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28.2 中心对称 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点与点关于（ ）
A．原点中心对称 B．y轴轴对称
C．x轴轴对称 D．以上都不对
2．若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（ ）
A．5 B． C． D．
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（ ）
A．点C B．点D
C．线段的中点 D．线段的中点
7．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ）
A． B． C． D．
8．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为______．
12．点和点关于原点对称，则______．
13．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________．
14．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________）
15．有四张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、菱形，从这四张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______．
三、解答题
16．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图：
(1)在网格中画出关于O点的中心对称图形；
(2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的．
17．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：．
18．如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．连接BC′，B'C．
（1）判定四边形B'CBC′的形状，并说明理由；
（2）求出四边形B'CBC'的面积．
19．已知点，解答下列问题：
(1)若点与关于原点对称，求点的值；
(2)若点，且直线平行于轴，求点的坐标．
20．在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点．
(2)探究迁移
如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断的度数，并说明理由；
②若，求两点间的距离．
(3)拓展应用
在（2）的条件下，若，请直接写出的长．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D C D A A A B
1．【答案】A
【知识点】判断两个点是否关于原点对称
【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断．
【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数，
∴与点关于原点中心对称，
故选：A
【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键．
2．【答案】D
【知识点】成中心对称
【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵两个图形成中心对称，
∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；
③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确．
综上所述：正确共4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】B
【知识点】成中心对称、坐标系中的对称
【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解．
利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标．
【详解】设点B坐标为，
点与点B关于点成中心对称，
，，
解得，
．
故选B．
4．【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
6．【答案】D
【知识点】判断中心对称图形的对称中心
【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【详解】∵矩形与矩形关于某点对称，
∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C,
∴对称中心为线段的中点．
故选D．
7．【答案】A
【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形．
故选：A ．
8．【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【详解】解：由题意得，如图，建立直角坐标系，
则点C的坐标为．
故选：A．
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解．
【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是，
∴，
解得，
∴点A的坐标为，
点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标为．
故选：A．
10．【答案】B
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，，，，
而不一定成立，
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
11．【答案】
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，
∵直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，
∴，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和长方形的面积．
故答案为：24．
12．【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数
【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，两点关于原点对称时横纵坐标分别互为相反数，求出和的值，再计算．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴．
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax +bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式．
【详解】解： ，
抛物线的顶点为，
点关于原点的对称点为，
抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为，
故答案为：．
14．【答案】 /
【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、中心对称图形规律问题
【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【详解】解：如图，作轴于点C，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴，
∴的坐标为，的坐标为，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
…，
∵，，，，…，
∴的横坐标是，的横坐标是，
∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是，
∴顶点的纵坐标是，
∴顶点的坐标是．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．
15．【答案】
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率
【分析】找出这4个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数，然后利用概率公式进行计算即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、正方形、平行四边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形是菱形和正方形，
∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式，轴对称图形指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形、中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．【答案】(1)
如图所示，即为所求，
(2)
如图所示，即为所求．
【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了中心对称，旋转作图，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键．
（1）连接，并延长使，连接，并延长使，连接，并延长使，得出点的位置，然后顺次连接即可；
（2）先根据旋转的性质得出点的位置，然后顺次连接即可．
【详解】（1）略
（2）略
17．【答案】
证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明．
【详解】略
18．【答案】（1）四边形B′CBC′是菱形，理由见解析；（2）16．
【知识点】利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】（1）根据△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称可得BB′与CC′互相垂直平分，进而可以判断四边形B′CBC′是菱形；
（2）根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出四边形B'CBC'的面积．
【详解】解：（1）四边形B′CBC′是菱形，理由如下：
∵△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，
∴AB′＝AB，AC ′＝AC，
∵∠BAC＝90°，
∴BB′与CC′互相垂直平分，
∴四边形B′CBC′是菱形；
（2）∵AB＝2，AC＝4，四边形B′CBC′是菱形
∴BB′＝4，CC′＝8，
∴菱形B'CBC'的面积为：×4×8＝16．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，中心对称的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．【答案】(1)
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征；
（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可；
（2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可．
【详解】（1）∵点与关于原点对称，
∴，
解得；
（2）∵点，且直线平行于轴，
∴点纵坐标为9，
∴，解得，
∴．
20．【答案】(1)
(2)
①90°
连接
由对称性可得：，
∴；
②
(3)或
【知识点】判断一次函数的图象、判断三边能否构成直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查勾股定理以及逆定理，一次函数图象，轴对称的性质，中心对称的性质
（1）根据轴对称和中心对称的性质以及勾股定理以及逆定理求解即可；
（2）①连接，可得，进而即可求解；②先推出，再根据勾股定理求解即可；
（3）分当点P在正方形外部时，当点P在正方形内部时，结合勾股定理求解即可
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为，
∵，共线，
∴点可以看作是点关于点的对称点，
故答案为：；
（2）①略
②由（1）可知：共线，
∴
∵，
∴；
（3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，，
∴，
∴，
∴；
②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或
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