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浙教版数学九年级上册期中模拟测试能力卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
即k=2，b=-1或k=2，b=-2，有2种情况，
而k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，有，即6种等可能的结果，
∴；
故答案为：A．
【分析】本题先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出，此时即可得出有2种情况；然后再列出k和b的所有可能性有6种情况，最后利用概率公式列式计算即可．
2．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm ，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为(　　)
A．5πcm B．10πcm C．20 πcm D．40 πcm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
半径 ，圆心角 ，
手腕的运动路线长：．
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式 计算即可．
3．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
4．如图，圆与菱形中，、、在圆上，在圆内，在上若圆的半径为，，则的长度为多少？(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解： AC、BD相交于点E，连结OD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
在Rt△ODE中，
∵OA=13，
∴CE=8，
故选： B.
【分析】AC、BD相交于点E，连结OD，根据菱形的性质可得 AE=CE，然后根据勾股定理求出OE长，然后根据线段的和差求出CE长，然后计算CE-OE解答.
5．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设16个小正方形的边长为a，则4个大正方形的边长为1.5a， 点 落在阴影部分的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题考查概率的计算，通过设小正方形的边长计算出阴影部分的面积，再通过概率计算公式求出概率.
6．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
7．已知二次函数 当x>0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是 (　　)
A．ab<0
B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程 没有实数根
D．该函数的最大值不小于-3
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时的值随值的增大而减小
、抛物线的顶点在y轴上或在第2象限
当时抛物线与x轴没有两个交点，而当时抛物线必与x轴有交点
故答案为：D .
【分析】由于当时的值随值的增大而减小，则抛物线开口向下，对称轴，即，所以；
同理抛物线的对称轴在y轴上或在y轴左侧，即抛物线的顶点在y轴上或在第2象限内；对于一元二次方程可得根的判别式，当且仅当时方程没有实数根；
化抛物线的一般式为顶点式可得顶点坐标为，由于，故，即二次函数的最大值不小于-3.
8．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = -1，
∴a <0，抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(-3，0)
图象如下所示
：
令y=n-1，即把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，
∴二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，
∴m=-3a，
∵．
∴3 <-3a<4，
解得结合函数图象可知，当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确，符合题意，
∵x=
∴b=2a，
. (t + 1) (at - a+ b) = (t + 1) (at - a + 2a)
=a(t+1)(t +1)
=a(t +1)2.
∵a<0， (t+1)2>0，
∴a(t +1)2<0.
即⑤正确，符合题意，
综上，①②③④⑤都正确，共5个。
故答案为：A.
【分析】次函数y = ax2+ bc + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，可得出②正确；由图象知抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，故而得出二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，可得出m=-3a，根据，即可得出③正确；结合函数图象可得出当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确；再根据抛物线的对称轴，可推导得出⑤正确，综上即可得出答案。
9．已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m n s …
其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表中可知点（1，-4），（3，-4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=-4a，
∴y=ax2-4ax+c，
∵当x=0时y=c，
∴m=c；
∵0＜m＜2
∴0＜c＜2，
∴m＞-4，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0，c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵7-2＞|-2-2|
∵抛物线的开口向上，抛物线离对称轴距离越远的点对应的y的值越大，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
∴（0，m）和（4，s）关于直线x=2对称，
∴m=s=c，
∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s-1＜1，
关于x的方程
∴
当s=1时，，方程有两个根；
当s＜1时，方程没有实数根；
当s＞1时，有4个实数根，故③错误；
当x=2时n=4a+2b+c=4a-8a+c=-4a+c，
当x=1时，a+b+c=-4，
当x=3时，9a+3b+c=-4，
∵b=-4a，
∴9a-12a+c=-4，
∴c=3a-4，
∴n=-4a+3a-4=-a-4，
s=m=c=3a-4，
∴s+n=2a-8，
∵0＜m＜2
∴0＜3a-4＜2
∴
∴即即，故④正确；
∵当m=1时即s=m=c=1，
∴抛物线经过点（0，1）、（4，1）
∵当 时，y的最小值是1，
∴t+2≤0或t≥4，
当t+2≤0时，t≤-2；
∴t=-2或t=4时，与结论t=2不符合，故⑤错误；
综上所述正确结论为①②④
故答案为：C.
【分析】利用表中数据及二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，可得到b与a的数量关系，可将函数解析式转化为y=ax2-4ax+c，可得到m=c，根据m的取值范围，可确定出a＞0，b＜0，c＞0，可对①作出判断；再利用二次函数的增减性，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可推出m=s=c，根据s的取值范围可得到s-1的取值范围，可将方程转化为，分情况讨论：当s=1时；当s＜1时；当s＞1时；分别可得到方程根的个数，可对③作出判断；分别将x=2、1、3代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组。可用含a的代数式表示出c，从而可推出s=m=c=3a-4，n=-a-4，可表示出s+n，根据m的取值范围，可得到0＜3a-4＜2，解不等式组可求出s+n的取值范围，可对④作出判断；利用已知可得到函数的最小值，同时可得到t的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
10．如图是边长为1的正三角形ABC，分别以顶点A，B，C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连接CD，BD，设AC与BD交于点E.
∵△ABC是边长为1的等边三角形
∴∠ACB=60°，
∵每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，
∴每两个圆的公共部分面积为
∵三个圆的公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，
∴三个圆的公共部分面积为
∴弧AC、弧AD、弧DC所围成的面积为
∴三个圆覆盖的面积为
故答案为：A.
【分析】连CD，BD，AC与BD交于点E，每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去 的面积，而三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加 的面积，最后求三个圆所覆盖的图形面积即三个圆的面积减去三个两圆的公共部分面积，再加上一个三个圆公共部分面积.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如图，
一共有种等可能的结果，分别为，，，，，
由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个
符合条件的结果有，，，，共种
灯泡亮的概率是．
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
12．如图，在△ABC中， ∠A=50°， ∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得 上的所有点都落在△ABC的边界及内部，则所对的圆心角∠AOB的取值范围是　 　.
【答案】0°<∠AOB≤100°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知OA =OB，
则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后，
当 会与AC线段有2个交点，当 会与BC线段有2个交点，
∴要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，
当∠OAC≥90°时， ∠OAB≥∠OAC-∠BAC=90°-50°=40°，
∴∠AOB≤180°-∠OAB-∠OBA=100°.
综上， 0°<∠AOB≤100°；
故答案为： 0°<∠AOB≤100°.
【分析】依题意画出图形，要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，找出临界值求解即可.
13．苏州园林中的月洞门(如图①)，形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”.某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 线段CD，DE，EA 四部分构成，AE，CD 分别垂直于地面l.经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE=CD=3分米，DE=12分米，则 所在圆的半径为　 　分米.
【答案】10
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接 ，过点B作于点H，交 于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，
由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，
设 的半径为r，则，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴所在 的半径为10分米．
故答案为：10.
【分析】连接 ，过点B作于点H，交 于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则四边形，四边形都是矩形，设 的半径为r，即可得到，根据垂径定理求出，在中利用勾股定理求出r的值即可．
14．如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为　 　.
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴即b=2a
∴当x=-1时y的值最小即y=a-b+c
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∵抛物线与y轴相交于点A(0，2) ，
∴c=2，
∴am2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2
∴ 对于任意实数m，的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，
∴OP=O'P，点O'（-2，0）
∴OP+AP=O'P+AP=O'A，
∵两点之间线段最短，
∴此时OP+AP的最小值就是O'A的长，
∴故③正确；
故答案为：.
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线上，满足且，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确，
∴正确结论的序号为②③④.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，可确定出a、b、c的取值范围，由此可得abc的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再利用二次函数的最值可推出am2+bm+c+a≥2，可对②作出判断；作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，可证得OP=O'P，同时可得到点O'的坐标，可推出OP+AP=O'A，利用两点之间线段最短，可知此时OP+AP的最小值就是O'A的长，利用勾股定理求出O'A的长，可对③作出判断；利用二次函数的性质可知抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，结合已知可得到点（x2，y2）离对称轴远，据此可得到y1、y2的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15． 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为　 　．
【答案】3或-1
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数配方，得
∵二次项系数1>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，函数在x<1时单调递减，x>1时单调递增．
分两种情况讨论：
情况1：m≥1，区间x≤m包含对称轴x=1，函数最小值在顶点x=1处取得．
将x=1代入，y=m，由最小值为3得m=3，满足m≥1，成立．
情况2：m<1，区间x≤m在对称轴左侧，函数单调递减，最小值在x=m处取得．
把x=m代入解析式，得y=m2-2m+m+1=m2-m+1
令m2-m+1=3，整理得m2-m-2=0，因式分解(m-2)(m+1)=0，解得m=2或m=-1．
∵此情况前提m<1，∴m=2舍去，m=-1符合条件．
综上，m=3或m=-1．
故答案为：3或-1．
【分析】先根据配方法求出二次函数对称轴与增减性，先根据m和对称轴x=1的大小关系分成两种情况；再当m≥1时，最小值在顶点处列式求解得m=3；当m<1时，区间内函数单调递减，最小值在x=m处代入列方程求解，最后舍去不符合范围的解得到m=-1，最终得到m=3或m=-1．
16． 如图， △ABC内接于⊙O， AC=BC=8， AD平分∠CAB交BC于点D， 连结CO并延长交AD于点E， 若OE=1， 则⊙O的半径等于　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设的半径是，
∴，
∵平分，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，连接，证明，由等腰三角形的性质推出，设的半径是，得到，由角平分线定义得到，再由三角形外角的性质得到，推出，由勾股定理得到，求出r的值，即可得到的半径．
三、解答题（共6题，共72分）
17．为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共 人参与，其中“乒乓球”所占百分比为 ，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢兵乓球且又具实力的有4名同学(两男两女)，从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.
【答案】（1）解：500；40%；
（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，
∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）羽毛球有150人，占比为，
∴，
∴本次投票共有500人，
∴“乒乓球”有（人），
∴“乒乓球”所占百分比为，
故答案为：500；40%；
【分析】（1）根据羽毛球的人数除以占比求出考查人数，根据考查人数减去其他球类比赛人数得到“乒乓球”的人数，求出占比并补全条形统计图；
（2）运用树状图法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
18．综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则________．
（2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）．
（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）如图，连接、、，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米），
由（1）可知，，
∴（米）．
∴小河最短是沿线段修建，距离为米．
（3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，
∵为的直径，，
∴点、点都在上，为的直径，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
（4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（1）可知，
∴，
∴；
如图，当点在直线的右侧时，连接、，
同理可知，，
设，则，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
综上所述，线段与的数量关系是或．
【分析】（1）根据题意结合小吴同学方法得到，进而将AC和BC代入计算即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据勾股定理得到米，从而根据（1）即可求解；
（3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，先根据圆周角定理得到，进而根据正方形的判定与性质得到，，由（1）可知，，再结合题意根据勾股定理即可求解；
（4）根据题意分类讨论：点在直线的左侧和右侧，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理结合（1）中的结论即可求解。
19．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB＝∠OBC，请求出点Q的坐标；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A(-3，0)和C(0，-3)，
∴，解得，
∴ 二次函数的表达为y＝x2+2x-3
（2）解：如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G，设Q(t，t2+2t-3)，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴-3∴x=-3或1，
∴B(1，0)，
∴OB=1，
∵C(0，-3)，
∴OC=3，
∵∠QAB=∠OBC，
∴tan∠QAB=tan∠OBC，
∴，
∴GQ=3AG，
∴-t2-2t+3=3(t+3)，解得t=-2或-3（舍去），
∴Q(-2，-3)
（3）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
如图2，四边形ACFE是平行四边形，
∵A(-3，0)，C(0，-3)，点E的横坐标为-1，
∴点F的横坐标为2，
∴F(2，5)；
如图3，四边形ACEF是平行四边形，
同理可得点F的横坐标为-4，∴F(-4，5)；
如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上，
∴F(-2，-3)，
综上，点F的坐标为(2，5)或(-4，5)或(-2，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)由待定系数法，代入已知点A，C的坐标，建立方程组求解b和c，从而得到二次函数表达式；
(2)先作辅助线，求出点B的坐标，计算tan∠OBC；再设点Q的坐标，利用角度相等得到tan∠QAB=3，建立方程求解并验证即可；
(3)先确定抛物线的对称轴，再根据平行四边形的性质分“AC为边”和“AC为对角线”两种情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质求出点F的坐标．
20．四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AC是对角线， CA平分∠BCD.
（1）如图1，求证： AB=AD；
（2） 如图2，点E 在线段 CD上，连接AE， AB=AE，连接BE， ∠BED=135°，求证： BC⊥CD；
（3）如图3，在(2)的条件下，作 BH⊥AB 交⊙O 于点 H，交线段 AC 于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD
（2）解：∵AB=AE，
∴可设∠ABE=∠AEB=α，由条件可知
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=135°-α，
∴∠DAE=180°-2 (135°-α) =2α-90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB
=180°-2α+2α-90°
=90°，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD
（3）解：连接DH，延长AC使CH=CK，连接HK， BK，由条件可知∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAD=∠BHD=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABHD 是正方形.
∴AD=BH=AB=DH，
∴∠ACB=∠DCH=∠ACD，
又∵∠ACB= ∠BCD=45°，
∴∠DCH=∠ACD=45°，
∴∠BCH=135°，
∠HCK=90°，
∴∠BCK=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
在△BCH 和△BCK 中，
∴△BCH≌△BCK (SAS)，
∴∠CBK=∠CBH，
BH=BK，
∴∠HBK=2∠CBH，
又∵HC=HC
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
在△ADE 和△BHK中，
∴△ADE≌△BHK (SAS)，
∴DE=HK，
又∴HK2=CH2+HK2，
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义得到∠ACB=∠ACD，再根据圆周角定理推出，最后根据同圆中弧弦相等的关系得出AB=AD；
(2)先根据等腰三角形性质设∠ABE=∠AEB=α，结合已知角度表示出∠BAE与∠AED，再根据AB=AD及AB=AE推出AE=AD并计算出∠DAB=90°，最后根据圆内接四边形对角互补的性质得到∠BCD=90°，从而证明BC⊥CD；
(3)先根据BH⊥AB，∠BAD=90°及AB=AD证明四边形ABHD是正方形，得到AD=BH等等量关系，再根据角度计算证明△BCH △BCK，得到AE=BK与∠DAE=∠HBK，接着根据这些等量关系证明△ADE≌△BHK得到DE=HK，最后根据等腰直角三角形的勾股定理推导出．
21．【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
（1）当，时，则，；
（2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
（3）①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
（2）解：对于抛物线， 令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
∴．
（3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，∴，
∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为，
由（2）可知，，，
∴，，
∵两次共跳了远，即，
∴．
②由①有，
∴，
∵两次跳跃的高度和均小于，
∴，
∴，
∵跳跃轨迹均可用，
∴由（2）可得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)已知a=1，b=6得到具体抛物线解析式，由抛物线与 x 轴交点求水平距离OA：令y=0解方程，零点差值即为OA长度；再通过配方法把抛物线化为顶点式，顶点纵坐标就是最大跳跃高度BC.
(2)对通用形式y= ax2+bx，先令y=0求与 x 轴交点，推导出OA的代数式；再配方求出顶点纵坐标，得到BC代数式；最后作分式除法，约去参数得到固定比值.
（3）①由题干轨迹式y=，对应通用式得a=，b=2；结合 (2) 问结论水平距离最大高度=2，推出单段最大高度=单段水平距离；已知两段水平距离之和OH+HK=3，整体代换求出两段最大高度之和.
②由①得到FG= DE，结合“两次跳跃均不触碰MN（高度均小于 1m）”列出不等式组，解出DE的取值区间；再用 (2) 问顶点高度公式把DE表示为含v12的代数式，代入DE范围解分式不等式，最终得到v12范围.
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
【答案】（1）解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴的长为；
（2）证明：四边形内接于，
，
平分，
，
，
，
，
（3）解：过点C作于H， ，
设， 则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=60°，即可得到△OAB是等边三角形，求出OA=6，利用弧长公式计算即可；
（2）先由圆内接四边形性质得到，再由角平分线定义得到，然后由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换确定，最后由等腰三角形的判定与性质即可得证；
（3）过点C作于H， ，设， 则，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合弧与弦的关系确定，利用勾股定理求解即可．
1 / 1浙教版数学九年级上册期中模拟测试能力卷[范围：第一-三章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明手腕到手肘的距离为20cm ，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为(　　)
A．5πcm B．10πcm C．20 πcm D．40 πcm
3．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，圆与菱形中，、、在圆上，在圆内，在上若圆的半径为，，则的长度为多少？(　　)
A． B． C． D．
5．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知二次函数 当x>0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是 (　　)
A．ab<0
B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程 没有实数根
D．该函数的最大值不小于-3
8．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m n s …
其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是边长为1的正三角形ABC，分别以顶点A，B，C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮的概率为　 　.
12．如图，在△ABC中， ∠A=50°， ∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得 上的所有点都落在△ABC的边界及内部，则所对的圆心角∠AOB的取值范围是　 　.
13．苏州园林中的月洞门(如图①)，形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”.某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 线段CD，DE，EA 四部分构成，AE，CD 分别垂直于地面l.经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE=CD=3分米，DE=12分米，则 所在圆的半径为　 　分米.
14．如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为　 　.
15． 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为　 　．
16． 如图， △ABC内接于⊙O， AC=BC=8， AD平分∠CAB交BC于点D， 连结CO并延长交AD于点E， 若OE=1， 则⊙O的半径等于　 　.
三、解答题（共6题，共72分）
17．为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共 人参与，其中“乒乓球”所占百分比为 ，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢兵乓球且又具实力的有4名同学(两男两女)，从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.
18．综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则________．
（2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）．
（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案）
19．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB＝∠OBC，请求出点Q的坐标；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
20．四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AC是对角线， CA平分∠BCD.
（1）如图1，求证： AB=AD；
（2） 如图2，点E 在线段 CD上，连接AE， AB=AE，连接BE， ∠BED=135°，求证： BC⊥CD；
（3）如图3，在(2)的条件下，作 BH⊥AB 交⊙O 于点 H，交线段 AC 于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
21．【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
（1）当，时，则，；
（2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
（3）①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
即k=2，b=-1或k=2，b=-2，有2种情况，
而k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，有，即6种等可能的结果，
∴；
故答案为：A．
【分析】本题先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出，此时即可得出有2种情况；然后再列出k和b的所有可能性有6种情况，最后利用概率公式列式计算即可．
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，
半径 ，圆心角 ，
手腕的运动路线长：．
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式 计算即可．
3．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解： AC、BD相交于点E，连结OD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
在Rt△ODE中，
∵OA=13，
∴CE=8，
故选： B.
【分析】AC、BD相交于点E，连结OD，根据菱形的性质可得 AE=CE，然后根据勾股定理求出OE长，然后根据线段的和差求出CE长，然后计算CE-OE解答.
5．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设16个小正方形的边长为a，则4个大正方形的边长为1.5a， 点 落在阴影部分的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题考查概率的计算，通过设小正方形的边长计算出阴影部分的面积，再通过概率计算公式求出概率.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时的值随值的增大而减小
、抛物线的顶点在y轴上或在第2象限
当时抛物线与x轴没有两个交点，而当时抛物线必与x轴有交点
故答案为：D .
【分析】由于当时的值随值的增大而减小，则抛物线开口向下，对称轴，即，所以；
同理抛物线的对称轴在y轴上或在y轴左侧，即抛物线的顶点在y轴上或在第2象限内；对于一元二次方程可得根的判别式，当且仅当时方程没有实数根；
化抛物线的一般式为顶点式可得顶点坐标为，由于，故，即二次函数的最大值不小于-3.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = -1，
∴a <0，抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(-3，0)
图象如下所示
：
令y=n-1，即把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，
∴二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，
∴m=-3a，
∵．
∴3 <-3a<4，
解得结合函数图象可知，当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确，符合题意，
∵x=
∴b=2a，
. (t + 1) (at - a+ b) = (t + 1) (at - a + 2a)
=a(t+1)(t +1)
=a(t +1)2.
∵a<0， (t+1)2>0，
∴a(t +1)2<0.
即⑤正确，符合题意，
综上，①②③④⑤都正确，共5个。
故答案为：A.
【分析】次函数y = ax2+ bc + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，可得出②正确；由图象知抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，故而得出二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，可得出m=-3a，根据，即可得出③正确；结合函数图象可得出当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确；再根据抛物线的对称轴，可推导得出⑤正确，综上即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表中可知点（1，-4），（3，-4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=-4a，
∴y=ax2-4ax+c，
∵当x=0时y=c，
∴m=c；
∵0＜m＜2
∴0＜c＜2，
∴m＞-4，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0，c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵7-2＞|-2-2|
∵抛物线的开口向上，抛物线离对称轴距离越远的点对应的y的值越大，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
∴（0，m）和（4，s）关于直线x=2对称，
∴m=s=c，
∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s-1＜1，
关于x的方程
∴
当s=1时，，方程有两个根；
当s＜1时，方程没有实数根；
当s＞1时，有4个实数根，故③错误；
当x=2时n=4a+2b+c=4a-8a+c=-4a+c，
当x=1时，a+b+c=-4，
当x=3时，9a+3b+c=-4，
∵b=-4a，
∴9a-12a+c=-4，
∴c=3a-4，
∴n=-4a+3a-4=-a-4，
s=m=c=3a-4，
∴s+n=2a-8，
∵0＜m＜2
∴0＜3a-4＜2
∴
∴即即，故④正确；
∵当m=1时即s=m=c=1，
∴抛物线经过点（0，1）、（4，1）
∵当 时，y的最小值是1，
∴t+2≤0或t≥4，
当t+2≤0时，t≤-2；
∴t=-2或t=4时，与结论t=2不符合，故⑤错误；
综上所述正确结论为①②④
故答案为：C.
【分析】利用表中数据及二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，可得到b与a的数量关系，可将函数解析式转化为y=ax2-4ax+c，可得到m=c，根据m的取值范围，可确定出a＞0，b＜0，c＞0，可对①作出判断；再利用二次函数的增减性，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可推出m=s=c，根据s的取值范围可得到s-1的取值范围，可将方程转化为，分情况讨论：当s=1时；当s＜1时；当s＞1时；分别可得到方程根的个数，可对③作出判断；分别将x=2、1、3代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组。可用含a的代数式表示出c，从而可推出s=m=c=3a-4，n=-a-4，可表示出s+n，根据m的取值范围，可得到0＜3a-4＜2，解不等式组可求出s+n的取值范围，可对④作出判断；利用已知可得到函数的最小值，同时可得到t的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连接CD，BD，设AC与BD交于点E.
∵△ABC是边长为1的等边三角形
∴∠ACB=60°，
∵每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，
∴每两个圆的公共部分面积为
∵三个圆的公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，
∴三个圆的公共部分面积为
∴弧AC、弧AD、弧DC所围成的面积为
∴三个圆覆盖的面积为
故答案为：A.
【分析】连CD，BD，AC与BD交于点E，每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去 的面积，而三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加 的面积，最后求三个圆所覆盖的图形面积即三个圆的面积减去三个两圆的公共部分面积，再加上一个三个圆公共部分面积.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如图，
一共有种等可能的结果，分别为，，，，，
由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个
符合条件的结果有，，，，共种
灯泡亮的概率是．
故答案为：.
【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
12．【答案】0°<∠AOB≤100°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知OA =OB，
则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后，
当 会与AC线段有2个交点，当 会与BC线段有2个交点，
∴要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，
当∠OAC≥90°时， ∠OAB≥∠OAC-∠BAC=90°-50°=40°，
∴∠AOB≤180°-∠OAB-∠OBA=100°.
综上， 0°<∠AOB≤100°；
故答案为： 0°<∠AOB≤100°.
【分析】依题意画出图形，要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，找出临界值求解即可.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接 ，过点B作于点H，交 于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，
由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，
设 的半径为r，则，
∴，
∵过圆心O，且，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴所在 的半径为10分米．
故答案为：10.
【分析】连接 ，过点B作于点H，交 于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则四边形，四边形都是矩形，设 的半径为r，即可得到，根据垂径定理求出，在中利用勾股定理求出r的值即可．
14．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴即b=2a
∴当x=-1时y的值最小即y=a-b+c
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∵抛物线与y轴相交于点A(0，2) ，
∴c=2，
∴am2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2
∴ 对于任意实数m，的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，
∴OP=O'P，点O'（-2，0）
∴OP+AP=O'P+AP=O'A，
∵两点之间线段最短，
∴此时OP+AP的最小值就是O'A的长，
∴故③正确；
故答案为：.
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线上，满足且，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确，
∴正确结论的序号为②③④.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，可确定出a、b、c的取值范围，由此可得abc的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再利用二次函数的最值可推出am2+bm+c+a≥2，可对②作出判断；作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，可证得OP=O'P，同时可得到点O'的坐标，可推出OP+AP=O'A，利用两点之间线段最短，可知此时OP+AP的最小值就是O'A的长，利用勾股定理求出O'A的长，可对③作出判断；利用二次函数的性质可知抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，结合已知可得到点（x2，y2）离对称轴远，据此可得到y1、y2的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】3或-1
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数配方，得
∵二次项系数1>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，函数在x<1时单调递减，x>1时单调递增．
分两种情况讨论：
情况1：m≥1，区间x≤m包含对称轴x=1，函数最小值在顶点x=1处取得．
将x=1代入，y=m，由最小值为3得m=3，满足m≥1，成立．
情况2：m<1，区间x≤m在对称轴左侧，函数单调递减，最小值在x=m处取得．
把x=m代入解析式，得y=m2-2m+m+1=m2-m+1
令m2-m+1=3，整理得m2-m-2=0，因式分解(m-2)(m+1)=0，解得m=2或m=-1．
∵此情况前提m<1，∴m=2舍去，m=-1符合条件．
综上，m=3或m=-1．
故答案为：3或-1．
【分析】先根据配方法求出二次函数对称轴与增减性，先根据m和对称轴x=1的大小关系分成两种情况；再当m≥1时，最小值在顶点处列式求解得m=3；当m<1时，区间内函数单调递减，最小值在x=m处代入列方程求解，最后舍去不符合范围的解得到m=-1，最终得到m=3或m=-1．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设的半径是，
∴，
∵平分，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴的半径为．
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，连接，证明，由等腰三角形的性质推出，设的半径是，得到，由角平分线定义得到，再由三角形外角的性质得到，推出，由勾股定理得到，求出r的值，即可得到的半径．
17．【答案】（1）解：500；40%；
（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，
∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）羽毛球有150人，占比为，
∴，
∴本次投票共有500人，
∴“乒乓球”有（人），
∴“乒乓球”所占百分比为，
故答案为：500；40%；
【分析】（1）根据羽毛球的人数除以占比求出考查人数，根据考查人数减去其他球类比赛人数得到“乒乓球”的人数，求出占比并补全条形统计图；
（2）运用树状图法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
18．【答案】（1）
（2）如图，连接、、，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米），
由（1）可知，，
∴（米）．
∴小河最短是沿线段修建，距离为米．
（3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，
∵为的直径，，
∴点、点都在上，为的直径，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
（4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（1）可知，
∴，
∴；
如图，当点在直线的右侧时，连接、，
同理可知，，
设，则，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
综上所述，线段与的数量关系是或．
【分析】（1）根据题意结合小吴同学方法得到，进而将AC和BC代入计算即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据勾股定理得到米，从而根据（1）即可求解；
（3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，先根据圆周角定理得到，进而根据正方形的判定与性质得到，，由（1）可知，，再结合题意根据勾股定理即可求解；
（4）根据题意分类讨论：点在直线的左侧和右侧，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理结合（1）中的结论即可求解。
19．【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A(-3，0)和C(0，-3)，
∴，解得，
∴ 二次函数的表达为y＝x2+2x-3
（2）解：如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G，设Q(t，t2+2t-3)，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴-3∴x=-3或1，
∴B(1，0)，
∴OB=1，
∵C(0，-3)，
∴OC=3，
∵∠QAB=∠OBC，
∴tan∠QAB=tan∠OBC，
∴，
∴GQ=3AG，
∴-t2-2t+3=3(t+3)，解得t=-2或-3（舍去），
∴Q(-2，-3)
（3）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
如图2，四边形ACFE是平行四边形，
∵A(-3，0)，C(0，-3)，点E的横坐标为-1，
∴点F的横坐标为2，
∴F(2，5)；
如图3，四边形ACEF是平行四边形，
同理可得点F的横坐标为-4，∴F(-4，5)；
如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上，
∴F(-2，-3)，
综上，点F的坐标为(2，5)或(-4，5)或(-2，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)由待定系数法，代入已知点A，C的坐标，建立方程组求解b和c，从而得到二次函数表达式；
(2)先作辅助线，求出点B的坐标，计算tan∠OBC；再设点Q的坐标，利用角度相等得到tan∠QAB=3，建立方程求解并验证即可；
(3)先确定抛物线的对称轴，再根据平行四边形的性质分“AC为边”和“AC为对角线”两种情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质求出点F的坐标．
20．【答案】（1）证明：∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD
（2）解：∵AB=AE，
∴可设∠ABE=∠AEB=α，由条件可知
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=135°-α，
∴∠DAE=180°-2 (135°-α) =2α-90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB
=180°-2α+2α-90°
=90°，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD
（3）解：连接DH，延长AC使CH=CK，连接HK， BK，由条件可知∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAD=∠BHD=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABHD 是正方形.
∴AD=BH=AB=DH，
∴∠ACB=∠DCH=∠ACD，
又∵∠ACB= ∠BCD=45°，
∴∠DCH=∠ACD=45°，
∴∠BCH=135°，
∠HCK=90°，
∴∠BCK=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
在△BCH 和△BCK 中，
∴△BCH≌△BCK (SAS)，
∴∠CBK=∠CBH，
BH=BK，
∴∠HBK=2∠CBH，
又∵HC=HC
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
在△ADE 和△BHK中，
∴△ADE≌△BHK (SAS)，
∴DE=HK，
又∴HK2=CH2+HK2，
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义得到∠ACB=∠ACD，再根据圆周角定理推出，最后根据同圆中弧弦相等的关系得出AB=AD；
(2)先根据等腰三角形性质设∠ABE=∠AEB=α，结合已知角度表示出∠BAE与∠AED，再根据AB=AD及AB=AE推出AE=AD并计算出∠DAB=90°，最后根据圆内接四边形对角互补的性质得到∠BCD=90°，从而证明BC⊥CD；
(3)先根据BH⊥AB，∠BAD=90°及AB=AD证明四边形ABHD是正方形，得到AD=BH等等量关系，再根据角度计算证明△BCH △BCK，得到AE=BK与∠DAE=∠HBK，接着根据这些等量关系证明△ADE≌△BHK得到DE=HK，最后根据等腰直角三角形的勾股定理推导出．
21．【答案】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
（2）解：对于抛物线， 令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
∴．
（3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，∴，
∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为，
由（2）可知，，，
∴，，
∵两次共跳了远，即，
∴．
②由①有，
∴，
∵两次跳跃的高度和均小于，
∴，
∴，
∵跳跃轨迹均可用，
∴由（2）可得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)已知a=1，b=6得到具体抛物线解析式，由抛物线与 x 轴交点求水平距离OA：令y=0解方程，零点差值即为OA长度；再通过配方法把抛物线化为顶点式，顶点纵坐标就是最大跳跃高度BC.
(2)对通用形式y= ax2+bx，先令y=0求与 x 轴交点，推导出OA的代数式；再配方求出顶点纵坐标，得到BC代数式；最后作分式除法，约去参数得到固定比值.
（3）①由题干轨迹式y=，对应通用式得a=，b=2；结合 (2) 问结论水平距离最大高度=2，推出单段最大高度=单段水平距离；已知两段水平距离之和OH+HK=3，整体代换求出两段最大高度之和.
②由①得到FG= DE，结合“两次跳跃均不触碰MN（高度均小于 1m）”列出不等式组，解出DE的取值区间；再用 (2) 问顶点高度公式把DE表示为含v12的代数式，代入DE范围解分式不等式，最终得到v12范围.
22．【答案】（1）解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴的长为；
（2）证明：四边形内接于，
，
平分，
，
，
，
，
（3）解：过点C作于H， ，
设， 则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=60°，即可得到△OAB是等边三角形，求出OA=6，利用弧长公式计算即可；
（2）先由圆内接四边形性质得到，再由角平分线定义得到，然后由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换确定，最后由等腰三角形的判定与性质即可得证；
（3）过点C作于H， ，设， 则，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合弧与弦的关系确定，利用勾股定理求解即可．
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