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27.2 反比例函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．9 D．13
2．设A，B，C，D是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：①存在无数个四边形ABCD是平行四边形；②存在无数个四边形ABCD是菱形；③存在无数个四边形ABCD是矩形；④至少存在一个四边形ABCD是正方形．其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．反比例函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
5．下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
6．当时，函数的图象在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7．如图，菱形OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为，反比例函数经过点A，则k的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
8．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
10．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______．
12．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接）
13．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围）
14．已知，正比例函数（为常数，）与反比例函数的图像相交于点、，则的值为________．
15．已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第______象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”）
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，已知函数与的图象有一个公共点．

(1)______；
(2)画出这两个函数的图象；
(3)根据图象，写出不等式的解集______．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
18．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围）
(2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积．
19．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是_________：
(2)下列表格是与几组对应值：
… …
… …
直接写出的值_________；
(3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：
(4)结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）；
②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上
(1)若，求证：；
(2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点，
①当时，求的值；
②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B D D A C D A
1．【答案】C
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值．
本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C，
由条件可知，，
∴，，，
由反比例函数的几何意义可得，
∴，
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形．证明四边形是平行四边形即可解决问题．
【详解】解：如图，过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于，，，，得到四边形，
由对称性可知，，，
∴存在无数个四边形是平行四边形，
当直线和直线关于直线对称时，
此时，
即存在无数个四边形是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线与直线不可能垂直，
∴四边形不可能是菱形或正方形，
∴①③正确，
故答案为：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．【答案】A
【知识点】判断（画）反比例函数图象
【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可．
【详解】解：，
此函数图象在二、四象限，
故选：A．
4．【答案】B
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题主要考查反比例函数性质，结合题意得，解不等式即可求出．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴
∴
故选：B．
5．【答案】D
【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax +bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质．根据一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质判断选择即可．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；对于反比例函数，当时，y的值随x的增大而减小．当时，y的值随x的增大而增大；对于二次函数，当时，图象开口向上，在对称轴左侧，y的值随x的增大而减小．在对称轴右侧，y的值随x的增大而增大．当时，图象开口向下，在对称轴左侧，y的值随x的增大而增大．在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小．
【详解】①，其中，故y的值随x的增大而减小，不符合题意；
②，其中，故y的值随x的增大而增大，符合题意；
③，其中，故当时，y的值随x的增大而增大，符合题意；
④，其中，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y的值随x的增大而减小，不符合题意．
综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③．
故选：D．
6．【答案】D
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的系数，
∴图象两个分支分别位于第一、三象限．
∴当时，图象位于第一象限．
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形
【分析】延长BA交y轴于点D，设，则，利用勾股定理可知，由此可求得点A的坐标是，可知．
【详解】解：延长BA交y轴于点D，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得，
故点A的坐标是，
得，
故选：A ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与菱形的综合，结合勾股定理求得A点坐标是解题的关键．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误；
C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确；
D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
故选C．
9．【答案】D
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴点不在它的图象上，故A项不符合题意，
∵
∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意，
∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意，
∵如果点在它的图象上，即，
∴点也在它的图象上，故D选项符合题意，
故选：D．
10．【答案】A
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大．
【详解】解：∵当时，随的增大而增大，
∴，
解得：，
∴的取值可能为．
故选：A．
11．【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】连接，根据平行线间的距离相等，可得与同底等高，面积相等，利用反比例函数的几何意义求出的值，结合图象所在象限确定的符号，即可得出解析式．
【详解】解：连接，
设反比例函数的解析式为，
轴，轴轴，
轴，
的面积的面积，
又的面积，
，
，
又反比例函数的图象的一支位于第二象限，
，
，
这个反比例函数的解析式为．
12．【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，
故答案为．
13．【答案】
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式．
【详解】解：根据题意可设，
将，代入得，
解得，
，
故答案为：．
14．【答案】16
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数图形的性质，掌握对称性是解题的关键．
根据题意，正比例函数与反比例函数图象关于原点对称，则，根据整式的运算法则展开，再代入计算即可．
【详解】解：∵正比例函数（为常数，）与反比例函数的图像均关于原点对称，
∴，
∴，
∵点在反比例函数，
∴，
∴原式，
故答案为： ．
15．【答案】一
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】本题考查了反比例函数的性质，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故答案为：一．
16．【答案】(1)
(2)
如图所示：

(3)或
【知识点】画一次函数图象、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）将代入中求出m，再将代入中即可求出k值；
（2）根据函数图象的画法画图即可；
（3）找到的图象在图象上方部分对应的x值即可得解．
【详解】（1）解：将代入中，
得，解得：，
∴，代入中，
得：；
（2）列表：
x 0 1 2 3
4 3 2 1 0
1 2
（3）如图，两函数图象交于，，
当或时，的图象在图象上方，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，画函数图象，解题的关键是准确把握图象，利用数形结合思想解决问题．
17．【答案】(1)，；
(2)或．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
将代入，得，
．
将，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由可知，
，
，
或．
18．【答案】(1)
(2)立方米
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可．
（1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可；
（2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可．
【详解】（1）解：设，
由函数图象可得，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：，
当时，
∴，
答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米．
19．【答案】(1)
(2)1；
(3)如图，
(4)①减小；②或
【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围．
（2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即．
（3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支．
（4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴自变量的取值范围是．
（2）解：当时，；
（3）略
（4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小；
②如图，过点，作一次函数，
由图可知，当时，的取值范围：或．
20．【答案】(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上，
，
，
，
将代入，得，
又，
，
，
，即．
(2)① ；②
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论．
（2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值．
【详解】（1）略
（2）① 解：∵ ，点在上，
,
,
，
如图，交点 的坐标为 ，即 ，
，
．
② 解：如图，过点作，垂足为，
由题意得
，交点 ，
，，
∵ ，
，且，
，
在和中，
，
，
点坐标为
∵ 在上，
，
整理得：，
， 是等腰直角三角形，
，即，
，
整理得：，
，
将 代入，
得，整理得，
联立，得，
解得，
代入 ，得．
答案第1页，共2页
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