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26.3 二次函数与一元二次方程 课前预习2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．抛物线与轴的左侧交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．3 B． C．3 D．
5．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B．
C． D．
6．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
7．对抛物线而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是 C．与轴的交点坐标是 D．与轴有两个交点
8．二次函数的函数值是，那么对应的值是（ ）．
A． B． C．和 D． 和
9．老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________．
12．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________．
13．已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为，______（请用含的代数式表示）．
14．如图，一段抛物线与x轴交于点O，；将向右平移得到第2段抛物线，交x轴于点，；再将向右平移得到第3段抛物线，交x轴于点，；又将向右平移得到第4段抛物线，交x轴于点，；若点在上，则m的值为______．
15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
三、解答题
16．如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C．
(1)求m的值及点B的坐标；
(2)求的面积；
17．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上．
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
18．已知抛物线．
(1)用配方法将化成的形式．
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图．
(3)当x取何值时，，，？
19．在平面直角坐标系内，二次函数图象的对称轴为直线，且过点，已知函数最小值为．
(1)求二次函数解析式；
(2)求二次函数图象在直线下方时的取值范围．
20．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 0 m …
(1)m的值为________；
(2)点、在函数图象上，________（填、、）；
(3)当时，x的取值范围是________；
(4)关于x的一元二次方程的解为________；
(5)根据表格画出此函数图象；
(6)横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D D C B C A B
1．【答案】A
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与y轴交点，横坐标为0．
将代入抛物线，求得即可．
【详解】解：将代入抛物线得，，
即与y轴交点的坐标是，
故选：A．
2．【答案】D
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，在中，令，则，解得：，，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，令，则，
解得：，，
抛物线与轴的左侧交点坐标是，
故选：D．
3．【答案】D
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，即可求解．
【详解】解：观察图象得，：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧，
∴，故A，B，C选项错误，不符合题意；
∴，
∴，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
4．【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵抛物线的对称轴，
∴，
即，
∴，
∴抛物线为，
方程可化为，
即函数与在内有两个交点，
当时，，
当时，，
当时，，
∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，
∴需满足，
即，
故选：D．
5．【答案】D
【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解．
【详解】解：令（，a，b，c为常数），
当时，，
当时，，
时，二次函数的函数值范围为，
即方程的一个解x的范围是，
故选：D．
6．【答案】C
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据函数图象，当或时，，
所以若，则x的取值范围为或．
故选：C．
7．【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴开口向下，顶点坐标是，
当时，，则与y轴的交点坐标是，
∵，
∴抛物线与轴没有交点，
综上，只有B选项正确，符合题意．
故选：B．
8．【答案】C
【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可．
【详解】把代入，
得 ，
整理得，，
解得，，
∴对应的自变量的值是或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键．
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求x轴与抛物线的截线长、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于，
∴对称轴为：，甲正确；
∵当时，，抛物线过点，
∴对称轴为：，乙正确；
∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴对称轴为：，丙正确；
∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上，
∴抛物线与轴的另一个交点为：或，
∴对称轴为：或，丁错误；
综上：甲、乙、丙个人回答正确．
故选：A ．
10．【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围．
【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点，
由对称性，抛物线过点，
，
抛物线开口向下，
当时，的取值范围是，
故选：B．
11．【答案】
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征．
求二次函数图像与y轴的交点坐标，需令，计算对应的y值即可．
【详解】解：时，，
∴二次函数的图像与y轴的交点坐标是，
故答案为：．
12．【答案】1
【知识点】求x轴与抛物线的截线长
【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴所在范围、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可．
【详解】解：二次函数的图象经过点两点，
图象开口向下，对称轴为直线，即，
，
，
当时，函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，
，，
，
故答案为：．
14．【答案】3
【知识点】二次函数图象的平移、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】根据平移得出、的坐标，由、的坐标，得出抛物线的关系式，把点P(15，m)代入抛物线关系式，得出m的值即可．
【详解】解：把代入y= x(x 4)得：，
解得：，，
点的坐标为（4，0）
∴，
∴根据平移可知：，
，
∴、的坐标为：（12，0），（16，0），
的函数关系式为：，
把代入得：
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．
15．【答案】
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为，
故答案为：．
16．【答案】(1)，
(2)
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，三角形面积公式；
（1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出的值，然后求抛物线与轴的交点坐标，通过解一元二次方程，就可以求出另一个交点坐标；
（2）由（1）中的函数解析式求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据点、的坐标求得线段的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
解得：，
该二次函数的解析式为，
当时，，
即：，
分解因式，得：，
解得：，，
点的坐标为；
（2）解：由（1）可知：，
当时，，
点的坐标为，
，
又，，
，
，
即：的面积是．
17．【答案】(1)，在
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可．
（1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上；
（2）求解方程即可；
【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：，
所以抛物线的函数表达式为：，
将点 代入抛物线中得：，
∴点在该抛物线上；
（2）解：将点代入抛物线中得：
，
解得：.
18．【答案】(1)
(2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示
(3)当或
当或
当
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、根据交点确定不等式的解集、图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax +bx+c的图象
【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可；
对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线；
对于（3），观察图象判断即可．
【详解】（1）；
（2）由（1）可知二次函数的顶点式为，
∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是．
抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示．
（3）观察图像可知当，或时，；
当或时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键．
19．【答案】(1)；
(2)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）联立求得二次函数图象与直线交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，∴设二次函数解析式为，∵二次函数的图象过点，∴，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：联立，整理得，
解得或，

∴二次函数图象在直线下方时的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
20．【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)，
(5)
函数图象如图，
(6)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，运用数形结合思想；
（1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出m的值即可；
（2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可；
（3）利用图象法，求自变量的取值范围即可；
（4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解；
（5）描点，连线画图即可；
（6）先找到符合题意的四个整点，再数形结合即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和关于对称轴对称，
；
故答案为：5．
（2）解：由表格可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
；
故答案为：．
（3）解：由表格可知：当时，或，
∴当时，x的取值范围是；
故答案为：．
（4）解：由表格可知，当时，或，
∴一元二次方程的解为， ．
故答案为：， ．
（5）略
（6）解：如图，
由图象可知，4个整点为A，B，C，D，
．
故答案为：．
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