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25.3 实际问题与一元二次方程 一课一练2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
3．“书籍是人类进步的阶梯！”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，6月份进馆人次，进馆人次逐月增加，8月份进馆人次．设进馆人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的为（ ）
A． B． C． D．
4．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（ ）
A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元
5．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，P、Q分别是上的动点，若点P、Q同时从M、N两点出发分别沿方向向点C匀速运动，它们的速度都是，要使的面积为面积的一半，则需经过的时间为（ ）

A．2或 B． C． D．
9．阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人 设这群人共有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若平面上不重合的n个点最多可以确定45 条直线，则n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
11．某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加．
12．在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段________．
13．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________．
14．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位）
15．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高为，则可得到方程______．
三、解答题
16．【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空）
【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值．
17．乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副．
(1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由；
(2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见．
18．如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料．
(1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长．
(2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值．
19．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？
20．舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去．
(1)已知关于的方程：有增根，求：；
(2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C C B B B C C
1．【答案】A
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答．
【详解】解：∵最初有人患流感，
∴第一轮传染后，患病人数为，
∴第二轮传染后，患病人数为
∵两轮传染后该班级共有32人患流感，
∴可列方程为．
2．【答案】C
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
3．【答案】C
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用8月进馆人次＝6月进馆人次（1+进馆人次的月平均增长率），列一元二次方程即可．
【详解】解：进馆人次的月平均增长率为x，
则7月份人次为人，
8月份人次为人，即人，
根据8月份数据，列方程为：
．
故选：C．
4．【答案】C
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价．
【详解】解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．
∵每个利润为元，
∴总利润为．
整理得：，
解得或，
则售价为元或元．
故售价应定为60元或80元．
故选：C．
5．【答案】C
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程.
【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个，
∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次，
∴总比赛场次为，
已知计划安排10场比赛，因此列方程得：，
两边同乘2整理得.
6．【答案】B
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案．
【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个，
小分支的数量为个，
那么根据题意可列出方程为：．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可．
【详解】解：设正方形水池的边长为米，
水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半，
圆的半径．
绿植部分的面积为平方米，
圆面积正方形面积，
即．
8．【答案】B
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设经过的时间为，则，，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设经过的时间为，则，
∴，
依题意得，，
解得，，（不符合题意，舍去），
故选：B．
9．【答案】C
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S，
则①，
又∵②
∴由得，
∴，
又∵平均每人分得10个石榴，
∴总石榴数S也可表示为，
因此方程为，
故选：C．
10．【答案】C
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了解方程，熟练掌握解方程是解题的关键，根据两点确定一条直线，n个点与其余个点，连接可构成条，每两点连线重复一半，故构成不重复直线条数为条，建立方程解答即可．
【详解】根据题意，得，
解得（舍去），
故选C．
11．【答案】8
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据握手总次数的等量关系列出一元二次方程．
设本次聚会共有x人参加，利用握手总次数公式列出方程，求解并舍去不符合题意的解．
【详解】解：设本次聚会共有x人参加，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
本次聚会共有8人参加．
故答案为：
12．【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、成比例线段
【分析】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键．
设，则 ，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，并根据舍去不合题意的根，即可得解．
【详解】解：设，则 ，
由得，
即，
两边乘以得，
展开得，
整理得，
解方程得，
由于，即，而（不合题意），故取，
所以．
故答案为：
13．【答案】
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可．
【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，
这个两位数为，
又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数，
，
解得或（舍去），
．
故答案为： ．
14．【答案】
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
【详解】解：根据物体落回地面，可得，
解得：（舍去），，
因此物体经过落回地面，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、列分式方程
【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程，整理为整式方程即可．
【详解】设雕像下部高为，则可得到方程：，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
16．【答案】规律发现：38，；规律应用：14
【知识点】图形类规律探索、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程．
规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：每个式子的第一个数为；底个个数字为，第三个式数字为2，即第个图案中有“★”的个数为个．据此即可求解．
规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：规律发现：第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
；
第5个图案中有“★”的个数为（个）；,
第个图案中有“★”的个数为个．
规律应用：根据题意：，即，
，即，
（负值舍去）．
17．【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析
(2)采纳销售员乙的意见，理由见解析
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论；
（2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论．
【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，
依题意得，，
解得，
降价后每副的售价为（元），
进价为每副42元，，
平均每月的销售量能达到500副时会亏本，
小明的说法不正确；
（2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下：
设降低元，
∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副，
∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副，
由题意得，
解得或，
当时（甲的意见），销售量为副；
当时（乙的意见），销售量为副；
∵尽量减少库存，
∴采纳销售员乙的意见．
18．【答案】(1)的长为5米；
(2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论；
（2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为5米；
（2）解：设矩形面积为S平方米，
根据题意得，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，S有最大值32，
当时，，符合题意．
∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米．
19．【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可；
任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得：
，
解得，（舍去），
答：平均增长率为；
任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得，
解得，
∴当时，每个月可以获得利润12250元，
答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元．
20．【答案】(1)
(2)
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】（1）首先，解分式方程得，再由分式方程有增根，得，解得或，最后，再分别代入计算即可；
（2）设6、7月相同的增长率为x，再根据增长率公式：，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，整理，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
∵关于的方程：有增根，
∴，即或，解得或，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，k的值为；
（2）解：设6、7月相同的增长率为x，
根据题意，得，解得(不合题意，舍去)，
答：增长率为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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