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30.3 正多边形与圆 课后同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．正十边形的中心角度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
5．边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　）
A． B．2 C．2 D．4
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （ ）
A．只有① B．①② C．①③ D．①②③
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则_____．
10．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______．
11．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）．
12．如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm，则点A的坐标为________，点E的坐标为________．
13．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ．
三、解答题
14．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）．
15．（1）解方程：．
（2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长．
16．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π）
17．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：

(1)将如表的表格补充完整：
正多边形边数 ______
的 度数 ______ ______ ______ ______
(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A C C C B
1．【答案】B
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，掌握相关计算公式是解题的关键．
正多边形的中心角度数等于除以边数．
【详解】解：∵正十边形的边数，
∴中心角度数为，
故选B．
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
是的内接正边形的一边，
．
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角
【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解．
【详解】解：正六边形内接于，的半径为3，
，，
是等边三角形，
．
4．【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过A作于C，

∵圆的内接正十二边形的圆心角为，，
∴，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：A．
5．【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】连接OB，CO，在RtBOC中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OB，OC，
则OC=OB，∠BOC==90°，
在RtBOC中，，
∵BC=4，
∴OC=OB=．
∴⊙O的半径是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
6．【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
不妨设圆的半径为，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故选：C．
7．【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确．
【详解】解：如图所示：

∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；
∴，，
∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；
∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∴，和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，故③说法正确；
故选：．
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
9．【答案】45
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出．
【详解】解：∵是正八边形，
∴，
故答案为：45．
10．【答案】
【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案．
【详解】解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
故答案为：．
11．【答案】/
【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积
【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
12．【答案】 （-4，0） （2，）
【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】根据图形特点求出A点坐标，然后连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOE＝30°；在Rt△GOE中，则GE＝2，OG＝，故可得出E的坐标．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm，
∴AO=4cm
∴A（-4，0）
连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝4．
∴GE＝=2，OG＝．
∴E（2，）．
故答案为：（-4，0）；（2，）．
【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．
13．【答案】1/
【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹．
如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题．
【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴，
∵
∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值，
此时，
故答案为：．
14．【答案】
正方形如图所示：
【知识点】正方形性质理解、尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图)
【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法．
过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求．
【详解】略
15．【答案】（1）， （2）
【知识点】正多边形和圆的综合、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）连接，证出，，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，；
（2）连接，
∵是正六边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】(1)
四边形是正方形，理由如下：
如图，连接，，，，则，
由题意可知，，
，，
，
，
四边形是正方形；
(2)平方厘米
【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可；
（2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：在中，，，
，
平方厘米．
答：阴影部分面积为平方厘米．
17．【答案】(1)，，，，
(2)不存在一个正边形，使其中的，理由：
由（1）得，正边形中，
当时，即，
解得不是整数，
所以不存在一个正边形，使其中的．
【知识点】正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题
【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可．
【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即，
正方形中的度数为，即，
正五边形中的度数为，即，
正六边形中的度数为，即，
正边形中的度数为，即，
当时，即，
解得，
故答案为：，，，，；
（2）略
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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