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25.1 一元二次方程的概念 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的二次项系数为2时，其一次项系数为（ ）
A． B．3 C．1 D．
4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则必有一个根是（ ）
A．0 B． C． D．
6．如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ）
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 10 4 0 0 ．．．
A． B． C．或 D．或
7．若b是方程的一个解，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
8．一元二次方程的一次项系数是______．
9．）一元二次方程的特殊形式：
_______
_______
_______
【注意】
（1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为_______；
（2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程_______，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的_______；
（3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为_______；
10．一元二次方程化为一般形式是_____________．
11．写出一个以和为两根的一元二次方程：________．
12．已知是方程的一个根，则 ________
三、解答题
13．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
14．先化简，再求值：，其中a是方程的解．
15．已知关于x的方程，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
16．阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A C C D A
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程．
B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程．
C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程．
D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得，，
故选：A．
3．【答案】A
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项化为一般形式后确定各项系数．将方程化为一般形式 后，直接读取一次项系数．
【详解】解：∵ 原方程为，
移项得，
∴ 一次项系数为；
故选：A．
4．【答案】C
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果
【详解】解：原方程为，
∵展开方程左边，得，
合并同类项得，
移项整理为一般形式，两边同乘得
5．【答案】C
【知识点】判断是否是一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案．
【详解】解：当时，方程为，
方程必有一个根是，
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】判断是否是一元二次方程的解
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义．
观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可．
【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，，
∴方程的根是：或，
故选D．
7．【答案】A
【知识点】等式的性质2、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、等式的性质等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
把代入方程得到，两边都除以b即可解答．
【详解】解：把代入方程得，
∵，
∴两边都除以b得：，即．
故选A．
8．【答案】
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题考查了一元二次方程一般形式的定义．根据一元二次方程一般形式的定义，一次项系数是方程中一次项的系数，进行作答即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，
故答案为：．
9．【答案】 正数 化为一般形式 符号 0
【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
（1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为正数；
（2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的符号；
（3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为0；
故答案为：；；；（1）正数；（2）化为一般形式，符号；（3）0；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握形如（），其中a、b、c为常数的方程叫做一元二次方程是解题的关键．
10．【答案】
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式求解即可，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，利用确定一元二次方程即可．
【详解】解：一个以和为两根的一元二次方程，
即，
令，
此时方程为：．
故答案为：（答案不唯一）．
12．【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键．
由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可．
【详解】解：∵是方程 的一个根，
∴，
即：，
∴，
故答案为：．
13．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义
【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．
【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；
（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；
（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；
（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．
14．【答案】，
【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、一元二次方程的解等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简可得，再根据一元二次方程的解可得，即，然后整体代入代数式求值即可．
【详解】解：
；
∵a是方程的解，
∴，即．
∴原式．
15．【答案】(1)或
(2)
【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键．
（1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可；
（2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况：
①，解得：，该方程是一元一次方程；
②，解得：，该方程是一元一次方程；
③，解得：，该方程是一元一次方程；
所以当或时，该方程是关于的一元一次方程；
（2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且，
解得：，都满足，
所以时，该方程是关于的一元二次方程．
16．【答案】(1)；
(2)
解：是方程的一个根，
，，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或；
(3)
证明：方程为“相似系”一元二次方程，
，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
．
【知识点】用勾股定理解三角形、一元二次方程的定义、等边对等角
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系．
（1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可；
（2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可；
（3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立．
【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程，
由题意可知，
解得：；
（2）略
（3）略
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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