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25.2 降次 —— 解一元二次方程 一课一练2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
4．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的面积为（ ）
A． B．10 C． D．6
5．关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（ ）
①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为；
A．0 B．1 C．2 D．3
6．用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　）
①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根．
②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
③根据的值判断一元二次方程根的情况．
④计算出根的判别式的值．
A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④②
7．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把关于的一元二次方程配方，得，则_____．
12．用 公 式 法 解 关 于x的 一 元 二 次 方 程 ， 得 ， 则 该 一 元 二 次 方 程是 _________________．
13．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．
14．对实数a，b定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，，则__________．
15．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____．
三、解答题
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程的两实数根为满足，求k的值．
17．解方程．
(1)
(2)
(3)；
(4)
18．某同学解一元二次方程的步骤如下：
(1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号）
(2)请写出你认为正确的解答过程．
19．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为__________；第n个图案中“★”的个数可表示为__________．
【规律应用】
（2）若第n（n是正整数）个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，求n的值．
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D C D A C D
1．【答案】B
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、平方根概念理解
【分析】用直接开平方法解形如“（）”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．
【详解】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故选：B．
【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义．
2．【答案】C
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果．
【详解】解：移项，得，
配方，得，
即．
3．【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：方程 中，，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先解方程求出第三边的长，再利用勾股定理证明该三角形是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式即可求出答案．
【详解】解：解方程得或，
∴该三角形的第三边长为5，
∵，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为，
故选：D．
5．【答案】D
【知识点】配方法的应用、多项式的项、项数或次数、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了多项式的项和系数、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．因为，根据题意多项式M可以为，是二次三项式，可判断①；因为，根据题意满足条件的多项式M共有5个，可判断②；由方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值，可知多项式M为二次三项式，且，，当当k取最小值时，根据题意可知，再根据和，逐步列举出符合题意的和的值，推出多项式M为，再利用配方法求出代数式的最小值，可判断③，即可得出结论．
【详解】解：①若，
，
多项式M可以为，是二次三项式，故①正确；
②若，
，
满足条件的多项式M为，，，，，
满足条件的多项式M共有5个，故②正确；
③方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值，
多项式M为二次三项式，且，，
取最小值，
，
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，
又，且是正整数，
，此时多项式M为，
，
当时，有最小值，此时有最小值，
代数式的最小值为，故③正确；
综上所述，正确的个数是3．
故选：D．
6．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据用公式法解一元二次方程的步骤排序即可．
【详解】用公式法解一元二次方程的步骤为：
②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
④计算出根的判别式的值．
③根据的值判断一元二次方程根的情况．
①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根．
即顺序为：②④③①，
故选：C．
7．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次）
【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
【详解】解：把代入原方程得：．
故选：．
【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
8．【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
9．【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，设，由相似三角形的性质可得，，进而可得，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得，，
解得或（不合），
∴，
故选：．
10．【答案】D
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
解得；
解分式方程，
方程两边同乘（，否则分式无意义）得：，
整理得，
解得，
∵分式方程的解为负整数，
∴，且为整数，且，
即，是的倍数，，
结合且为整数，可得符合条件的整数只有，
∴所有满足条件的整数的值之和是．
11．【答案】
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值．
【详解】解：对方程进行配方，移项得，
两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得，
解得．
故答案为：5．
12．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键．根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意及求根公式得：
，
∴，，，
该一元二次方程为，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围．
【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：，
，
解得：，，
∵，
∴根据题中的新定义得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程、由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积
【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值．
【详解】解：∵，，
∴俯视图的长为，宽为，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
即x的值为1．
16．【答案】(1)
证明：关于x的一元二次方程，
，
∴方程总有两个实数根．
(2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两实数根为，
，
，
，
解得：．
17．【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
∴
∴，；
（3）解：
或
∴，；
（4）解：
或
∴，．
18．【答案】(1)第②步
(2)或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程．
【详解】（1）第②步
（2）解：，
，
或．
19．【答案】（1）；；（2）11
【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中有“◎”个，“★”个；
第2个图案中有“◎”个，“★”个；
第3个图案中有“◎”个，“★”个；
第4个图案中有“◎”个，“★”个；
……
∴第n个图案中有“◎”个，“★”个；
故答案为：；；
（2）解：依题意，，
解得：（舍去）或．
答：的值为．
20．【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【知识点】配方法的应用
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
【详解】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，
则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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