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26.4 实际问题与二次函数 一课一练2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形（）花园，这个花园的最大面积是（ ）

A． B． C． D．以上都不对
2．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离长为（　　）
A．米 B．16米 C．米 D．米
3．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A．2m B．3m C．8m D．m
5．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是；
②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来；
③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是_________．
12．把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）．
13．从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为______．
14．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域）
15．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米．
三、解答题
16．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)填空： ， （用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？
17．如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？
18．体育课上，小华发现足球训练中，自己踢球射向球门的路线呈抛物线型，它的高度与时间的关系可以用公式表示．
(1)在什么范围内，足球的高度逐渐增大？在什么范围内，足球的高度逐渐减小？
(2)经过多少时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？
19．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
20．近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)．
(1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式；
(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式；
(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D A D C C D
1．【答案】B
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查配方法求一元二次方程的最值，掌握一元二次方程与实际问题的综合，理解图形面积的计算，配方法求最值的方法是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，且，
∴设，则，
∴这个花园的面积，
∴当时，花园的最大面积是，
故选：．
2．【答案】A
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E，F两点，可知E，F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E，F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长．
【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯”，可知E，F两点纵坐标为8，
把代入得：，
解得，
∴由两点间距离公式得：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键．
3．【答案】C
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得．
【详解】解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，
根据题意，得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程．
4．【答案】D
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可；
【详解】解：令，则，
解得：（舍），
∴他推出铅球的距离为m；
故选：D
5．【答案】D
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键．
【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：，
故选：．
6．【答案】A
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；由题意可得，然后依此判断①②③即可．
【详解】解：∵，，开口向下，
∴当时，飞机着陆后滑行的最大距离为，
∴飞机着陆后滑行时间t的取值范围是，故①错误；
飞机着陆后滑行才能完全停下来，故②错误；
飞机前10秒滑行的距离为，
∴飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10秒滑行了；故③错误；
综上所述：正确结论的个数有0个；
故选A．
7．【答案】D
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽列出函数关系式．此题主要考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．
【详解】解：长方形的周长为，其中一边为，
∴，
长方形的另一边长为，
故选：D．
8．【答案】C
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求面积、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离a时，如图2， ，根据函数关系式即可得到结论．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF=AC，DE=BC，
∴EF=ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，如图1，当移动的距离当移动的距离>a 时，如图2， ，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
9．【答案】C
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
解得，（不合，舍去），
∴点，
∴，
∴，
故选：．
10．【答案】D
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．
依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴．
∴抛物线为．
又∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴抛物线为．
∵点B在第一象限，到y轴的距离为，
∴B的横坐标为．
∴令，则，
即点B到x轴的距离为．
故选：D．
11．【答案】
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件，依据销售利润与单件商品利润和数量的关系，即可列出函数关系式．
【详解】解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用等量关系是解题关键．
12．【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可．
【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为，
则面积，x 需满足 ．
故答案为：．
13．【答案】或
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可．
【详解】解：将，代入，得：，
解得：，．
故答案为：或．
14．【答案】
【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
15．【答案】6
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值．
【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中，
设，，则，
D点坐标为，
将代入，
得，
解得或（舍），
，
故答案为：6．
16．【答案】(1)，
(2)；
(3)的最大面积是．
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键．
（1）根据题意表示出、的长即可；
（2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，，
∴，
即；
（3）解：由（2）知，，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
而，
∴当时，，
即的最大面积是．
17．【答案】(1)
(2)水面宽度为米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题．
（1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求出时，x的坐标，进而可求解．
【详解】（1）解：∵米，米，
∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：，
设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到，
解得：，
故所求的抛物线的解析式为，即；
（2）解：∵水面下降1米，
∴当时，，
解得，
∴此时水面的宽度为：米．
18．【答案】(1)当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小
(2)经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是．
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质：
（1）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可；
（2）根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解： 中，，，
．
抛物线的对称轴为直线．
∵，
当时，足球的高度逐渐增大，当时，足球的高度逐渐减小．
（2）解： 中，，，
．
经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是．
19．【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长．
【详解】解：当时，，
解得，，
∵，
∴，即．
答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
20．【答案】(1)
(2)
(3)当时，取得最大值为万．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用；
(1)从 (万元)与投资量 (万元)的函数关系图可知，当时与的关系式为二次函数图像的一部分，当时，，故应分两种情况；
(2)由题意可知 及共投资万元，列出关于、的函数关系式；
(3)由(2)中、的关系式求出的最大值即可．
【详解】（1）解：由函数图像可知，当 时，与的关系式图像为 抛物线的一部分，
设此抛物线的解析式为：
把代入解析式为： 解得．
则
当时， ；
所以
（2）因为投入种植花卉万元，则投入种植树木万元．
当 时， ，
则 ；
当时，
则．
所以、的函数关系式为：；
（3）
根据二次函数的性质，
当 万元时，W取得最大值，
万．
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