资源简介

26.3 二次函数与一元二次方程 一课一练2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象与轴的交点是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示：
x
y 0.25 0.56 0.89
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．对于抛物线，下列结论正确的是(　　)
A．顶点坐标是 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y随x增大而增大
8．点均在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数y=x2-2x-3，当-2＜x＜2时，函数值的取值范围是_________
12．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________．
13．当函数与轴只有一个交点时，它与轴交点坐标是______．
14．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为______．
15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
三、解答题
16．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，求的面积．
17．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求a和b；
(2)抛物线与轴交于点，将直线向下平移个单位长度，当直线恰与抛物线有一个交点时，求．
19．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 0 m …
(1)m的值为________；
(2)点、在函数图象上，________（填、、）；
(3)当时，x的取值范围是________；
(4)关于x的一元二次方程的解为________；
(5)根据表格画出此函数图象；
(6)横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________．
20．已知函数，请按要求填空或解答问题：
(1)函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____．
(2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；

(3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C D D B C B
1．【答案】B
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值．
【详解】解：当时，，
∴ 交点坐标为．
故选：B．
2．【答案】D
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，解得或，
∴二次函数的图象与轴的交点是和，
故选：D．
3．【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是根据二次函数图像读出信息．
根据二次函数的图像开口方向可判断A选项，根据二次函数的对称轴与顶点坐标的纵坐标可判断B选项与C选项，根据抛物线与轴的一个交点在与之间，
可判断D选项．
【详解】解：由函数图像可知，函数图像开口向下，即，A选项错误；
由函数图像可知，该函数的对称轴为，
∴，即，即，B选项正确；
由函数图像可知，该函数顶点纵坐标为正数，
即，由，
可得，即，C选项错误；
由函数图像可知，抛物线与轴的一个交点在与之间，
∴，D选项错误．
故选：B ．
4．【答案】D
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查考查一元二次方程的根的情况与二次函数的图象与x轴交点的个数之间的关系．根据题意得到的最大值是8，进而求解即可．
【详解】解：∵的图象顶点纵坐标为8，
∴的最大值是8
∴
∴关于x的方程没有实数根．
故选：D．
5．【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答．
【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线，
由表格数据可得：
当时，；当时，；
∴的较小的根的范围为，
则，
∴的较大的根的范围是．
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．
当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量x的取值范围．
【详解】解：一次函数与二次函数交于和两点，
∴当时，或．
故选：D．
7．【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】根据二次函数的性质对A、B、D进行判断；通过计算自变量为0时的函数值可对C进行判断．
【详解】解：，
∵，
∴开口向下，顶点坐标是，当时，y随x增大而增大，
当时，，则与y轴的交点坐标是，
综上，选项A、B、C都不正确，不符合题意；D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．【答案】B
【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】本题主要考查了求二次函数的值，
分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，．
∴
故选：B．
9．【答案】C
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求x轴与抛物线的截线长
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
故，
故选：C．
10．【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、y=ax +bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可．
【详解】解：当时，则，
当时，恒成立；
当时，则，
即，不是任意实数x都成立；
当时，设，函数开口方向向上，
不等式不是对任意实数都成立，
当时，则，
即（无解）或，
解得：，
设，函数开口方向向下，
不等式，
只要，即，
，即或（无解），
解得：，
a的取值为；
综上，a的取值为，
故选：B．
11．【答案】
【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x＝ 2，x＝2时y的值，就可得到y的取值范围．
【详解】解：二次函数，
可知：抛物线开口向上，顶点为（1，-4）
∴函数有最小值y＝ 4，
∵当时，，当时，，
∴当-2＜x＜2时，y的取值范围是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x h）2＋k，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．
12．【答案】1
【知识点】求x轴与抛物线的截线长
【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题
【分析】根据函数与轴只有一个交点得到，求出k的值，代入解析式即可得到答案．
【详解】当函数与轴只有一个交点时，，
，
解得，
，
令得，
它与轴交点坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标，正确掌握根的判别式与二次函数图象与x轴交点的关系是解题的关键．
14．【答案】
【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、求不等式组的解集
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解；
【详解】解：令，
则抛物线与轴的两个交点坐标为，
∵，
画出大致图象如下：
可得：当时，；
当时，；
当时，；
由①②③解得：
故答案为：
15．【答案】
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为，
故答案为：．
16．【答案】
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、坐标与图形
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，先求出A，B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：当时，，
∴，
∴．
当时，，
解得，
∴，
∴．
∴的面积．
17．【答案】(1)
(2)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
得
解得，
所以此函数的解析式为
（2）解：把代入
得，
解得 或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
18．【答案】(1)，
(2)
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、根据一元二次方程根的情况求参数、一次函数图象平移问题
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）利用抛物线的解析式求得点的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式，进一步求得平移后的直线解析式，根据题意得到，即，则，即可得出，解得．
【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴为直线，
，
解得，；
（2）在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
将直线向下平移个单位长度得到，
直线恰与抛物线有一个交点时，
令，即，则△，
，
解得．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换．
19．【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)，
(5)
函数图象如图，
(6)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，运用数形结合思想；
（1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出m的值即可；
（2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可；
（3）利用图象法，求自变量的取值范围即可；
（4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解；
（5）描点，连线画图即可；
（6）先找到符合题意的四个整点，再数形结合即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和关于对称轴对称，
；
故答案为：5．
（2）解：由表格可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
；
故答案为：．
（3）解：由表格可知：当时，或，
∴当时，x的取值范围是；
故答案为：．
（4）解：由表格可知，当时，或，
∴一元二次方程的解为， ．
故答案为：， ．
（5）略
（6）解：如图，
由图象可知，4个整点为A，B，C，D，
．
故答案为：．
20．【答案】(1)，
(2)见解析；当时，函数值；
(3)
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax +bx+c的图象
【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值．
（1）直接根据二次函数的性质求解即可；
（2）用五点法画图，再根据图象作答即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
故答案为：，；
（2）解：
x 0 1
y 0 0
如图，

由图象可知，当时，函数值；
（3）解：方程的近似解即为与的交点横坐标，由图象可知，．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑