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26.2 二次函数的图象和性质 一课一练2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
3．关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是
C．当时，随的增大而减小 D．顶点是
4．把二次函数化为顶点式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
8．在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（ ）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
10．对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，随的增大而增大，⑤（为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）．
12．若，则的最大值为______．
13．写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）．
14．若二次函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是_____．
15．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是_________．
三、解答题
16．已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．
17．在同一坐标系中．用描点法画出下列函数的图象．
①；
②．
18．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
19．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
20．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 …
… 8 5 4 5 …
(1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________；
②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点；
(2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”．
①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”；
②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D C A B C D B
1．【答案】D
【知识点】y=ax 的图象和性质
【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；当时，；当时，；
故只有D选项的点在抛物线上，符合题意；
故选D．
2．【答案】D
【知识点】y=a（x-h） 的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：D．
3．【答案】D
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式 解析式的性质，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标．
【详解】解：二次函数为，
，开口向上，
故A选项正确；
二次函数为，
对称轴为 ，
故B选项正确；
二次函数为，
，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
故C选项正确；
二次函数为的顶点坐标是，
故D选项错误．
故选：D．
4．【答案】D
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】根据式子的特点，利用完全平方公式变形即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了化二次函数一般式为顶点式，正确应用完全平方公式是解题关键．
5．【答案】C
【知识点】y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
点关于抛物线的对称轴的对称点为
∵
∴．
故选：C．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移
【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为．
原抛物线解析式为，向左平移个单位，
∴将原解析式中的替换为，
得到新抛物线解析式为．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故选项A不正确；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，故选项B正确，选项C不正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，故选项D不正确．
故选：B．
8．【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误，不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和 时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程从而可以得到该方程的解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】由表格可知，和时对应的函数值都是，
∴二次函数的对称轴是直线，
∴当 和时，，
又当时，，即，
∵当时，，即整理，得，
则方程的解是，，
故选：．
10．【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①；根据，可判断②；根据对称性求得时的函数值小于，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
【详解】解：①由图像可知：，，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故结论①错误；
②∵，，，
∴，
∴，故结论②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
又∵当时，，
∴当时，，故结论③错误；
④当时，随的增大而减小，故结论④错误；
⑤当时，取得最小值，此时最小值为，
而当时，，
∴，
∴，即，故结论⑤正确；
∴结论正确的个数为．
故选：B．
11．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】y=ax 的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线与相比开口小，
∴，
∴可取，
故答案为：4（答案不唯一）．
12．【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由，得，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴当 时，的最大值为，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式．
【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
14．【答案】
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的增减性，由题意得：函数的对称轴为直线；且图像开口向上；推出当时，随增大而减小，即可求解．
【详解】解：由题意得：函数的对称轴为直线；且图像开口向上；
∴当时，随增大而减小；
∵当时，随增大而减小，
∴；
故答案为：
15．【答案】
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．设，，求出，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意，设，，
则，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
16．【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线
(2)最大值为8，最小值为
【知识点】y=ax +bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；
（1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可；
（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：二次函数经过和，
，
解得，
二次函数的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
二次函数的对称轴为直线在内，
当时，有最小值；
直线距直线最远，
当时，有最大值．
17．【答案】
图象如下：
【知识点】用描点法画函数图象、画y=ax +bx+c的图象
【分析】本题考查描点法画二次函数图像．采用列表、描点、连线的步骤逐个进行作图即可．
【详解】解：由题意得，列表如下：
18．【答案】a＝2，b＝﹣4，c＝2
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值．
【详解】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝2．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
19．【答案】(1)
(2)顶点为，对称轴为直线
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） 的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式．
（1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案；
（2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：抛物线过、，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴顶点为，对称轴为直线．
20．【答案】(1)①上，；
②补全表格如下：
… 0 1 …
… 8 5 4 5 8 …
画出函数图像如下：
(2)①画图像如解图所示；
②．
【知识点】两个二次函数图象综合判断、y=a（x-h） +k的图象和性质、根据一元二次方程根的情况求参数、画y=ax +bx+c的图象
【分析】（1）①根据表格中数据求解即可；
②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可；
（2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可；
②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为；
②∵抛物线对称轴为，
∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称，
∴当时，，
补全表格与画图见答案；
（2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线为，
将代入中，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，
画图见答案；
②当直线与抛物线没有交点时，
联立直线与抛物线的解析式，，得，
∴，解得，
当直线与“共轭抛物线”没有交点时，
联立直线与抛物线的解析式得，
∴，解得，
∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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