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（基础版）浙教版数学八上 1.3 证明 同步练习
一、选择题
1．如图，在中，，点是延长线上的一点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：，而，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，先列式，然后将代入，即可求解．
2．将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含30°角的三角板的斜边经过含45°角的三角板的直角顶点，且其较短的直角边与含45°角的三角板的斜边重合，则∠1为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，标记角度
∵∠2=60°，∠4=45°
∴∠3=180°-∠2-∠4
∴∠3=180°-45°-60°=75°
∴∠1=90°-75°=15°
故答案：B.
【分析】由三角形内角和可得∠3的度数，由此可得∠1的度数.
3．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
B、两直线平行，内错角相等，是假命题；
C、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是假命题；
故选： A.
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
4．体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，即可得到答案.
5． 如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴ =∠2-∠1=69°-35°=34°.
故答案为：A .
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，即可得出答案.
6．如图，与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的一个外角，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形的外角性质“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”即可得解．
7．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是(　　)
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自试验得出 D．必须进行有根据的推理
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程，
故选：D.
【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项.
8．有下列命题：①两点之间，直线最短；②对顶角相等；③内错角互补，两直线平行；④三角形的一个外角，等于任意两个内角之和．其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①两点之间，线段最短，则原命题是假命题；
②对顶角相等，则原命题是真命题；
③内错角相等，两直线平行，则原命题是假命题；
④三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则原命题是假命题；
综上，真命题有1个，
故答案为：A．
【分析】
根据两点之间，线段最短判断①；对顶角相等判断②；平行线的判定，内错角相等，两直线平行判断③；三角形外角性质判断④，即可解答．
二、填空题
9．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是　 　.
【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【知识点】证明的含义与一般步骤；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如果 那么 这个推理的依据是平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行.
【分析】根据平行线的传递性定理解答即可.
10．一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α=　 　.
【答案】75°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得
故答案为：75°.
【分析】根据题意可知 再根据三角形的外角计算即可.
11． 一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了. 量得∠BCD=150°，这个零件　 　（ 填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，
由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠BAD+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°，
∵140°≠150°，
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．
12．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　 　打破的．
【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，
则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意
故答案为乙
【分析】本题属于逻辑推理类题型，需要结合三人的陈述进行严谨的分析与论证. 解题时需运用假设验证的思路，分别假定甲、乙、丙其中一人说真话，再验证另外两人的表述是否为假话，最终找到唯一符合”仅有一人说真话”条件的情况，从而确定破玻璃的人.
三、解答题
13．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
14．请补全下面的证明过程．
如图，平分平分，求证：．
证明：平分平分（已知），
（___________）．
又（已知），
______________________．
（已知），
___________．
（___________）．
【答案】证明：平分平分（已知），
（角平分线的定义）．
∵（已知），
．
（已知），
．
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】利用角平分线的定义及等量代换和平行线的判定方法和推理步骤分析求解即可.
15．读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式).
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上， 且∠AEF=∠GHD，MG∥FN. 求证： ∠EFN=∠G.
证明：如图2，延长EF交CD于点P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ ).
又∵∠AEF=∠GHD （已知)，
∴∠EPD= ▲ （ )
∴EP∥GH （ ).
∴∠EFN+ ▲ =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵ ▲ （已知)，
∴∠FNG+∠G=180° （ ).
∴∠EFN=∠G （ ).
【答案】证明：证明： 如图2， 延长EF交CD于点 P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ 两直线平行， 内错角相等 ).
又∵∠AEF=∠GHD （ 已知 )，
∴∠EPD= ∠GHD （ 等量代换 ).
∴EP∥GH （ 同位角相等，两直线平行 ).
∴∠EFN+ ∠FNG =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵MG∥FN （已知)，
∴∠FNG+∠G=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴∠EFN=∠G（ 同角的补角相等 ).
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】延长EF交CD于点P，根据平行线的判定和性质进行证明．
1 / 1（基础版）浙教版数学八上 1.3 证明 同步练习
一、选择题
1．如图，在中，，点是延长线上的一点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含30°角的三角板的斜边经过含45°角的三角板的直角顶点，且其较短的直角边与含45°角的三角板的斜边重合，则∠1为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
4．体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
7．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是(　　)
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自试验得出 D．必须进行有根据的推理
8．有下列命题：①两点之间，直线最短；②对顶角相等；③内错角互补，两直线平行；④三角形的一个外角，等于任意两个内角之和．其中是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是　 　.
10．一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α=　 　.
11． 一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了. 量得∠BCD=150°，这个零件　 　（ 填“合格”或“不合格”）.
12．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是　 　打破的．
三、解答题
13．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
14．请补全下面的证明过程．
如图，平分平分，求证：．
证明：平分平分（已知），
（___________）．
又（已知），
______________________．
（已知），
___________．
（___________）．
15．读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式).
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上， 且∠AEF=∠GHD，MG∥FN. 求证： ∠EFN=∠G.
证明：如图2，延长EF交CD于点P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ ).
又∵∠AEF=∠GHD （已知)，
∴∠EPD= ▲ （ )
∴EP∥GH （ ).
∴∠EFN+ ▲ =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵ ▲ （已知)，
∴∠FNG+∠G=180° （ ).
∴∠EFN=∠G （ ).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：，而，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，先列式，然后将代入，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，标记角度
∵∠2=60°，∠4=45°
∴∠3=180°-∠2-∠4
∴∠3=180°-45°-60°=75°
∴∠1=90°-75°=15°
故答案：B.
【分析】由三角形内角和可得∠3的度数，由此可得∠1的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
B、两直线平行，内错角相等，是假命题；
C、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是假命题；
故选： A.
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴ =∠2-∠1=69°-35°=34°.
故答案为：A .
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的一个外角，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形的外角性质“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”即可得解．
7．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程，
故选：D.
【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项.
8．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①两点之间，线段最短，则原命题是假命题；
②对顶角相等，则原命题是真命题；
③内错角相等，两直线平行，则原命题是假命题；
④三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则原命题是假命题；
综上，真命题有1个，
故答案为：A．
【分析】
根据两点之间，线段最短判断①；对顶角相等判断②；平行线的判定，内错角相等，两直线平行判断③；三角形外角性质判断④，即可解答．
9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【知识点】证明的含义与一般步骤；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如果 那么 这个推理的依据是平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行.
【分析】根据平行线的传递性定理解答即可.
10．【答案】75°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得
故答案为：75°.
【分析】根据题意可知 再根据三角形的外角计算即可.
11．【答案】不合格
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，
由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠BAD+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°，
∵140°≠150°，
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．
12．【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的
∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话
甲说：“是丙打破的”也是假话，
则丙说：“甲说谎”是真话，
∴玻璃是乙打破的符合题意
故答案为乙
【分析】本题属于逻辑推理类题型，需要结合三人的陈述进行严谨的分析与论证. 解题时需运用假设验证的思路，分别假定甲、乙、丙其中一人说真话，再验证另外两人的表述是否为假话，最终找到唯一符合”仅有一人说真话”条件的情况，从而确定破玻璃的人.
13．【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
14．【答案】证明：平分平分（已知），
（角平分线的定义）．
∵（已知），
．
（已知），
．
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行.
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】利用角平分线的定义及等量代换和平行线的判定方法和推理步骤分析求解即可.
15．【答案】证明：证明： 如图2， 延长EF交CD于点 P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ 两直线平行， 内错角相等 ).
又∵∠AEF=∠GHD （ 已知 )，
∴∠EPD= ∠GHD （ 等量代换 ).
∴EP∥GH （ 同位角相等，两直线平行 ).
∴∠EFN+ ∠FNG =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵MG∥FN （已知)，
∴∠FNG+∠G=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴∠EFN=∠G（ 同角的补角相等 ).
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】延长EF交CD于点P，根据平行线的判定和性质进行证明．
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