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29.3 弧长和扇形面积 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．时钟分针的长5cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（　　）
A．πcm B．πcm C．15πcm D．πcm
2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（ ）．
A．4 B．8 C． D．
5．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一个圆锥形的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为，母线长为，那么纸杯的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置，则边BA扫过的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为______．
12．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为；截面中有水部分弓形的高为．则截面中有水部分弓形的面积为_________．
13．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是_____cm2．
14．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________．
15．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__．
三、解答题
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出绕点顺时针旋转后得到的；
(2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）．
17．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积．
18．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．
19．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
问题：
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ．
思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ．
20．综合与实践
主题：制作无底圆锥
素材：一张直径为的圆形纸板，如图1．
步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；
步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥．
猜想与计算：
(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系；
(2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A C B B C C
1．【答案】B
【知识点】求弧长
【分析】先求出经过45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式，求得弧长即可．
【详解】解：分针经过60分钟，转过，
经过分钟转过，
则分针的针尖转过的弧长是，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，属于基础题，解题关键是要掌握弧长公式，难度一般．
2．【答案】B
【知识点】求扇形半径
【分析】本题考查了求弧长，圆锥的侧面展开图；设扇形的半径为r，利用圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，即可求解．
【详解】解：设扇形的半径为r，
由题意得：，
解得：；
故选：B．
3．【答案】B
【知识点】求圆心角
【分析】利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆心角为，根据题意得：
，
解得：，
∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
4．【答案】D
【知识点】求某点的弧形运动路径长度
【分析】根据题意，所经过的路径是以为直径的圆，进而根据圆周长公式计算即可
【详解】解：依题意，所经过的路径是以为直径的圆，
点P所经过的路径长为
故选D
【点睛】本题考查了点的轨迹，理解点的轨迹是以为直径的圆是解题的关键．
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理、求扇形面积
【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角
的半径为
．
6．【答案】C
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】由扇形面积公式代值计算即可得到答案．
【详解】解：纸杯的侧面积为．
7．【答案】B
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
8．【答案】B
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为，母线长为，
∴解得，
即扇形的圆心角为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
9．【答案】C
【知识点】求图形旋转后扫过的面积
【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AB，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2.
∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置，
∴边BA扫过的面积是：.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．【答案】C
【知识点】求圆锥的高
【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r，
则，
解得，
∴这个圆锥体容器的高为，
故选：C．
【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键．
11．【答案】
【知识点】求弧长
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解．
【详解】解： ，，
，
故答案为：．
12．【答案】()cm2
【知识点】求弓形面积
【分析】连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中可求出∠AOE的度数，由垂径定理可知，AB=2AE，∠AOE=∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．
【详解】解：连接、，过作，交于点，
弓形的高为，截面半径为，
，
在中，，
，
，，
，
．
故答案为：() cm2．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键．
13．【答案】90π
【知识点】圆锥的实际问题、由三视图还原几何体
【分析】如图，首先得知这个几何体为一个圆锥，然后根据题意得出它的半径，高以及母线长，继而求出它的全面积．
【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm，
则底面圆的半径是5cm，
母线长==13cm，
它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)．
故答案为：90π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，可先根据三视图确定这个几何体的形状，然后根据其表面积计算方法进行计算．
14．【答案】/
【知识点】求扇形半径
【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案．
【详解】解：设扇形的半径是R，
则
解得：．
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、圆锥侧面上最短路径问题
【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵．
，
解得：．
∴它的侧面展开图的圆心角是；
根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知为最短路径，
，B为的中点，
由（1）知
∴
∴它所走的最短路线长是．
故答案为：
16．【答案】(1)
解：如图所示，即为所求：
(2)
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形
【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
（1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
点旋转到点的过程中线段扫过的面积为：
．
17．【答案】
【知识点】求圆心角、求扇形面积
【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
．
18．【答案】cm
【知识点】用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题
【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：n＝180°，
则∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
如图，
由勾股定理得：BP＝，
答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度．
19．【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；
（2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；
（3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；；
【知识点】求扇形面积、求弧长
【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式．
（1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长；
（2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；
（3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空．
【详解】解：（1），，
答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；
（2），，
答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；
（3），，
答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；
小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：；
在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：．
思考：根据以上公式可知，
发现弧长与扇形的面积的关系为．
20．【答案】(1)（或）
(2)
【知识点】求圆锥底面半径、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据圆锥的展开图即可得到答案；
（2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到．
【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长，
或．
（2）解：，
，
，
解得：，
在直角中，，
，
，
．
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