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浙教版数学九年级上册期中模拟测试巩固卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
2． 如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理得
∠AOB=2∠ACB.
∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=80°.
故选：D.
【分析】 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得解.
3．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
【分析】根据列举法得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
4．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　）
A． B． C． D．2n°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE
∵OB=OC
∴∠OCB=∠CBO=n°
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°
∴
∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n°
故答案为：C
【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
5．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量反复试验后，频率的稳定值近似等于概率，由图可知该球的频率稳定在0.20左右，即其概率约为0.20。
袋子中球的总数为个，
∴抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∵黄球的概率与频率稳定值一致，∴该球的颜色最有可能是黄球。
故答案为：C
【分析】本题考查频率与概率的关系及简单概率计算，关键是理解频率稳定值即为概率。先根据频率图确定该球的概率近似值，再分别计算出三种颜色球的概率，通过对比概率值，找出与频率稳定值最接近的颜色。
6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是(　　)
A．9 cm B．30cm C．90 cm D．360cm
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为90，
∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是．
故答案为：C .
【分析】把解析式化为顶点式，然后根据顶点坐标得到最大值解答即可．
7．如图，扇形OAB，点 C在 上.若∠AOB =60°，则∠ACB 的度数是（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接 ，则，
∴ ，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接 ，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，然后根据角的和差解答即可．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，-2）和（0，-3）之间，顶点为P，对称轴为直线x=2.下列说法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜-；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB=90°时，.其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向下，得；
对称轴为，则；
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，得；
，故①错误。
②对称轴为，
整理得，即，故②正确。
③ 将代入解析式，得，
将代入，得，即。
点C在与之间，
，即，
解得，故③正确。
④ 由抛物线对称性，对称轴为，，则另一交点。
由得；将代入解析式，
得，即顶点。
由勾股定理分别表示三条线段的平方：
，
，
。
，由勾股定理逆定理得，
代入得，
整理得，解得。
，，故④正确。
综上，②③④正确。
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断系数符号，验证结论①；再利用对称轴公式变形验证结论②；接着结合函数过点A的条件，用a表示c，结合c的范围解不等式验证结论③；最后利用抛物线对称性得到点B坐标，结合勾股定理与直角条件列方程求解a的值，验证结论④，熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，以及勾股定理在坐标系中的应用是解题的核心。
9．如图， ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC， AD， BD， BC，若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=(　　)
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据圆周角定理的推论得到，然后根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据根据三角形外角解答即可．
10． 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b<0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
∴轴为x=，
∴b=-4a，即4a+b=0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，故方程有两个不同实数根，
即△=b2-4ac≥0，故③正确；
由图像可知，当x=-1时，y>0，
即，故④正确；
综上，说法正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，由对称轴的位置可得b<0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x=-1时y＞0，即可逐一判断，进而求解．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图， BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点， OA⊥BC， ∠OAB=60°， 则∠ABC的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】垂径定理；尺规作图-等腰（等边）三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，则，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：30°.
【分析】先得到为等边三角形，即可得到∠AOB=60°，进而可得，然后根据垂径定理和角的和差解答即可．
12． 如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为　 　.
【答案】80°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四点共圆
故答案为：80° .
【分析】先由四边形的内角和求出，再由圆内接四边形的对角互补结合圆周角定理可分别用含的代数式表示出和，再解关于的方程即可.
13．如图，为的直径，点A在上，连结，分别以A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点E，F，连结．若，则　 　°．
【答案】60
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
EF经过圆心O，
故答案为：60.
【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AB，则 再根据三角形外角性质得到 然后根据圆周角定理求解.
14．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）.
【答案】2π-4
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆周角定理得到根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ACE=75°，利用外角求出，即可得到，进而可得，根据勾股定理求出OE长，再根据计算即可．
15．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　m.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
16．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论：
①，②，③，④；正确的是　 　（写编号）．
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①、∵该抛物线开口向上，与y轴相交于负半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴即
∴
∴，故①错误.
②、∵对称轴为直线，
∴即
∴，故②错误.
③、由图可知，当时，，故③正确.
④、由图可知，当时，，
∵，
∴，
∴，
即，故④正确．
故答案为：③④．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系．根据图象得出，即可判断①.根据对称轴为直线，即可判断②.由图可知，当时，，即可判断③.由图可知，当时，，结合，则，即可判断④．
三、解答题（共8题，共72分）
17．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别.
（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球.求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率.
【答案】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球(记为事件A)的结果有1种，
所以
（2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：
第二次 第一次 黄球a0 红球b1 红球b2 白球c3
黄球a0 　 (a0，b1)
红球b1 (b1，a0) 　
红球b2 (b2，a0) (b2，b1) 　
白球c3 (c3，a0) (c3，b1) 　
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4(记为事件 B)的结果共有6种： (b1，a0)，(b2，a0)，(c3，a0)，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 找到符合条件的结果数，根据概率计算公式解答即可．
18．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点.
（1）建立模型：
求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；
（2）应用分析：
已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差．
【答案】（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，
设
因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，
所以，
解，得
所以，y1与x的函数关系式为
（2）解：①已知 将其配方，得
因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值.
此时，y2的最大值为309.
已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，
此时，
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克.
②15
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数的顶点式解析式。解题时已知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式，将点的坐标代入解析式中，解出系数的值，即可得到与的函数关系式，同时标注自变量的取值范围；
（2）①本题考查二次函数的最值与代数式求值。解题时先将低肥力的函数解析式配方化为顶点式，根据二次项系数小于0判断开口向下，顶点处取得最大值，得到产量最大时的施氮量与最大产量；再将该施氮量代入中肥力的函数解析式，求出对应产量，计算两个产量的差值即可；
②本题考查二次函数的最值与函数和的最值计算。解题时先分别求出两个函数各自的最大值，相加得到的值；再令总产量等于两个函数相加，得到新的二次函数，通过配方求出该函数在定义域内的最大值即为的值，最后计算与的差值即可。
19．已知二次函数 其中a为常数.
（1）若 求此函数图象的顶点坐标；
（2）当l≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）解：时，∴，
∴二次函数
∵顶点横坐标为：，
代入，，
∴此函数图象的顶点坐标是（1，1）；
（2）解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∵二次项系数大于0，∴图象开口向上，
∴时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，
又∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，
解得6≤a≤12.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）本题考查了二次函数顶点坐标的求解. 先代入，可得二次函数解析式接下来顶点坐标可有三种解法，解法一：利用顶点坐标公式求出顶点横坐标，将所求横坐标代入二次函数解析式即可求出顶点纵坐标；
解法二：直接套用顶点坐标公式分别求出横、纵坐标；
解法三：直接将一般式配成顶点式，可得顶点坐标（1，1）.
（2）先求出对称轴方程，因为3>0，所以图象开口向上，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，由已知条件可得 l≤x≤4 在对称轴左侧，8≤x≤12在对称轴右侧，可列不等式方程，解出不等式即可.
20．一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得．
（1）写出平移后的抛物线的函数表达式；
（2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值．
【答案】（1）解：向右平移1个单位得.
（2）解：将向上平移个单位后可得解析式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：横坐标：左加右减；纵坐标：上加下减；
（2）先根据平移法则得到平移后的解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值．
（1）解：∵向右平移1个单位得，
∴平移后的抛物线的函数表达式为：；
（2）∵将向上平移个单位后得，
∴平移后的表达式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
21．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
22．如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；圆周角定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠COB，再根据全等三角形性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
23． 如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求AB的长.
【答案】（1）证明：由圆心角和圆周角的关系知，.
由条件知，∠DAB+∠AOC=180°，故OC∥AD
（2）解： 连接BD，交OC于点E，
由题意知，，O是AB的中点，
又因为，所以，且OE是的中位线，
从而.
设半圆的半径为r，则.
由勾股定理知，，
即，解得，(舍去).
故
【知识点】圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠AOC=2∠ABC，利用已知可推出∠DAB+∠AOC=180°，据此可证得结论.
（2）连接BD，交OC于点E，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，由点O是AB的中点，OC∥AD，可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形中位线定理求出OE的长，设圆O的半径为r，可表示出CE的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可得到AB的长.
24．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.
主题 求生活中的圆弧长
研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l.
工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三
用软尺直接测量的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m
取两次测量结果的平均数，则l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，……
反思应用 ①方案一可通过 ▲ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：……
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l；
（3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1）
【答案】（1）多次测量取平均值
（2）方案二：弧长公式米
方案三：会圆术米
（3）解：∵CD⊥AB，AB=6
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理：
即
解得：AE=5
由会圆术可得，
设∠AEB的度数为n，则
解得：
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）可通过多次测量取平均值的方法减少误差.
（2）根据弧长公式及会圆术公式公式代值计算即可求出答案.
（3）根据垂径定理可得AD，根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据会圆术及弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1浙教版数学九年级上册期中模拟测试巩固卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　）
A． B． C． D．2n°
5．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球
6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是(　　)
A．9 cm B．30cm C．90 cm D．360cm
7．如图，扇形OAB，点 C在 上.若∠AOB =60°，则∠ACB 的度数是（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，-2）和（0，-3）之间，顶点为P，对称轴为直线x=2.下列说法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜-；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB=90°时，.其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④
9．如图， ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC， AD， BD， BC，若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=(　　)
A．45° B．55° C．60° D．65°
10． 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图， BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点， OA⊥BC， ∠OAB=60°， 则∠ABC的度数为　 　.
12． 如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为　 　.
13．如图，为的直径，点A在上，连结，分别以A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点E，F，连结．若，则　 　°．
14．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）.
15．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　m.
16．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论：
①，②，③，④；正确的是　 　（写编号）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a0，2个标号分别为1，2的红球b1，b2，1个标号为3 的白球c3，这些球除颜色和标号外无其他差别.
（1）从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球.求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率.
18．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点.
（1）建立模型：
求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；
（2）应用分析：
已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差．
19．已知二次函数 其中a为常数.
（1）若 求此函数图象的顶点坐标；
（2）当l≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.
20．一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得．
（1）写出平移后的抛物线的函数表达式；
（2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值．
21．如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
22．如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
23． 如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求AB的长.
24．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.
主题 求生活中的圆弧长
研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l.
工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三
用软尺直接测量的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m
取两次测量结果的平均数，则l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，……
反思应用 ①方案一可通过 ▲ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：……
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l；
（3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得：
　 亚醜钺 蛋壳黑陶杯 颂簋
亚醜钺
蛋壳黑陶杯
颂簋
故答案为：A.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理得
∠AOB=2∠ACB.
∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=80°.
故选：D.
【分析】 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得解.
3．【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
【分析】根据列举法得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE
∵OB=OC
∴∠OCB=∠CBO=n°
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°
∴
∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n°
故答案为：C
【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量反复试验后，频率的稳定值近似等于概率，由图可知该球的频率稳定在0.20左右，即其概率约为0.20。
袋子中球的总数为个，
∴抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∵黄球的概率与频率稳定值一致，∴该球的颜色最有可能是黄球。
故答案为：C
【分析】本题考查频率与概率的关系及简单概率计算，关键是理解频率稳定值即为概率。先根据频率图确定该球的概率近似值，再分别计算出三种颜色球的概率，通过对比概率值，找出与频率稳定值最接近的颜色。
6．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为90，
∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是．
故答案为：C .
【分析】把解析式化为顶点式，然后根据顶点坐标得到最大值解答即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接 ，则，
∴ ，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接 ，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，然后根据角的和差解答即可．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向下，得；
对称轴为，则；
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，得；
，故①错误。
②对称轴为，
整理得，即，故②正确。
③ 将代入解析式，得，
将代入，得，即。
点C在与之间，
，即，
解得，故③正确。
④ 由抛物线对称性，对称轴为，，则另一交点。
由得；将代入解析式，
得，即顶点。
由勾股定理分别表示三条线段的平方：
，
，
。
，由勾股定理逆定理得，
代入得，
整理得，解得。
，，故④正确。
综上，②③④正确。
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断系数符号，验证结论①；再利用对称轴公式变形验证结论②；接着结合函数过点A的条件，用a表示c，结合c的范围解不等式验证结论③；最后利用抛物线对称性得到点B坐标，结合勾股定理与直角条件列方程求解a的值，验证结论④，熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，以及勾股定理在坐标系中的应用是解题的核心。
9．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据圆周角定理的推论得到，然后根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据根据三角形外角解答即可．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b<0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
∴轴为x=，
∴b=-4a，即4a+b=0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，故方程有两个不同实数根，
即△=b2-4ac≥0，故③正确；
由图像可知，当x=-1时，y>0，
即，故④正确；
综上，说法正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，由对称轴的位置可得b<0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x=-1时y＞0，即可逐一判断，进而求解．
11．【答案】30°
【知识点】垂径定理；尺规作图-等腰（等边）三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，则，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：30°.
【分析】先得到为等边三角形，即可得到∠AOB=60°，进而可得，然后根据垂径定理和角的和差解答即可．
12．【答案】80°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四点共圆
故答案为：80° .
【分析】先由四边形的内角和求出，再由圆内接四边形的对角互补结合圆周角定理可分别用含的代数式表示出和，再解关于的方程即可.
13．【答案】60
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
EF经过圆心O，
故答案为：60.
【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AB，则 再根据三角形外角性质得到 然后根据圆周角定理求解.
14．【答案】2π-4
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆周角定理得到根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ACE=75°，利用外角求出，即可得到，进而可得，根据勾股定理求出OE长，再根据计算即可．
15．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
16．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①、∵该抛物线开口向上，与y轴相交于负半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴即
∴
∴，故①错误.
②、∵对称轴为直线，
∴即
∴，故②错误.
③、由图可知，当时，，故③正确.
④、由图可知，当时，，
∵，
∴，
∴，
即，故④正确．
故答案为：③④．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系．根据图象得出，即可判断①.根据对称轴为直线，即可判断②.由图可知，当时，，即可判断③.由图可知，当时，，结合，则，即可判断④．
17．【答案】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球(记为事件A)的结果有1种，
所以
（2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下：
第二次 第一次 黄球a0 红球b1 红球b2 白球c3
黄球a0 　 (a0，b1)
红球b1 (b1，a0) 　
红球b2 (b2，a0) (b2，b1) 　
白球c3 (c3，a0) (c3，b1) 　
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4(记为事件 B)的结果共有6种： (b1，a0)，(b2，a0)，(c3，a0)，所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 找到符合条件的结果数，根据概率计算公式解答即可．
18．【答案】（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，
设
因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，
所以，
解，得
所以，y1与x的函数关系式为
（2）解：①已知 将其配方，得
因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值.
此时，y2的最大值为309.
已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，
此时，
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克.
②15
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数的顶点式解析式。解题时已知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式，将点的坐标代入解析式中，解出系数的值，即可得到与的函数关系式，同时标注自变量的取值范围；
（2）①本题考查二次函数的最值与代数式求值。解题时先将低肥力的函数解析式配方化为顶点式，根据二次项系数小于0判断开口向下，顶点处取得最大值，得到产量最大时的施氮量与最大产量；再将该施氮量代入中肥力的函数解析式，求出对应产量，计算两个产量的差值即可；
②本题考查二次函数的最值与函数和的最值计算。解题时先分别求出两个函数各自的最大值，相加得到的值；再令总产量等于两个函数相加，得到新的二次函数，通过配方求出该函数在定义域内的最大值即为的值，最后计算与的差值即可。
19．【答案】（1）解：时，∴，
∴二次函数
∵顶点横坐标为：，
代入，，
∴此函数图象的顶点坐标是（1，1）；
（2）解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∵二次项系数大于0，∴图象开口向上，
∴时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，
又∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，
解得6≤a≤12.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）本题考查了二次函数顶点坐标的求解. 先代入，可得二次函数解析式接下来顶点坐标可有三种解法，解法一：利用顶点坐标公式求出顶点横坐标，将所求横坐标代入二次函数解析式即可求出顶点纵坐标；
解法二：直接套用顶点坐标公式分别求出横、纵坐标；
解法三：直接将一般式配成顶点式，可得顶点坐标（1，1）.
（2）先求出对称轴方程，因为3>0，所以图象开口向上，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，由已知条件可得 l≤x≤4 在对称轴左侧，8≤x≤12在对称轴右侧，可列不等式方程，解出不等式即可.
20．【答案】（1）解：向右平移1个单位得.
（2）解：将向上平移个单位后可得解析式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：横坐标：左加右减；纵坐标：上加下减；
（2）先根据平移法则得到平移后的解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值．
（1）解：∵向右平移1个单位得，
∴平移后的抛物线的函数表达式为：；
（2）∵将向上平移个单位后得，
∴平移后的表达式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
22．【答案】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；圆周角定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠COB，再根据全等三角形性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：由圆心角和圆周角的关系知，.
由条件知，∠DAB+∠AOC=180°，故OC∥AD
（2）解： 连接BD，交OC于点E，
由题意知，，O是AB的中点，
又因为，所以，且OE是的中位线，
从而.
设半圆的半径为r，则.
由勾股定理知，，
即，解得，(舍去).
故
【知识点】圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠AOC=2∠ABC，利用已知可推出∠DAB+∠AOC=180°，据此可证得结论.
（2）连接BD，交OC于点E，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，由点O是AB的中点，OC∥AD，可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形中位线定理求出OE的长，设圆O的半径为r，可表示出CE的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可得到AB的长.
24．【答案】（1）多次测量取平均值
（2）方案二：弧长公式米
方案三：会圆术米
（3）解：∵CD⊥AB，AB=6
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理：
即
解得：AE=5
由会圆术可得，
设∠AEB的度数为n，则
解得：
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）可通过多次测量取平均值的方法减少误差.
（2）根据弧长公式及会圆术公式公式代值计算即可求出答案.
（3）根据垂径定理可得AD，根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据会圆术及弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
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