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26.1 二次函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的一次项系数是（　　）
A．3 B．2 C． D．0
3．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
5．已知是二次函数，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
6．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（ ）
A．当一定时，与满足一次函数关系
B．当一定时，与满足二次函数关系
C．当一定时，与不满足函数关系
D．当一定时，与满足二次函数关系
二、填空题
8．已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是______．
9．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______．
10．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数．
11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________．
三、解答题
12．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
13．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为
(1)分别写出与、与之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？
14．如图所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．
(1)设的面积为，求与之间的关系式；
(2)当为何值时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
(3)分别求出当为何值时，①；②．
15．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C C B D B
1．【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数的标准形式为（a、b、c是常数，），据此判断各选项．
【详解】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：
A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数符合二次函数的定义，故本选项正确，符合题意；
D、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，理解二次函数的概念是解题的关键；根据二次函数的定义即可求解．
【详解】因为二次函数的一次项系数是．
故选：C．
3．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键．
根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可．
【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是，
∴增加后的边长是，面积是，
∴增加的面积，
故选：C．
4．【答案】C
【知识点】列一次函数解析式并求值、列二次函数关系式
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
，属于正比例函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数．根据二次函数的定义，函数表达式应为 （其中 ），故需满足指数为2且系数不为0．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ 指数部分，且系数 ．
解得，
∴．
当时，成立．
∴ 的值为 ．
故选：B．
6．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可．
【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克，
由题意得，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
7．【答案】B
【知识点】识别一次函数、二次函数的识别
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键．
根据一次函数，二次函数的定义，即可判断．
【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数）
①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意；
②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．.
故选：B．
8．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据函数的增减性写出答案即可．
【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴这个函数的解析式可以是，
故答案为：
9．【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数、二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答．
根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故答案为： ．
10．【答案】 二次
【知识点】图形类规律探索、二次函数的识别
【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键．
先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可．
【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数．
故答案为：，二次．
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，
线段的垂直平分线为，
，
点的坐标是，
，，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
12．【答案】
（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0；
（2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是；
（3）不是二次函数；
（4），是二次函数，二次项系数是5、一次项系数是，常数项是3；
（5）是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是，常数项是4；
（6）不是二次函数．
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答关键．
根据二次函数的这定义，二次函数与一元二次方程的关系来进行判定求解．
【详解】略
13．【答案】(1)，
(2)是关于的二次函数
【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别
【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键．
（1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可；
（2）利用二次函数的定义得出答案．
【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为
，；
（2）解：依题意，是关于的二次函数．
14．【答案】(1)
(2)当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形
(3)①当或时，；②当时，
【知识点】列二次函数关系式、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理；
（1）根据题意设，得出，过点作于，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当四边形是平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可求解；
（3）①分当点与点重合时与不重合时两种情况讨论，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
②根据勾股定理表示出，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）在直角梯形中，，
设，则，
过点作于，
则四边形是矩形，，
∴
故答案为：．
（2）I：当四边形是平行四边形时，，
∴解得：，
∴当时，四边形是平行四边形．
II：当四边形为平行四边形时，．
∴，
∴
综上所述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）∵，
①I：当点与点重合时，，此时，．
II：当点与点不重合时，
当时，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴当或时，．
②当时，
∴解得：
∴当时，
15．【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【知识点】列二次函数关系式、图形类规律探索
【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数；
（2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可；
（3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系．
【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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