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30.2 三角形的内切圆 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．下列关于“三角形内心”的说法错误的是（ ）
A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．三角形的内心到三角形的三边距离相等
D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心
2．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
4．用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下：
甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；
乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；
丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为；
丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为；
则下列判断正确的是（　　）
①；②；③在，，，中，最小
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是一块草地，将阴影部分修建为花圃，已知，阴影部分是的内切圆，一只小鸟将随机落在这块草地上，则小鸟落在花圃上的概率为_____．

10．的周长为，面积为，则内切圆半径为_______．
11．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________．
12．如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______．
13．如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积_______．
三、解答题
14．如图，是的角平分线，请用尺规作图法求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法）．
15．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．
16．如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．
17．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C A D B B
1．【答案】B
【知识点】三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形内心的定义及其性质，根据三角形内心的定义及其性质，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意；
B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意；
D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意；
故选：B．
2．【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用
【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴分别平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可．
【详解】解：∵的周长为21，，
∴，
设与的三边的切点为，切于，
，
，
，
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内心有关应用
【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，再确定哪个作图是作的三角形的两个内角的平分线，从而可得答案．
【详解】解：∵三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，
观察各选项可得：
选项A中的作图是作的是三角形两边的垂直平分线，故不符合题意；
选项B中的作图是作的是三角形两边上高，故不符合题意；
选项C中的作图是作的是三角形两个内角的平分线，故符合题意；
选项D中的作图是作的是三角形两边上的中线，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，确定三角形的内切圆的圆心位置，利用三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接，证明是等边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，
，
点为等边的内心，
，
，
等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，
点为的外接圆的圆心，
，
是等边三角形，
，
故选A．
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用垂径定理求值、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；
根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识一一判断即可．
【详解】解：如图，设 交于．
∵，
∴，
∴；故①正确，
∴，故②错误，
∵点是线段，线段的垂直平分线的交点，
∴点是的外心，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴点是的内心，故④正确，
故选：D．
7．【答案】B
【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中；设图2中正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知；在图3中，设半圆的半径为r,根据切线长定理可求得；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得，；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【详解】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，；
图2中，设正方形的边长为x，则，，；
图3中，设半圆的半径为r，则，，；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则，解得：，；
根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、求弧长
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，所以的内心是和的角平分线的交点，根据三角形外角的性质可知，从而可知点在以点为圆心且半径长为的上运动，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如下图所示，连接，
为的直径，
，
的平分线交于，
，
，
是的内心，
平分，
，
，，
，
，
点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为，
，
走过的路径长为，
故选：B．
9．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用、几何概率
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的内切圆的半径计算方法，几何概率的计算方法，掌握直角三角形中内切圆半径为，概率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴的内切圆半径，
∴，，
∴小鸟落在花圃上的概率为；
故答案为：．
10．【答案】/0.8
【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径．
【详解】解：如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，
∴，
∵，
∴
∴，
∵的周长为，面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识．
11．【答案】
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的性质、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】根据题意作如图，连接OD、OE，利用HL可得△AEO≌△ADO，进而可得∠DAO＝∠EAO，再根据等边三角形的性质即可得∠OAC＝30°，进而可求解．
【详解】解：如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O与E、D，
∴OE⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△AEO和Rt△ADO中，
，
∴△AEO≌△ADO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴，
∴OD：AO＝1：2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形外接圆与内切圆的综合，熟练掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】根据旋转的性质得出和全等，可由三角形内角和得出，再由圆周角定理得出F在的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可．
本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键．
【详解】解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图：
是等边三角形，且，
，，
由旋转的性质得：，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点F在的外接圆上，
①当取最大值时，为直径，此时F与G重合，
为等边三角形，，
，
，
的最大值为；
②D在左侧，连接，如图：
，
当时，最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即最小值为；
故答案为：，
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质、三角形内心有关应用、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查等边三角形的内切圆求阴影部分面积，熟练掌握相关知识求内切圆半径是解题的关键；连接、，，过点E作于G，过点D作于H，求出，和弓形面积即可解答．
【详解】解：连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H，
∵是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．
∴，，平分，，，，且，
∴，点K与点F重合，即O，F，B三点共线，
∴垂直平分，同理垂直平分，垂直平分，
∴点D是的中点，点F是的中点，
∴，，，
∵，则，
∴，，
∴，，
∴弓形面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为．
14．【答案】见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用
【分析】如图：作的角平分线交于O，点O即为所求．
【详解】解：如图，点O即为所作．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键．
15．【答案】12
【知识点】三角形内心有关应用、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果．
【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴的面积为：
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．
16．【答案】．
【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD=，根据△ABC面积两种求法列等式得出即可．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，
设AD=x，CD=8-x, 其内切圆的半径为r，
根据勾股定理，即，
解方程得，
∴BD=，
∵圆是的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，
∴S△ABC=，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．
17．【答案】(1)
(2)
证明：如图，连接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直径，
，
，
，即，
．
是的半径，
是的切线．
(3)
解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，与交于点，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果．
（2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论．
（3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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