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27.1 反比例函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．下列关系中，成反比例函数关系的是（　　）
A．在直角三角形中，30度角所对的直角边y与斜边x之间的关系
B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系
C．圆的面积S与它的半径r之间的关系
D．面积为2019的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系
2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是反比例函数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．3
4．如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
5．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（ ）
A．5 B． C． D．以上都不对
7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是( )
①；②；③．
A．① B．② C．③ D．①②③
二、填空题
8．已知蓄电池的电压为定值．使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是_____V．
9．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______．
10．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____．
11．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____．
三、解答题
12．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值．
(1)；
(2)；
(3)．
13．已知函数是反比例函数，求m的值．
14．如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．
t（秒） 0 0.4 0.8 1 1.2 1.6 …
s（米） 0 0.016 0.064 0.1 0.144 0.256 …
(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；
(2)经过多少秒时，路程为0.225米？
(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）
15．如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．

(1)试求出，的值；
(2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点．
①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由．
②当与互相垂直时，试求出点的坐标．
16．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”．
(1)求直线上的“双倍点”的坐标；
(2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；
(3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；
(4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B C C D B C
1．【答案】D
【知识点】利用菱形的性质求面积、根据定义判断是否是反比例函数、含30度角的直角三角形、用反比例函数描述数量关系
【分析】根据题意分别写出各个选项中的函数关系式，根据反比例函数的定义判断．
【详解】A、在直角三角形中，30度角所对的直角边y与斜边x之间的关系：y＝x，不是反比例函数关系；
B、在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系：y＝180°﹣2x，不是反比例函数关系；
C、圆的面积S与它的半径r之间的关系：S＝πr2，不是反比例函数关系；
D、面积为2019的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系：y＝，是反比例函数关系；
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理、菱形的面积计算，掌握反比例函数的定义是解题的关键.
2．【答案】B
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断.
【详解】解：∵
∴在反比例函数图象上的是.
3．【答案】C
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y（k为常数，）或（k为常数，）．
利用反比例函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：C．
4．【答案】C
【知识点】正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系
【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案．
【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，
可得：，
与的关系为：正比例函数关系，
根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，
可得：，
，
与的关系式为：反比例函数关系，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
5．【答案】D
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（k为常数且）的函数是反比例函数．
根据反比例函数的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：反比例函数的标准形式为．
A．，分母为，不是反比例函数，不符合题意；
B．是正比例函数，不符合题意；
C．是正比例函数，不符合题意；
D．符合形式，且，是反比例函数．
故选D．
6．【答案】B
【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，，
∴，，
设平移后点A、B的对应点分别为、，
∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度，
∴，，
∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上，
∴把点代入，
得，即，
解得或（不合题意，舍去），
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解．
【详解】解：①当时，，
当时，，
，
与两坐标的交点分别为和，
当时，；
当时，；
函数的图象上不存在“近轴点”；
② 中，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
当时，，
函数的图象上不存在“近轴点”；
③ ，
当时，；当时，；
函数的图象上存在“近轴点”；
故选：C．
8．【答案】36
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把（4，9）代入可得U的值．
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵过（4，9），
∴U＝4×9＝36，
故答案为：36．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是设函数解析式为，其中U为电压．
9．【答案】③④
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式．
【详解】解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式；
②是二次函数，不符合反比例函数形式；
③可化为，其中，符合反比例函数形式；
④可化为，其中，符合反比例函数形式；
⑤分母是而非，不符合反比例函数形式；
综上分析可知：是的反比例函数的是③④．
故答案为：③④．
10．【答案】-2
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、用反比例函数描述数量关系
【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解．
【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上，
∴设方程的两个根分别为，
∴＝，即，
∴
解得：
∵，
∴，
∴．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数．
11．【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
12．【答案】(1)不是
(2)是，
(3)不是
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键：
（1）易得，不是反比例函数；
（2）易得，是反比例函数，，
（3）易得，不是反比例函数．
【详解】（1）解：不是；
∵，
∴，不是反比例函数；
（2）是；
∵，
∴
∴；
（3）不是；
∵，
∴，不是反比例函数；
13．【答案】1
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值．
【详解】解：由题意，得，解得．
又当时，，所以．
所以m的值为1．
14．【答案】(1)二次函数，
(2)1.5秒
(3)7秒
【知识点】正比例函数的定义、图形运动问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一元二次方程的应用)、用反比例函数描述数量关系
【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式求解即可；
（3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴s与t不是一次函数关系．
∵，
∴s与t不是反比例函数关系，
∴s与t是二次函数关系，
设，
把代入得
，
解得，
∴；
（2）把代入，得
，
解得（负值舍去），
答∶经过1.5秒．
（3）由题意得∶
，
解得．
答：总时间为7秒．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键．
15．【答案】(1)，
(2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；②
【知识点】已知两点坐标求两点距离、求一次函数解析式、求反比例函数值、根据反比例函数的定义求参数
【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可；
（2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可；
②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在函数的图象上，
将代入得：
，
∴点，
∵点在函数的图象上，
将代入得：
；
（2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．

延长交轴于点．设点，则点，．
∴
∵轴
∴点，点．
∴，．
∴
，
∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化．
②∵点，点，
设直线的解析式为：，
将代入，解得：，
∴直线的解析式为：；
∴直线是函数图象的对称轴，
又∵，
∴点，关于直线对称；
∴，
∵点，，
∴
解得：，（不合题意，舍去）；
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
16．【答案】(1)
(2)不存在“双倍点”，理由见解析
(3)或
(4)的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的最值、求反比例函数值
【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可；
（2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”；
（3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案；
（4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案．
【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标，
∴，
解得：，
∴，
∴直线上的“双倍点”的坐标．
（2）解：不存在“双倍点”，理由如下：
设在反比例函数图象上，
∴
∴，此方程无实数解，
∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”．
（3）解：∵二次函数解析式为，
∴当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，
∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”，
∴，
∴，
∴顶点坐标为，
∵该二次函数是“双倍二次函数”，
∴，
解得：或，
∴二次函数的解析式为或．
（4）解：设“双倍二次函数”，
∵为“双倍点”，
∴，
∴，
解得：或，
当时，顶点为，不合题意，舍去；
∴时，这个“双倍二次函数”为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，即，
解得：或（舍去）；
当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值；
当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
答案第1页，共2页
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