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30.3 正多边形与圆 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．如图所示的图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角至少为（ ）
A． B． C． D．
2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（ ）
A． B． C．3 D．
5．如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C． D．3.14
8．如图，边长为4的正方形内接于，E是劣弧上的动点（不与点A，B重合），F是劣弧上一点，连接，，分别与，交于点G，H，且，则在点E运动过程中，下列关系会发生变化的是（ ）
甲：与之间的数量关系；乙：的长度；
丙：图中阴影部分的面积和
A．只有甲 B．只有甲和乙 C．只有乙 D．只有乙和丙
二、填空题
9．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为_______．
10．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______．
11．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______．
12．如图，等边内接于，为边的中点，为上一动点，连接交于点，则的最大值为_________.
13．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______．
三、解答题
14．作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法．
15．如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积．
16．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接．
(1)若，求证：M为的中点．
(2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径．
17．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；
(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A C A B C
1．【答案】A
【知识点】求正多边形的中心角、求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题考查了旋转对称图形，掌握旋转变换的性是关键．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：由题意可得：图案可看作是正六边形，
，
这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，角至少为60度；
故选：A．
2．【答案】C
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意=72°，
∴n=5，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角
【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解．
【详解】解：正六边形内接于，的半径为3，
，，
是等边三角形，
．
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．
【详解】解：解：连接、，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积．
【详解】解：如图，连接，
∵六边形是⊙O的内接正六边形，
，．
，．
．
．
．
．
故选：C．
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作交于点，由正六边形内接于推得是等边三角形，结合三线合一定理、勾股定理即可求出的半径．
【详解】解：作交于点，
正六边形内接于，
，，
是等边三角形，
∴，
，
，
中，，
则，
解得．
故选：．
7．【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
，的半径为1，
，
，
故圆内接正十二边形的面积为：，
的面积为，
，即的估计值为．
故选：B．
8．【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积
【分析】连接，根据题意可得，，从而得到，进而得到；再证得，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由在点E运动过程中，的长度在发生变化，可得的长度会改变；分别求出，，再由阴影部分的面积和为，即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即与之间的数量关系不变；
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
而在点E运动过程中，的长度在发生变化，
∴的长度会改变；
根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为，不变；
综上所述，关系会发生变化的是乙．
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，正方形的性质，熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式，根据题意得到是解题的关键．
9．【答案】/18度
【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行同位角相等、求正多边形的中心角
【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：连接，，
∵在的圆内接正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．【答案】
【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案．
【详解】解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可．
【详解】解：连接，
∵是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】重心的有关性质、正多边形和圆的综合、由平行截线求相关线段的长或比值、等边三角形的性质
【分析】取的中点，连接，连接交 于点,当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，当为直径时，符合题意，进而求得,即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，连接交 于点,
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴
当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，
此时为直径，如图，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∵是等边三角形
∴，,
∴,
∵,
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，得出最大时的情况是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、坐标与旋转规律问题、求绕原点旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵，
∴第次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
14．【答案】(1)
(2)
如图，六边形即为所求．
【知识点】尺规作图——正多边形、成中心对称、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
（2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形．
【详解】（1）略
（2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，，
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．
15．【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为
【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积．
【详解】解：如图：连接，延长交于D，
∵正外接圆是，
∴，
∴边心距,
由勾股定理得：，
∴三角形边长为，，
∴的周长是；的面积是．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键．
16．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】正多边形和圆的综合、利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键．
（1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论；
（2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴M为的中点
（2）解：∵正方形的面积为4，
∴正方形的边长为2，
连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，即圆的半径为．
17．【答案】(1)或；
(2)，
理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
(3)1．
【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理
【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解；
（2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到；
（3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵正方形，
∴，
当点E在优弧AD上时，，
当点E在劣弧AD上时，，
综上，的度数为或；
（2）略
（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，
∴，
∵四边形与四边形关于直线对称，
∴，，
∴当边上的高最小时，面积取得最小值，
∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，
∴边上的高就是的长，
∴面积的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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