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30.1 直线与圆 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．已知的半径为5，圆心到直线距离为2，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
2．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
9．在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是_____，若⊙P与相离，则r满足的条件是_____．
12．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为______丈．
13．如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________．
14．如图，已知的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，则圆心P的坐标为___________．
15．不论取不等于1的任意实数，一次函数的图象都与以为圆心的圆有交点，则的面积的最小值为______．
三、解答题
16．如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
17．如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，先要在B、C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通，现测得，问此公路是否会穿过该森林公园？并通过计算进行说明．（参考数据：）

18．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
19．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
(1)的长为 ．
(2)求当与相切时，的长度．
(3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
20．在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”．
(1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ；
(2)已知点P为的“图象关联点”，且，
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出抛物线的顶点坐标．
(3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B D B A A C B
1．【答案】B
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的判定，关键是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断位置．
【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，已知，．
∵，
∴直线与的位置关系是相交；
故选：B．
2．【答案】D
【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解，
【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，
的半径大于4，
故选：．
3．【答案】A
【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可．
【详解】解：根据题意得，与直线无公共点，
则直线与相离，
因此圆心到直线的距离大于，
选项中只有，
故选：A．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的定义，等边对等角，三角形的外角定理．
根据切线的定义得出，进而得出，最后根据三角形的外角定理，即可解答．
【详解】解：∵为的切线，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．【答案】D
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解．
【详解】解：∵，分别是的切线，
∴
同理，．
∴三角形的周长
．
故选：D．
6．【答案】B
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接，
则与刻度尺下边缘垂直，
∵刻度尺上下边缘平行，
∴，
∴，
设，
刻度尺的宽为， 即
则，
在中，，
即，
解得．
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】求角的正弦值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，

∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．【答案】A
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，
是的内切圆，切点分别为，，，
，，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，设，则，
在中
，
解得：，
，，
．
故选：A．
9．【答案】C
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解．
【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图：
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图：
∵，，
∴与y轴有两个交点M、N
此时，
∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N，
故选：C．
10．【答案】B
【知识点】利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、判断确定圆的条件、有关切线的概念辨析
【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键．
【详解】∵ ①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴ ①错误；
∵ ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴ ②正确；
∵ ③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴ ③正确；
∵ ④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴ ④错误；
∴ 正确说法有②和③，共2个．
故选：B．
11．【答案】 相离
【知识点】含30度角的直角三角形、判断直线和圆的位置关系、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可．
【详解】解：过点P作，垂足为D，则，
∵，cm，
∴．
当cm时，，
∴⊙P与相离，
即⊙P与位置关系是相离．
当⊙P与相离时，，
∴r需满足的条件是：．
故答案为：相离；．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、切线的性质定理
【分析】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，勾股定理等．如图，先根据正方形的性质得出在同一直线上，得到的长是点到的最短距离，利用勾股定理计算即可求解．
【详解】解：如图，
设与正方形的边的切点为点，连接，
∴，
由正方形的性质知，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴在同一直线上，
设与的交点，的长是点到的最短距离，
则（丈），，
∴（丈），（丈），
∴（丈），
故答案为：．
13．【答案】或
【知识点】证明某直线是圆的切线
【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．
【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：
如图，连接OD，
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线；
若添加AB=AC，理由如下：
如图，连接AD，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴点D是BC的中点，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．
14．【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、切线的应用
【分析】先利用相切确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线顶点为
因为圆与x轴相切，圆心在抛物线上
∴P点纵坐标为3，
令，
得，
故或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了切线的性质和二次函数综合，掌握圆的切线垂直于过切点的半径确定点P的纵坐标是解题关键．
15．【答案】
【知识点】圆的基本概念辨析、利用点与圆的位置关系求半径、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题主要考查了一次函数恒过定点问题、圆的面积、两点间距离公式．明确一次函数恒过定点的坐标在圆上或者圆内才能使得的面积取得最小值，得出定点与点之间的距离是解题的关键．
对一次函数进行变形，通过一次函数恒过定点，可求出定点坐标，根据一次函数与以为圆心的圆有交点，所以可以确定这个定点在圆上或圆内有最小值，根据两点间距离公式即可求出半径，再根据的取值求出半径的最小值，圆面积的最小值即可求解．
【详解】解：，
，
当时，，
一次函数恒过定点．
不论取何值（），一次函数图象都与该圆有交点，
点必然在圆上或者圆内，
∵点到圆心的距离，
面积最小值为．
故答案为：．
16．【答案】见解析
【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．
17．【答案】大于圆A的半径，所以不会穿过森林公园，见解析
【知识点】判断直线和圆的位置关系、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过A作于D，根据三角函数求出的长，与圆的半径作比较．若半径，则公路不会穿过森林公园，若半径，则公路会穿过森林公园．
【详解】解：过点作与，
，
，
，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
答：大于圆的半径，所以不会穿过森林公园．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系解决实际问题．当圆心到直线的距离大于半径时直线与圆相离，当圆心与直线的距离等于半径时直线与圆相切，当圆心与直线的距离小于半径时直线与圆相交．掌握以上知识是解题的关键．
18．【答案】
证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、应用切线长定理求证
【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以．
【详解】略
19．【答案】(1)
(2)
(3)电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系．
（1）由题意得，，求出；
（2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到．
（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
【详解】（1）解：由题意，，
，
故答案为：；
（2）解： 与相切时，
，
，
，
；
（3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
20．【答案】(1)H
(2)
①与的位置关系是：相切.
∵为的直径，
∴为的中点.
∵，
.
∴.
连接，
∵P为的“图象关联点”，
∴点P为抛物线的顶点.
∴ 点P在抛物线的对称轴上.
∴是的垂直平分线.
∴
过点M作于N.
∵
∴
∴与相切
②抛物线的顶点坐标是或
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．
（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；
（2）连接，过点M作于N，证明即可得到结论，由题意可得，，求出，即可得到顶点坐标；
（3）求出点Р纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点且顶点为P，
则顶点P的横坐标为，
∵在点E，F，G，H中，的横坐标为，
∴在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是H；
故答案为：H；
（2）①略
②当抛物线开口向上时，
∵与相切
∴，
∵，，
∴，
∴
即点P的坐标为，
同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为或；
（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知的半径为1.5，
已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形内时，
顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
∴a的取值范围．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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