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27.1 反比例函数的概念 课后同步练习2026-2027学年
人教版九年级数学上册
一、单选题
1．下列各点中，在函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积
C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高
3．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．或2
4．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　）
3
2
A． B． C．3 D．2
5．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且有两个不动点；
③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点；
④若为“不动点函数”，则．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．已知点，在同一个反比例函数的图像上，则与之间的数量关系是_________．
9．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______．
10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号）
11．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____．
三、解答题
12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
13．已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为，
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数．
14．已知函数是关于的反比例函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
15．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
16．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；
(2)连接，求点到线段的距离．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D A A B D A
1．【答案】A
【知识点】求反比例函数值
【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论．
【详解】解：对于函数
A、当时，，
点在函数的图象上，此选项符合题意；
B、当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
C、当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意；
D、当时，，
点不在函数的图象上，此选项不符合题意．
2．【答案】D
【知识点】 反比例的意义及辨识、用反比例函数描述数量关系
【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断．
两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断．
【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意；
B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意；
C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【答案】A
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数，
∴，，
由得，
解得：，，
∵，
∴，
综上所述，的值为，
故选：A．
4．【答案】A
【知识点】用反比例函数描述数量关系
【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值．
【详解】解：由反比例关系得：（为常数），
当时，，代入得：，
当时，，代入关系式得：，
解得：，
因此，表中的值是，
故选：A．
5．【答案】B
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键在于掌握反比例函数的定义，易错点在于正比例函数和反比例函数混淆；根据反比例函数的定义，形如 （为常数，且）的函数是反比例函数，直接判断各选项是否符合此形式即可．
【详解】∵反比例函数的标准形式为（），
选项 A、，是正比例函数，选项A不符合题意；
选项 B、，符合 形式，且，选项B符合题意；
选项 C、，不是反比例函数，选项C不符合题意；
选项 D、，分母指数不是1，不是反比例函数，选项D不符合题意，
故选B．
6．【答案】D
【知识点】求反比例函数值
【分析】根据图像，知反比例函数过点（1，4），故k=4，所以当x=2时，y=2，所以y的范围是．
【详解】如图，根据图像，知反比例函数过点（1，4），
∴，
∴k=4，
∴当x=2时，
∴y=＝2，
∴y的范围是．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式的确定，根据自变量范围确定函数值的范围，读懂图像，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．【答案】A
【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值、函数的概念
【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程，
根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数．
【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解，
∴该函数不是“不动点函数”，①错误；
②∵令，则，两边乘得
又∵实数范围内
∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误；
③∵令，则，整理得
解得或，
∴点是该函数的不动点，③正确；
④∵若是“不动点函数”，则，
整理得，
方程有实数解需判别式，
即，解得，
而结论中的范围不完整，④错误．
综上，正确的结论只有1个．
故选：A．
8．【答案】
【知识点】用反比例函数描述数量关系
【分析】设反比例函数解析式为，根据题意将点代入解析式即可求解．
【详解】解：∵点，在同一个反比例函数的图像上，
设反比例函数解析式为，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．【答案】2
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可．
【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，
∴，且，
∴，
故答案为：2．
10．【答案】②④⑥
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．
【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，
②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数，
④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑤是二次函数，不是反比例函数，
⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑦是正比例函数，不是反比例函数，
综上所述，反比例函数有②④⑥．
故答案为：②④⑥．
11．【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
12．【答案】(1)
补充表格如下：
每本的页数 16 20 25 30 60
可以装订的本数 225 180 144 120 60
(2)
解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下：
根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例.
(3)
页
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系
【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数.
【详解】（1）解：总页数为：（页）；
当页数为页时，本数为：（本）；
当页数为页时，本数为：（本）；
（2）略
（3）解：（页）．
故每本练习本有页．
13．【答案】(1)
(2)是反比例函数，比例系数为
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数的定义，求反比例函数的解析式．
（1）铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量，把相关数值代入即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数，写出比例系数即可．
【详解】（1）解：∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）∵反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k，
∴是反比例函数，比例系数为．
14．【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数值、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值：
（1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可；
（2）把代入函数解析式，求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：且，
．
（2）
∴反比例函数的表达式为，
∴当时，．
15．【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数
【知识点】用反比例函数描述数量关系
【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数：
（1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可；
（2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴，
∴y是x的反比例函数；
（2）由题意，得，
∴y是x的反比例函数．
16．【答案】(1)，，
(2)点到线段的距离为
【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、与三角形的高有关的计算问题、求反比例函数值
【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【详解】（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
答案第1页，共2页
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