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30.1 直线与圆 同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．如图，是的内切圆，分别切于点D，E，F．若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
5．如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，P是外一点，是的切线，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；③相等的圆心角所对的弧相等；④若直线和圆有公共点，则直线与圆相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（ ）
A．9 B．10 C． D．12
9．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
10．在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________
12．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________．
13．在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是_________．
14．一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为______．
15．二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为_______．
三、解答题
16．弗朗索瓦 韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知是的直径，点P是延长线上的一点．
①作线段的垂直平分线交于点Q；②以点Q为圆心，长为半径作圆，交圆O于点E，F；③连接和．
(2)试说明是圆O切线的理由．
17．如图，已知内接于，为直径，延长至D，过D作切线，切点为E，且，连接．，，求的半径．
18．如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）．
(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？
(2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米．
19．在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”．
(1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ；
(2)已知点P为的“图象关联点”，且，
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出抛物线的顶点坐标．
(3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围．
20．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求阴影部分的面积．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A C D A B A C
1．【答案】A
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交．
【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即，
∴与直线的位置关系是相离．
故选：A．
2．【答案】C
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆的性质,再结合三角形周长求出AE的长度.
根据是的内切圆，得到切线长相等，再根据三角形的周长，以及BC的长度，求出AE的长度.
【详解】是的内切圆，
，
．
的周长为，
，
，
的长为
故选：C.
3．【答案】C
【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
【详解】解：∵直线l与相交，
∴点O到直线l的距离，
又∵，
∴．
故选：C．
4．【答案】A
【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：∵直线与半径为的⊙O相交，
∴圆心到直线的距离d∴满足条件的只有A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，dr．
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．根据切线的性质，可以先得出为直角；再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，从而得到的度数．
【详解】解：∵是的切线，是的直径，
，
，
，
，
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出．
【详解】解：如图，连接，
与相切于点A，
，
，，
∴在中，
，
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可．
【详解】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切，所以④错误．
综上，正确的有②，共一个．
故选：A．
8．【答案】B
【知识点】利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用
【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案．
【详解】解：连接，延长交于点M，
与相切，
，
在矩形中，，
，
，
矩形绕点旋转所得矩形为，
，，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识．
9．【答案】A
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，
是的内切圆，切点分别为，，，
，，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，设，则，
在中
，
解得：，
，，
．
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解．
【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图：
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图：
∵，，
∴与y轴有两个交点M、N
此时，
∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N，
故选：C．
11．【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、切线的性质定理
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可．
【详解】解：∵的半径为1，当与轴相切时，
∴点P到x轴的距离为1
∴点的纵坐标为1或，
当时，
解得；
当时，
解得；
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
12．【答案】②③④①
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可．
【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理，设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接，可由勾股定理得到的长，利用等面积法可得的长，再求出恰好与直线相切时的长的最小值即可得到答案．
【详解】解：设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当点E为点D重合，且O、C、D三点共线时，有最小值，最小值为，
∴当与直线相离，的取值范围是，
故答案为：．
14．【答案】或或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、切线的应用
【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解．
【详解】解：如图所示：
则可分两种情况：
①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令，
解得，，
此时点P的坐标为：或，
②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：或，
综上所述：点P的坐标为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
15．【答案】
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
对于抛物线，令，，
解得，
，
令，，则，
，
点，
，
，即点到的距离为，
，
点到的最小距离为，
的面积的最小值，
故答案为：．
16．【答案】(1)
作图如下：
(2)
证明：连接，
∵以Q为圆心，为半径作圆，交圆O于点E、F，
∴，
∵是的中垂线，
∴，点O在圆Q上，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，垂直，
∴是圆O的切线．
【知识点】三角形内角和定理的证明、作垂线(尺规作图)、等边对等角、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了基本作图---垂线，以及圆的切线的判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）按要求作图即可；
（2）根据是的中垂线，得到，点O在圆Q上， ，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
17．【答案】半径
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、切线的性质定理
【分析】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．
【详解】解：连接，作于H，
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
∴半径．
18．【答案】(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米；
(2)的长度应大于米．
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了勾股定理、圆的切线、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会构造相似三角形求线段长度是解题的关键．
（1）连接，利用勾股定理求解即可；
（2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据勾股定理和等腰三角形的性质求得米，结合吊篮一定不会碰到点C，得出米，再利用可得，设设米，根据比例关系即可求出．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
由题意可知，米，米，
则由勾股定理可得：米．
答：西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米．
（2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，
米，
是等腰三角形，
，米，
米，
米；
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交于点W，
由题意得，，
，
切点为J，
，
，
，
，
，即，
米，
米，
米，
，，
，
，
设米，则米，
米，
又米，
，
解得，
由题意得，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C ，则米．
答：的长度应大于米．
19．【答案】(1)H
(2)
①与的位置关系是：相切.
∵为的直径，
∴为的中点.
∵，
.
∴.
连接，
∵P为的“图象关联点”，
∴点P为抛物线的顶点.
∴ 点P在抛物线的对称轴上.
∴是的垂直平分线.
∴
过点M作于N.
∵
∴
∴与相切
②抛物线的顶点坐标是或
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．
（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；
（2）连接，过点M作于N，证明即可得到结论，由题意可得，，求出，即可得到顶点坐标；
（3）求出点Р纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点且顶点为P，
则顶点P的横坐标为，
∵在点E，F，G，H中，的横坐标为，
∴在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是H；
故答案为：H；
（2）①略
②当抛物线开口向上时，
∵与相切
∴，
∵，，
∴，
∴
即点P的坐标为，
同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为或；
（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知的半径为1.5，
已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形内时，
顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
∴a的取值范围．
20．【答案】(1)证明：连接，
是直径，点在上，
是的中点，
，
在和中，，
，
，
，
是的半径，
与相切．
(2)
【知识点】切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证；
（2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解．
【详解】（1）略
（2）解： 是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
阴影部分的面积为 ．
答案第1页，共2页
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