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30.1 直线与圆 课后同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．已知的半径为5，圆心到直线距离为2，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
2．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线相交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．20 D．36
6．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（ ）
A．2 B． C．1 D．无法判断
7．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且．则这个油桶的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
8．下列判断正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线
9．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______．
12．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是______________cm．
13．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________．
14．如图，已知的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，则圆心P的坐标为___________．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cos∠EAC＝，CE＝2，则△OAB的面积是_____．
三、解答题
16．如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
17．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
18．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
(1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？
(2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，）
19．学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：
已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，以为半径作，与交于两点和；
③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线．
(1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）；
(2)求证：，是的切线，且．
证明：连接，，如图，
为的直径，
___________ ，
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且 ___________ 于这条半径的直线是圆的切线）．
在和中，
，
（　　）（填推理的依据），
．
20．如图，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，，．点从点出发，沿轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．当以点为圆心、为半径的与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D C D C A C
1．【答案】B
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的判定，关键是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断位置．
【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，已知，．
∵，
∴直线与的位置关系是相交；
故选：B．
2．【答案】C
【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
【详解】解：∵直线l与相交，
∴点O到直线l的距离，
又∵，
∴．
故选：C．
3．【答案】A
【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断．
【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键．
4．【答案】D
【知识点】多边形内角和问题、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，由题意可得，再根据圆周角定理可得，由切线的性质得到，利用四边形内角和求出，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
5．【答案】D
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：D．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形的面积，由勾股定理可得，再由，，列式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、、，
，在中，，，，
，
，，
，
，
故选：C．
7．【答案】D
【知识点】切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质．
根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可．
【详解】解：如图；
设油桶所在的圆心为O，连接
∵与相切于点A、C，
∴
又∵
∴四边形是正方形，
∴
故选：D．
8．【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析、同弧或等弧所对的圆周角相等、有关切线的概念辨析
【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可．
【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意；
B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，
故选：C．
9．【答案】A
【知识点】求角的正弦值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用
【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，

∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，，
∴为的切线，
由题意，为的切线，
∴，，
∵，
∴设，，，
则，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解．
【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图：
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图：
∵，，
∴与y轴有两个交点M、N
此时，
∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N，
故选：C．
11．【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：过M作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，与线段有交点，
∴r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．
12．【答案】3
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理
【分析】连接OA，OB，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB=∠CAB=60°，
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
13．【答案】②③④①
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可．
【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
14．【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、切线的应用
【分析】先利用相切确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线顶点为
因为圆与x轴相切，圆心在抛物线上
∴P点纵坐标为3，
令，
得，
故或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了切线的性质和二次函数综合，掌握圆的切线垂直于过切点的半径确定点P的纵坐标是解题关键．
15．【答案】3
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE，由AF是直径，可得∠AEF＝90°，可证BC∥FE,可证CE＝BF＝2，由cos∠EAC＝，设AF＝10x，AB＝3x，由勾股定理AF2＝AB2+BF2，可求x＝，利用面积公式△OAB的面积＝S△ABF即可．
【详解】解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE,
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
又∵AE⊥BC，
∴BC∥FE，
∴，
∴∠EAC＝∠BAF，
∴CE＝BF＝2，
∵cos∠EAC＝，
∴cos∠BAF＝，
设AF＝10x，AB＝x，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴100x2＝4+90x2，
∴x＝，
∴AB＝6，
∴△OAB的面积＝S△ABF＝××AB×BF＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，掌握圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
16．【答案】见解析
【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．
17．【答案】
证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、应用切线长定理求证
【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以．
【详解】略
18．【答案】(1)此时盛水简P距离水面的高度
(2)从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）先根据时间和速度求出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒P距离水面的高度；
（2）先确定当P在直线上时，此时P是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可．
【详解】（1）解：连接，过点P作，，垂足为D、H，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意得，筒车每秒转，
盛水简P浮出水面2.5秒后，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：此时盛水简P距离水面的高度；
（2）解：如图，因为点P在上，且与相切，所以当P在直线上时，此时P是切点，
连接，所以，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴需要的时间为（秒），
答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上．
19．【答案】(1)
如图所示：，即为所求；
(2)，垂直，，
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题中步骤作图；
（2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）略
20．【答案】1或4或
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】若与四边形的边相切时，有以下三种情况：
①当与相切于点C时，有，
②当与相切于点C时，有，即点P与点O重合，
③当与相切时，由题意，得，分别求解即可；
【详解】由题意知，若与四边形的边相切时，有以下三种情况：
①当与相切于点C时，有，
从而，得到，此时；
②当与相切于点C时，有，即点P与点O重合，此时；
③当与相切时，由题意，得，
∴点A为切点，
如图4，，，
于是，
即，
解得：，
∴t的值为1或4或．
【点睛】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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