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浙教版数学九年级上册期中模拟测试基础卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列事件中，为必然事件的是(　　)
A．抛一枚质地均匀的硬币，每一次都正面朝上
B．小明放学回家路过十字路口时，交通信号灯恰好显示绿色
C．足球运动员完成一次射门，足球射进球门
D．任意画一个三角形，其内角和为180°
2．一个布装甲放着3个红球和2个白球，这两种球除了膈色以外没有任何其他区别.从布装中任取1个球，取出红球的糖率是（　　）
A． B． C． D．
3．二次函数图象的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
4． 下列说法正确的是（　　）
A．概率很大的事件一定会发生
B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是 ，，则乙组的身高更整齐
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线表达式是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（　　）
A．10° B．26° C．409 D．52°
7．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．已知点A(-3， y1)，B(-2， y2)， C(1， y3)都在抛物线 的图象上，则y1， y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9． 二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 的根是（　　）
x … -3 -2 -1 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
10．如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）. 现从质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为　 　.
12．如图， 在⊙O中，， ∠ABC=70°， 则∠BOC=　 　.
13．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为　 　m.（结果保留π）
14．已知二次函数满足条件：①图象过点 (0，3)；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式　 　.
15．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米．
16．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac　 　0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表
成绩等级频数分布表 成绩等级频数A24B10CD2合计
（1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度；
（2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率．
18．已知二次函数，求：
（1）当时，函数的值；
（2）该函数图象的对称轴．
19．如图，已知点A，B，C，D是上四个点，．
求证：．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于点，，且，求a的值．
21．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
22．已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
23．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数．
24． 2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”深受人们喜爱，商家推出“喜洋洋”、“乐融融”纪念品．已知购进“喜洋洋”200个，“乐融融”300个，需花费14000元；购进“喜洋洋”100个，“乐融融”200个，需花费8000元．
（1）求每个“喜洋洋”、“乐融融”纪念品的进价分别为多少元？
（2）在销售中，该商家发现每个“喜洋洋”纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个“喜洋洋”纪念品售价元，该商家销售“喜洋洋”纪念品的利润为W元，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：抛一枚质地均匀的硬币，每一次都正面朝上不是必然事件，不符合题意；
B：小明放学回家路过十字路口时，交通信号灯恰好显示绿色不是必然事件，不符合题意；
C：足球运动员完成一次射门，足球射进球门不是必然事件，不符合题意；
D：任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 布袋中球的总个数为 ，红球个数为，
从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：A.
【分析】根据顶点式的对称轴为直线即可求解．
4．【答案】B
【知识点】方差；事件发生的可能性；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：选项 A：概率很大的事件只是发生的可能性大，并非一定会发生，故 A 错误；
选项 B：任意三角形的外角和恒为360°，因此 “任意画一个三角形，其外角和是360° 是必然事件，故 B 正确；
选项 C：方差越小，数据波动越小、越整齐，所以甲组身高更整齐，故 C 错误；
选项 D：中奖概率为 表示每次抽奖的中奖可能性为 ，不代表抽奖 10 次就一定有 1 次中奖（只是长期抽奖的平均结果），故 D 错误.
故答案为：B .
【分析】 根据概率的意义、必然事件的定义、方差的意义，逐一分析选项的正确性即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可．
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查圆周角定理的应用。解题时先判断两个角分别对应同一段弧的圆周角与圆心角，再依据圆周角定理，即同弧所对的圆心角度数为圆周角度数的2倍，用已知圆周角的度数乘2，即可求出对应圆心角的度数。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：因为a＞0，
所以：抛物线开口方向向上，
所以：在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
因为抛物线对称轴为：x=1，-3＜-2＜1，
所以 ：
故答案为：A .
【分析】根据二次函数的解析式，可得出抛物线的开口方向向上，抛物线对称轴为：x=1，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，进而根据得出-3＜-2＜1，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=-2和x=0时，y=2，故二次函数的对称轴为直线x=，
同时当x=-3时，y=0，即抛物线与x轴的一个交点为(-3，0)，与抛物线的另一个交点为(1，0)，
故的根为，.
故答案为：C .
【分析】由表格数据知当x=-2和x=0时，y=2，可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得函数与x轴的另一个交点，即可得方程的根.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，从而得，进而利用扇形的面积公式即可求解.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，
列树状图如下
一共有12种结果数，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的有4种情况，
∴P（天平恢复平衡）
故答案为： .
【分析】设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及天平恢复平衡的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴弦（同圆中，等弧对等弦），
∴为等腰三角形，。
由三角形内角和为，得：
。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查圆的弧弦关系、等腰三角形性质与圆周角定理。先由等弧对等弦得到，判定为等腰三角形，结合已知底角度数求出顶角的度数；再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，代入计算即可得到结果。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
解： 图象过点 (0，3) ， 当x≤0时，y随x的增大而增大
∴ 二次函数的解析式
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点坐标为（0，k）， 当x≤0时，y随x的增大而增大 得到开口向下，因而a0即可，写出满足条件的解析式即可解答.
15．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线，
∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标，
∴，
∴顶点坐标为：，
∴水喷出后，离地面的最大高度是4米，
故答案为：4．
【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案.
16．【答案】＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线的开口向下，所以a＜0，
因为与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，所以ac＜0．
故填：＜．
【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．
17．【答案】（1）4，40，36
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据B等级的频数和对应的扇形占比，用“频数÷对应占比”求出抽取的学生总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的频数，得到C等级的频数；最后用乘以C等级人数占总人数的比例，即可得到C等级对应的扇形圆心角度数；
（2）通过画树状图或列表的方式，列举出从三名学生中抽取两人的所有等可能结果，再统计出恰好抽到甲和乙的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算，即可得到对应概率。
（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
18．【答案】（1）解：在中，当时，，∴当时，函数的值为；
（2）解：∵二次函数解析式为，∴该函数的对称轴为直线．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1) 将 直接代入二次函数解析式，计算得到函数值；
(2) 利用二次函数对称轴公式 ，代入系数 、 求出对称轴。
（1）解：在中，当时，，
∴当时，函数的值为；
（2）解：∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为直线．
19．【答案】证明：∵，∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】本题考查圆中弧与弦的对应关系，解题需利用“等弦对等弧”“等弧对等弦”的性质。已知AD=BC，根据“等弦对等弧”，可得；在这两条弧上同时加上，可得，即；再根据“等弧对等弦”，对应弦AB，对应弦CD，因此AB=CD。
20．【答案】（1）证明：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
21．【答案】解：连接AO，
∵D是中弦的中点，连接并延长交于点C
∴OD垂直平分AB，OC为圆的半径
∴
设圆的半径为r，则OA=OC=r
∴OD=CD-OC=2.5-r
在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2
∴0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3
∴的半径为1.3m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OA=OC=r，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：将代入可得：
，解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴．
将代入可得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
答：的面积为3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB，OC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：将代入可得：
，解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴．
将代入可得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
答：的面积为3．
23．【答案】解：，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
24．【答案】（1）解：设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元
由题意得：
解得：
答：“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为40元、20元.
（2）解：由题意得：
w=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(500-5a)
∵-5<0，60≤a≤100
∴当a-70=0， 即a=70时， w最大， 最大值为4500.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×数量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
1 / 1浙教版数学九年级上册期中模拟测试基础卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列事件中，为必然事件的是(　　)
A．抛一枚质地均匀的硬币，每一次都正面朝上
B．小明放学回家路过十字路口时，交通信号灯恰好显示绿色
C．足球运动员完成一次射门，足球射进球门
D．任意画一个三角形，其内角和为180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：抛一枚质地均匀的硬币，每一次都正面朝上不是必然事件，不符合题意；
B：小明放学回家路过十字路口时，交通信号灯恰好显示绿色不是必然事件，不符合题意；
C：足球运动员完成一次射门，足球射进球门不是必然事件，不符合题意；
D：任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
2．一个布装甲放着3个红球和2个白球，这两种球除了膈色以外没有任何其他区别.从布装中任取1个球，取出红球的糖率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 布袋中球的总个数为 ，红球个数为，
从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可．
3．二次函数图象的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：A.
【分析】根据顶点式的对称轴为直线即可求解．
4． 下列说法正确的是（　　）
A．概率很大的事件一定会发生
B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是 ，，则乙组的身高更整齐
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
【答案】B
【知识点】方差；事件发生的可能性；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：选项 A：概率很大的事件只是发生的可能性大，并非一定会发生，故 A 错误；
选项 B：任意三角形的外角和恒为360°，因此 “任意画一个三角形，其外角和是360° 是必然事件，故 B 正确；
选项 C：方差越小，数据波动越小、越整齐，所以甲组身高更整齐，故 C 错误；
选项 D：中奖概率为 表示每次抽奖的中奖可能性为 ，不代表抽奖 10 次就一定有 1 次中奖（只是长期抽奖的平均结果），故 D 错误.
故答案为：B .
【分析】 根据概率的意义、必然事件的定义、方差的意义，逐一分析选项的正确性即可.
5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可．
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（　　）
A．10° B．26° C．409 D．52°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查圆周角定理的应用。解题时先判断两个角分别对应同一段弧的圆周角与圆心角，再依据圆周角定理，即同弧所对的圆心角度数为圆周角度数的2倍，用已知圆周角的度数乘2，即可求出对应圆心角的度数。
7．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
8．已知点A(-3， y1)，B(-2， y2)， C(1， y3)都在抛物线 的图象上，则y1， y2，y3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：因为a＞0，
所以：抛物线开口方向向上，
所以：在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
因为抛物线对称轴为：x=1，-3＜-2＜1，
所以 ：
故答案为：A .
【分析】根据二次函数的解析式，可得出抛物线的开口方向向上，抛物线对称轴为：x=1，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，进而根据得出-3＜-2＜1，即可得出答案。
9． 二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 的根是（　　）
x … -3 -2 -1 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=-2和x=0时，y=2，故二次函数的对称轴为直线x=，
同时当x=-3时，y=0，即抛物线与x轴的一个交点为(-3，0)，与抛物线的另一个交点为(1，0)，
故的根为，.
故答案为：C .
【分析】由表格数据知当x=-2和x=0时，y=2，可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得函数与x轴的另一个交点，即可得方程的根.
10．如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，从而得，进而利用扇形的面积公式即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）. 现从质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，
列树状图如下
一共有12种结果数，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的有4种情况，
∴P（天平恢复平衡）
故答案为： .
【分析】设质量为10g， 20g， 30g， 40g的四件物品分别记为1、2、3、4，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及天平恢复平衡的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．如图， 在⊙O中，， ∠ABC=70°， 则∠BOC=　 　.
【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴弦（同圆中，等弧对等弦），
∴为等腰三角形，。
由三角形内角和为，得：
。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查圆的弧弦关系、等腰三角形性质与圆周角定理。先由等弧对等弦得到，判定为等腰三角形，结合已知底角度数求出顶角的度数；再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，代入计算即可得到结果。
13．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为　 　m.（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
14．已知二次函数满足条件：①图象过点 (0，3)；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
解： 图象过点 (0，3) ， 当x≤0时，y随x的增大而增大
∴ 二次函数的解析式
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点坐标为（0，k）， 当x≤0时，y随x的增大而增大 得到开口向下，因而a0即可，写出满足条件的解析式即可解答.
15．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线，
∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标，
∴，
∴顶点坐标为：，
∴水喷出后，离地面的最大高度是4米，
故答案为：4．
【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案.
16．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac　 　0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线的开口向下，所以a＜0，
因为与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，所以ac＜0．
故填：＜．
【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．
三、解答题（共8题，共72分）
17．为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表
成绩等级频数分布表 成绩等级频数A24B10CD2合计
（1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度；
（2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）4，40，36
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据B等级的频数和对应的扇形占比，用“频数÷对应占比”求出抽取的学生总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的频数，得到C等级的频数；最后用乘以C等级人数占总人数的比例，即可得到C等级对应的扇形圆心角度数；
（2）通过画树状图或列表的方式，列举出从三名学生中抽取两人的所有等可能结果，再统计出恰好抽到甲和乙的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算，即可得到对应概率。
（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
18．已知二次函数，求：
（1）当时，函数的值；
（2）该函数图象的对称轴．
【答案】（1）解：在中，当时，，∴当时，函数的值为；
（2）解：∵二次函数解析式为，∴该函数的对称轴为直线．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1) 将 直接代入二次函数解析式，计算得到函数值；
(2) 利用二次函数对称轴公式 ，代入系数 、 求出对称轴。
（1）解：在中，当时，，
∴当时，函数的值为；
（2）解：∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为直线．
19．如图，已知点A，B，C，D是上四个点，．
求证：．
【答案】证明：∵，∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】本题考查圆中弧与弦的对应关系，解题需利用“等弦对等弧”“等弧对等弦”的性质。已知AD=BC，根据“等弦对等弧”，可得；在这两条弧上同时加上，可得，即；再根据“等弧对等弦”，对应弦AB，对应弦CD，因此AB=CD。
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于点，，且，求a的值．
【答案】（1）证明：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
21．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
【答案】解：连接AO，
∵D是中弦的中点，连接并延长交于点C
∴OD垂直平分AB，OC为圆的半径
∴
设圆的半径为r，则OA=OC=r
∴OD=CD-OC=2.5-r
在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2
∴0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3
∴的半径为1.3m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OA=OC=r，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：将代入可得：
，解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴．
将代入可得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
答：的面积为3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得AB，OC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：将代入可得：
，解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴．
将代入可得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
答：的面积为3．
23．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数．
【答案】解：，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠A，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
24． 2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”深受人们喜爱，商家推出“喜洋洋”、“乐融融”纪念品．已知购进“喜洋洋”200个，“乐融融”300个，需花费14000元；购进“喜洋洋”100个，“乐融融”200个，需花费8000元．
（1）求每个“喜洋洋”、“乐融融”纪念品的进价分别为多少元？
（2）在销售中，该商家发现每个“喜洋洋”纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个“喜洋洋”纪念品售价元，该商家销售“喜洋洋”纪念品的利润为W元，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元
由题意得：
解得：
答：“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为40元、20元.
（2）解：由题意得：
w=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(500-5a)
∵-5<0，60≤a≤100
∴当a-70=0， 即a=70时， w最大， 最大值为4500.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×数量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
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