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30.2 三角形的内切圆 课后同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．点I是的内心，则点I是的（　　）
A．三条中垂线交点 B．三条角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高的交点
2．如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
4．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与的内心I重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在正中，Q是边中点，P是边上任意一点，连接，并使的延长线交的外角平分线于点G，，的外心在该三角形的内部，则的取值范围是____．
10．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
11．如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______．
12．如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则___________．
13．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若等边△ABC的边长为6，则阴影部分的面积是_________________．
三、解答题
14．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内心．（保留作图痕迹，不要求写作法）
15．如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线DGBC．
(1)若，则______； ______．
(2)求证：；
(3)求证：DG是的切线C．
16．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
17．直角的两直角边．
(1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r；
(2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B C D B D
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、三角形内心有关应用
【分析】根据三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，即可解决问题．
【详解】解：点I是的内心，
则可知点I是的三条角平分线的交点．
故选：B
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质，掌握三角形的内切圆的性质、角平分线的判定定理是解题的关键．
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、已知外心的位置判断三角形的形状、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键．
根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：因为点O是的外心，且，
所以，
在中有，，
又因为点I是的内心，
所以为的角平分线，为的角平分线，
所以，，
所以，
所以 ．
故选：C ．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
4．【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案．
【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N，
在中，，，，
∴，
∵为中线，
∴，
∵，即，
∴
∴．
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合、应用切线长定理求解
【分析】根据题意，画出图形，，过点作，，，连接，根据内切圆的性质，可得，求得线段，再根据切线长定理求解即可．
【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：
由切线长定理可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
的周长为16，可得：
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆与三角形的综合应用，涉及了切线长定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用垂径定理求值、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；
根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识一一判断即可．
【详解】解：如图，设 交于．
∵，
∴，
∴；故①正确，
∴，故②错误，
∵点是线段，线段的垂直平分线的交点，
∴点是的外心，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴点是的内心，故④正确，
故选：D．
7．【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，据此计算即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵沿折叠，点恰好与的内心重合，
∴，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、三角形内心有关应用、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解．
【详解】解：如图1，连接，
点是和的角平分线的交点，
点是的内心，
平分，
为直径，
，
，
为定值，
点的轨迹为一段弧，
此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上，
如图2，过圆心作，连接，，
设，则，
为直径，
，
平分，
，
，　　
，
如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，
是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角，
，
，
，
点，，，，四点共圆，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，
点的运动路径为，
由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为，
点的运动路径为，
点和点的运动路径比为．
故选：D．
【点睛】
9．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、三角形内心有关应用
【分析】首先根据正三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的概念得到，求出然后根据题意表示出，，进而求解即可．
【详解】∵是正三角形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵的外心在该三角形的内部，
∴是锐角三角形
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的概念，三角形外心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点并熟练运用．
10．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，

设，则，
由勾股定理得：，．
．
解得：．
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】根据旋转的性质得出和全等，可由三角形内角和得出，再由圆周角定理得出F在的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可．
本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键．
【详解】解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图：
是等边三角形，且，
，，
由旋转的性质得：，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点F在的外接圆上，
①当取最大值时，为直径，此时F与G重合，
为等边三角形，，
，
，
的最大值为；
②D在左侧，连接，如图：
，
当时，最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即最小值为；
故答案为：，
12．【答案】
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】连接，过点M作于点D，作于点E，作于点F，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得．
【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点，
∵，，，
∴，
∵N为的外心，
∴，
∵M为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得、．
13．【答案】9﹣3π
【知识点】等边三角形的性质、三角形内心有关应用
【分析】连接OE、OB、OC，如图，根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝6，再利用切线的性质和内心性质得到OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，从而得到∠OBE＝∠OCE＝30°，再计算OE＝，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S△ABC﹣S⊙O＝3S△OBC﹣S⊙O进行计算．
【详解】解：连接OE、OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝6，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBE＝∠OCE＝30°，
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝3，
在Rt△OBE中，OE＝BE＝，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S⊙O
＝3S△OBC﹣S⊙O
＝3××6×﹣π×（）2
＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质和切线的性质．
14．【答案】见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用
【分析】作的平分线交于O点，即可．
【详解】解：作的平分线交于O点，如图．（作的平分线也可）
点即为所求．
证明：三角形中，两条内角的角平分线的交点即为该三角形的内心，故点即为所求．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心以及角平分线的尺规作图的知识，理解三角形中，两条内角的角平分线的交点即为该三角形的内心，是解答本题的关键．
15．【答案】(1)80°，130°；
(2)
证明：∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∴DE＝CD；
(3)
证明：∵＝，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
又∵OD是半径，
∴DG是⊙O的切线．
【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、证明某直线是圆的切线、三角形内心有关应用
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝125°；
（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；
（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接BD，OD，
∵，
∴∠ACB＝∠ADB＝80°，
∴∠ABC+∠BAC＝100°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠AEB＝130°，
故答案为：80°，130°；
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查了三角形的内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，
则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2）解：，，，
∴半周长，
又 ，
，
，
则的长为．
17．【答案】(1)；
(2)
【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可；
（2）过点作于点G，作点G关于的对称点，连接，求出，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，设，则，求出，，由对称的性质得，易证，得到，当三点共线时，最小，此时，即，的最小值为的长，解直角三角形得到，，在中，，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴的外接圆半径；
如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：如图，过点作于点G，作点G关于的对称点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∴，，
由对称的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，最小，
此时，即，的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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