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26.4 实际问题与二次函数 课前预习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　）
A． B． C． D．
5．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
6．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（ ）
A．y=x +m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x）
7．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（ ）
A． B． C． D．
8．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是___________（中间横框所占的面积忽略不计）
12．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______．
13．某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______．
14．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大．
15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m
三、解答题
16．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围；
(2)几秒时的面积等于？
17．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行）
18．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求该运动员推铅球的成绩．
19．如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中 是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）．
20．某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价（元） … …
周销量（盒） … …
(1)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
(2)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D D C D C B D
1．【答案】A
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【详解】解：设矩形的宽为，面积为，
根据题意得：，
∴时，菜园面积最大，最大面积是．
故选：A．
2．【答案】A
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．
结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案．
【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：
∴设抛物线解析式为：，
∵观察图形可知抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴当水位上涨时，即当时，有，
∴，，
∴水面的宽度为：．
故选：A．
3．【答案】C
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系．
先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式．
【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元，
商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元，
原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件，
利润每件利润销售量，代入得：
故选：C．
4．【答案】D
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键．
根据球门高为米，可得当时，，即可得解．
【详解】球门高为米，
当时，，
，
可能是．
故选．
5．【答案】D
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．【答案】C
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x）
【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则,
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键．
7．【答案】D
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意得出行驶路程是解题关键．根据题意分别得出第秒和第时行驶的总路程进而得到答案．
【详解】解：由题意可得，当时，飞机停下，
此时，．
当时，．
故飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是．
故选：D．
8．【答案】C
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解．
【详解】解：∵正方体有6个表面，
∴y=6x2，
∴y与x关系式为y=6x2，
故选：C
【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键．
9．【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝ 2x 4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4 4x）＝32 8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
10．【答案】D
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．
依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴．
∴抛物线为．
又∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴抛物线为．
∵点B在第一象限，到y轴的距离为，
∴B的横坐标为．
∴令，则，
即点B到x轴的距离为．
故选：D．
11．【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】设窗户竖着的边长长为米，面积为，进而得出横着的边长为米，再运用矩形的面积公式可得，再运用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设窗户竖着的边长长为米，横着的边长为米，
当时，取得最大值，为6
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的运用，列出函数关系式是解题的关键．
12．【答案】45
【知识点】y=ax +bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值．
已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值．
【详解】对于二次函数，先对其进行配方：
因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内，
所以小球运动中的最大高度是45m．
故答案为：45．
13．【答案】
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方．
【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元，
故．
故答案为：．
14．【答案】52
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．
设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，
根据题意得，
抛物线的对称轴为：．
，，
当时，有最大值．
故答案为：52．
15．【答案】
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过，代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
，
∴水面宽度为米．
16．【答案】(1)
(2)3秒
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质．
（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把代入（1）的函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，；．
∴，
，
∴S关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
整理得，即，
解得或（舍去），
答：3秒时，的面积等于．
17．【答案】(1)
(2)6米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：当时，，
解得，，
∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞．
18．【答案】(1)
(2)
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键．
（1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式，
（2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩．
【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为，
可设该抛物线对应的函数表达式为，
将代入，得：
，
解得：．
∴函数表达式为；
（2）解：当时，即，
解得，（舍去）．
答：该运动员推铅球的成绩为．
19．【答案】(1)
(2)水柱落地处与池中心的水平距离为米
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质．
（1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可；
（2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可．
【详解】（1）设抛物线的解析式为：，
∵顶点坐标为：，
∴，
∵点，
∴，
解得：，
∴函数的解析式为：．
（2）由（1）得，函数解析式为：，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴，
答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米．
20．【答案】(1)当销售单价定为元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元
(2)元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用．
(1)设关于的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数的解析式；设销售利润为元，根据利润销量单件利润，可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可以求出最大利润；
(2)根据，求出每周利润的取值范围，即可得到每周至少可获得的利润．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
当时，，
当时，，
可得：，
解得：
关于的函数表达式为；
设销售利润为元，
由题意可得：，
整理得：，
，
有最大值，
当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元；
（2）解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润，
又，
当时，所获利润最小为元；
当时，所获利润最大为元，
销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润．
答案第1页，共2页
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