，∠POE=∠POF，
∴∠BOG=∠DOG，
∴，故④正确；
∵PE=PF，BE=DF，
∴PB=PD，故⑤正确；
故答案为：C .
【分析】连接OB，OD，即可根据HL得到Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OPE≌Rt△OPF，进而得到∠BOE=∠DOF，BE=DF，PE=PF，∠POE=∠POF，根据垂径定理判断①；根据弧、弦‘圆心角的关系判断②④，根据垂线段最短判断③；根据线段的和差判断⑤解答即可.
8．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值，
∵，
∴最小值8，此时在E点，F在C点，
当在B点，F在C点时取最大值，
∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内动点最值为背景，综合考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、轴对称求最值以及三角形三边关系。由 CD AB 且 AB 为直径，结合垂径定理得 AB 垂直平分 CD，故 PC = PD，将 m = PC + PF 转化为 m = PD + PF。连接 DF，根据“两点之间线段最短”或三角形两边之和大于第三边，当 D， P， F 共线时 PD + PF 取最小值 DF；最大值出现在 P 与 B 重合时，此时 m = BC + BF，结合勾股定理及圆的对称性可确定 m 的取值范围。
9．如图，正六边形的半径为4，以A为圆心，的长为半径画弧，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点，
由题可知：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式。解题步骤如下：作辅助线BG⊥AC于点G；由题可知：AB=BC=AF=EF=4，∠ABC=∠BAF=∠F=120°；由此可求出∠ACB=∠CAB=30°；利用等腰三角形性质结合直角三角形性质可得：BG=AB=2，AC=2AG；计算得AC=2AG=4；同理可得：∠EAF=30°，AF=4；求出∠CAE=60°；最后应用扇形面积公式即可求解。
10．如图，海岸线，经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为6km，船C保持怎样的航行不会进入暗礁区（　　）
A．∠ACB≥60° B．∠ACB≤60° C．∠ACB＞60° D．∠ACB＜60°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC交于点D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，如图所示：
∵ ，
∴AH=AB=，
∵∠OHA=90°，
∴AE=BE，
在Rt△AHE中，EH=OE+OH=9km，由勾股定理可得，AE==3km，
∴AE=BE=AB，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠ADB=∠AEB=60°，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＞∠C，
即∠C＜60°，
∴船C保持∠ACB＜60°得航行不会进入暗礁区，
故答案为：D .
【分析】连接AC交于D，连接OA、BD，过O作OH⊥AB于H，延长HO交于E，连接AE、BE，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得AE=BE=AB，可证明△AEB是等边三角形得到∠AEB=60°，根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=60°，根据三角形的外角性质可得∠C<60°，进而可得出结论.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，直线l1//l2，直线m交l1、l2于点A、B，以A为圆心， AB长为半径画弧，圆弧交l2于点C，交l1于点 D、E，若∠ABE=55°， AB=6，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
由题意得：AB=AC=AD=AE=6.
∴∠1=∠2=55°.
∵∠BAD为△ABE的外角，
∴∠BAD=∠1+∠2=55°+55°=110°，
∴∠3=180°-∠BAD=70°.
∵，
∴∠3=∠ABC=70°.
∵AB=AC，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=70°，
∴.
故填：.
【分析】连接辅助线AC可知，AB=AD=AC，故居凤眼三角形的性质可求得∠ABD的值，再利用平行线的性质可得∠DBC和∠CAD的度数，最后利用弧长公式求解即可.
12．如图，在半径为4的⊙O中，P为OA的中点，C，D为⊙O上两点，PC⊥PD，连接CD，则CD的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设 CD 的中点为 M，连接 PM、OM、OC。
∵ PC⊥PD，M 为 CD 的中点，
∴ PM=CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ M 为 CD 的中点，O 为圆心，
∴ OM⊥CD（垂径定理）。
在 Rt△OMC 中，OC=4，
由勾股定理得： OM2+CM2=OC2 ，又 CM=CD=PM，
∴OM2+PM2=16，
已知 P 为 OA 的中点，OA=4，
∴OP=2。
在 △OPM 中，根据三角形三边关系： PM≤OP+OM ，当且仅当 O、P、M 三点共线，且 M 在 OP 的延长线上时，PM 取得最大值，此时 PM=OP+OM。
将 PM=2+OM 代入 OM2+PM2=16，
OM2+(2+OM)2=16，
OM2+4+4OM+OM2=16，
2OM2+4OM 12=0，
OM2+2OM 6=0，
解得：OM= 1+（负根舍去），
则 PM=2+( 1+)=1+，
CD=2PM=2(1+)=2+，
因此，CD 的最大值为 2+.
故答案为：2+ .
【分析】由 PC⊥PD，想到取 CD 的中点 M，利用直角三角形斜边中线的性质，得到 PM=CD，将求 CD 的最大值问题转化为求 PM 的最大值问题。由垂径定理，圆心 O 与 CD 中点 M 的连线 OM 垂直于 CD，结合勾股定理，得到 OM2+CM2=OC2，即 OM2+PM2=16.由三角形三边关系，在 △OPM 中，PM≤OP+OM，当且仅当 O、P、M 三点共线时取等号，此时 PM 最大，联立方程求解，得到 PM 的最大值，进而求出 CD 的最大值.
13．如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算
【解析】【解答】在等边△ABC中，边长为，其外接圆半径为2，圆心角∠BOC=120°，点D是BC的中点，
因此BD=CD，且∠BDC=120°。
如图，过D作DH⊥BC于H，则，∠BDH=60°。
在Rt△BDH中，∠DBH=30°，
设DH=x，则BD=2x，
由勾股定理得，
解得x=1，故BD=2。
阴影部分是以D为圆心、BD为半径、圆心角为120°的扇形，
根据扇形面积公式：，
所以阴影部分的面积为。
故答案为：。
【分析】 先根据等边三角形外接圆的性质，求出相关线段和角度，再用初中的等腰三角形和勾股定理求出半径，最后用扇形面积公式计算阴影部分面积。
14．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
15．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，，E是直径AB上一个动点.已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是　 　cm.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF、CD，
∵ D是以AB为直径的半圆O的中点，
∴点D、点E关于AB对称，
当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，
为等边三角形，
的最小值为
∴图中阴影部分周长的最小值是
故答案为：
【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO=OF，连接OC、CF、EF， 当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE=CF的值最小，再根据弧长公式求得 的长度，便可得阴影部分周长的最小值.
16．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，且OC=8，AB=10，则BC= 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=8，
∴CD=2OC=16，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC∥OB，
∴∠OCA=∠DOB，∠OAC=∠AOB，
又∵∠OCA=∠OAC，AB=10，
∴∠DOB=∠AOB，
∵AB=10，
∴DB=AB=10，
在Rt△CBD中，BC=.
故答案为：．
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，利用圆周角定理的推论，易得∠CBD=90°，利用等腰三角形及平行线的性质易证∠DOB=∠AOB，再利用圆心角定理可得DB=AB=10，在Rt△CBD中，利用勾股定理即可求解.
三、解答题（共6题，共72分）
17．【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”.
（1）【探究】如图①，已知 ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.
以下是小明的部分证明过程：
证明：□ABCD是十字架四边形，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
∵□ABCD为圆内接四边形，
……
（2）【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）.
（3）【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。
∠BOC与∠AOD的和为　 　度；
（4）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为　 　.
【答案】（1）∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
（2）用直尺过圆心画直径 BD，以 A、C 在圆周上的弦 AC 作线段，保证 AC 与 BD 互相垂直，依次连接 AB、BC、CD、DA，描粗四条边得到十字架四边形 ABCD。

（3）180
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： (3) 十字架四边形对角线垂直，同弧所对圆心角为圆周角两倍，对角相加对应平角，可得∠BOC+∠AOD=180 度。
(4) 十字架四边形有结论 AD2+BC2=4R2，
设 AD=x，则 BC=12 x，
AD2+BC2=x2+(12 x)2，
展开整理为 2x2 24x+144，
这是开口向上的二次函数，顶点处取最小值，
x=6 时平方和最小等于 72，
所以 4R2≥72，解得 R≥，
因此⊙O 半径最小值为。
故答案为：.
【分析】 (1) 平行四边形加对角线垂直可判定为菱形，圆内接平行四边形对角互补且相等，推出内角为直角，有直角的菱形即为正方形；
(2) 先画出圆直径 BD，再作 AC 垂直 BD，四点 A、B、C、D 都在圆上，满足对角线互相垂直且四点共圆，得到十字架四边形；
(3) 十字架四边形对角线垂直，利用圆周角与圆心角关系，可推导出∠BOC+∠AOD=180°；
(4) 先证明十字架四边形里 AD2+BC2=4r2，设 AD 长为 x，BC 长为 12 x，把平方和整理成二次函数，利用二次函数求最小值，再算出半径最小值。
18．
某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.
（1）判断甲乙两位同学的结论(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
（2）如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少
（3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形 ABCD 的两边AB 和CD 分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少
【答案】（1）A
（2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴
∵矩形，
∴，
即当面积最大时，矩形面积最大，
∵，，，
∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，
∵，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：过作于于，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高，
∴当时，的面积最大，
此时，，，
当时，的面积，
，
，
，
∴此时矩形的周长．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状；
（3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
19．综合与探究
【问题情境】
如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪．
（1）【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接．
①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由；
②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（2）【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系．
【答案】（1）解：①存在．理由：∵，
，
，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形”；
②．
理由：如图，
∵四边形内接于
∴，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2），理由见解析
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：．
理由：如图，延长至点，使得，连接．
，
，
∵圆中存在“爪形”，且，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
．
【分析】本题以圆内接四边形及新定义“爪形”为背景，考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质。
(1) ① 利用等弦所对圆周角相等，证得DB平分∠ADC，从而判断存在“爪形D”。
② 通过构造全等三角形△BAD≌△BCE，证得△BDE为等边三角形，从而得出AD、CD、BD的数量关系。
(2) 在AD⊥DC的条件下，同理构造全等三角形，证得△BDE为等腰直角三角形，利用三边关系得到AD、BD、CD的数量关系。
（1）解：①存在．
理由：∵，
，
，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形”；
②．
理由：如图，
∵四边形内接于
∴，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：．
理由：如图，延长至点，使得，连接．
，
，
∵圆中存在“爪形”，且，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
．
20．【问题探究】
（1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数；
【问题解决】
（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接，
四边形为的内接四边形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
，
即
（2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下：
如图4所示，延长至F，使，连接，
∵
∴，
从而，
又，
在中，因，，
∴，故，
从而可得，故为直径，，
即，则，
四边形周长
，
∴当最大时即为直径时，四边形周长最大值为
【知识点】勾股定理的逆定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长至E，使，连接，先证出，可得，，证出为等边三角形，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）延长至F，使，连接，先求出，再求出四边形周长，最后证出当最大时即为直径时，四边形周长最大，然后将数据代入求解即可.
21．如图所示，在中，，点外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与重合），过垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形.
（2）解：①当点C在中点时，四边形面积达到最大.
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，
∴，，
，
，
解得.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；多边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°知AB为直径，可得∠APB=90°，同时∠ABP=∠ACP=45°得△ABP为等腰直角三角形；
(2)①当点C在中点时，四边形面积达到最大，即可得最大面积；
②作，交的延长线于，易知PDME为矩形，同时知其为正方形，由此可得PD的长.
22．
⑴已知：如图①，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
⑵依已知条件和⑴中的结论解答问题：
(Ⅰ)如图②，若点 C 在⊙O外，且 A，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
(Ⅱ)如图③，若点 C 在⊙O 内，且 A，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系.
⑶如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°，连结OC，P 是半径OC 上任意一点，连结 DP，BP，则∠BPD 的度数可能为 ▲ (写出一个即可).
【答案】解：⑵(I)如图①，连结 DE.
∵∠A +∠BED = 180°，∠BED >∠BCD，
∴∠A+∠BCD<180°.
(II)如图②，延长 DC 交⊙O 于点 E，连结 BE.
∵∠A+∠E=180°，∠BCD>∠E，
∴∠A+∠BCD>180°.
⑶答案不唯一，如80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：(3) 连接OB、OD.
∵四边形ABCD内接于O，
由圆周角定理得，
即
可能为
故答案为“80°.”
【分析】(2) (I) 连接DE， 根据 (1) 的结论以及三角形外角的性质即可解答；
(Ⅱ) 延长DC交⊙O于点E， 连接BE， 根据(1)的结论以及即可解答；
(3)连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质可求出. 的度数，再结合圆周角定理可得 的度数，由此即可解答本题.
1 / 1

展开更多......

收起↑