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27.2 反比例函数的图象和性质 课后同步练习
2026-2027学年人教版九年级数学上册
一、单选题
1．甲、乙两地相距，汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两支分别位于（　　）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．2
5．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
7．关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．该函数图象经过点 B．该函数图象位于第二、四象限
C．y的值随着x值的增大而增大 D．该函数图象关于原点成中心对称
9．反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
10．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题
11．反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你选择的点坐标为______．
12．若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”）
13．小林在用实验探究电功率跟电阻的关系时，记录了如下表所示的数据，请你分析表中的数据，归纳出电功率与电阻的关系式为：______．
4 6 8 10 12 15
9 6 4.5 3.6 3 2.4
14．已知双曲线与直线有一交点为．则_________．
15．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为______．
三、解答题
16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.
(1)求的值，并在图中画出函数的图象；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积.
17．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点横坐标为1，直线轴于点，且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点和点，且点在点上方．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若四边形是平行四边形，求的值．
18．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围）
(2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积．
19．已知是的反比例函数，是的正比例函数．
(1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式；
(2)证明：是的反比例函数．
20．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标；
(3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B A A C A C
1．【答案】B
【知识点】判断（画）反比例函数图象
【分析】由题意易得（x＞0），然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：（x＞0），
∴符合题意的只有B选项；
故选B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
2．【答案】C
【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性
【分析】此题考查了一次函数及反比例函数的增减性，根据k的值判断一次函数及反比例函数的增减性即可得到答案，正确理解一次函数及反比例函数的增减性与k的值的关系是解题的关键．
【详解】解：A．∵，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B．∵，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
C．∵，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
D．∵，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：C．
3．【答案】D
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】根据时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限解答即可.
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象的两支分别位于第二、第四象限；
故选：D.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知时，反比例函数的图象的两支分别位于一、三象限，时，反比例函数的图象的两支分别位于二、四象限是解题的关键.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O，
∴由反比例函数的对称性可知，
∴，
∵轴且，
∴，
∴，
故选：C．
5．【答案】B
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象在第一，三象限，则，属于基础题，根据反比例函数的性质：图象在第一，三象限，则，即可列出含的不等式，得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限，
，
，
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】证明四边形是矩形、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图，
∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴，
∴，四边形是矩形，
∴；
故选：A．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象分和两种情况分析即可．
【详解】解：当时，二次函数的图象开口向下，与y轴的负半轴相交，此时反比例函数的图象在一三象限，故A符合题意，D不符合题意；
当时，二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交，此时反比例函数的图象在二四象限，故B，C不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象的性质，分类讨论是解答本题的关键．
8．【答案】C
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性
【分析】根据反比例函数的图象的性质逐项判断即可．
【详解】将，代入关系式，得，所以该函数图像经过点，则A正确；
因为，所以反比例函数的图象位于第二，四象限，则B正确；
因为反比例函数的图象在每个象限内函数值y随着x的增大而增大，则C不正确；
因为反比例函数的图象关于原点称中心对称，所以D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，理解并记忆反比例函数图象的性质是解题的关键．即反比例函数的图象是双曲线，且关于原点成中心对称，当时，函数图像位于一，三象限，在每个象限内函数值y随着x的增大而减小；当时，函数图像位于二，四象限，在每个象限内函数值y随着x的增大而增大．
9．【答案】A
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可．
【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，
，
，
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①当时，，图象在第三象限；
当时，，图象在第二象限；
当时，，图象在第四象限；
当时，，图象在第一象限．
∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；
②∵为分母，
∴，
∴函数图象与轴无交点，②正确；
③当时，，
∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；
④设点（）为函数图象上任意一点，
则，，
∴点在函数的图象上，
∴图象关于原点成中心对称，④正确；
⑤当时，设，
则
即：当，
∴当时，随的增大而增大，⑤正确．
综上所述：正确的结论有②④⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
11．【答案】（-1，-3）（答案不唯一）
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标．
【详解】解：∵反比例函数图象经过点A（1，3），
∴，
解得k=3，
∴函数解析式为y=，
当x=-1时，y==-3，
∴故答案为（-1，-3）（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图像的基本性质是解题关键．
12．【答案】＞
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，判断反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数的性质，判断当时，y随x的增大而减小，通过比较x值大小判断y值大小即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵点在关于的函数图象上，此时，
∴，
故答案为：＞．
13．【答案】
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查了求反比例函数关系式．分别计算出在电流一定时每组中电功率与电阻的比值，将结果进行对比，然后推广到一般，得到电功率与电阻的对应关系．
【详解】分析表格中数据可以发现，电功率和电阻的乘积为定值是，可得：．
故答案为：．
14．【答案】/
【知识点】异分母分式加减法、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】由双曲线与直线的交点为可知分别满足两个解析式，即、，代入到原式可得答案．
【详解】解：双曲线与直线的交点坐标为，
，，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点坐标知、满足两解析式，从而得到、的值是解题的关键．
15．【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长、相似图形
【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值．
【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、，
点在双曲线上，
矩形，
又，
，
点在矩形的对角线上，
矩形矩形，
，
，
，
．
函数的解析式是：．
故答案为：
16．【答案】(1)，图见解析
(2)或
(3)
【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式；
（2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解．
（3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得，
∴
∴点的坐标为.
把点代入反比例函数得，解得.
∴反比例函数的解析式为
∴反比例函数的图象如下图，
（2）由，，根据函数图象可得：
不等式的解集为：或
（3）将点代入反比例函数得，；
∵点C是点B关于原点的对称点，
∴点C的坐标为；
∴的面积
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键．
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）先求出点坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）先确定，，分别求出，，再由平行四边形的性质得到方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：点横坐标为1，且在一次函数上，
，
将点代入，可得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题可知，，
点在点上方，
，
当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
解得，
反比例函数中，
．
18．【答案】(1)
(2)立方米
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可．
（1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可；
（2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可．
【详解】（1）解：设，
由函数图象可得，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：，
当时，
∴，
答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米．
19．【答案】(1)与之间的函数关系式为；
(2)证明见解析．
【知识点】正比例函数的定义、求反比例函数解析式
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）根据反比例函数的定义即可求证；
本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数，
设，，
∴，
∵时，，
∴，解得：，
当时，，
∴，解得：，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（2）∵是的反比例函数，是的正比例函数，
设，，
∴，
∴是的反比例函数．
20．【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）由点先求反比例函数的解析式，然后求出点的坐标即可求解；
（2）分类讨论在上和点在上，即可求解；
（3）分类讨论作为平行四边形的边和对角线，画出对应图形即可求解．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
；
令，解得，
.
设直线的函数表达式为，
将代入得：
解得
.
（2）解：在中，
令，得，
令，得，
，
.
①当点在上时，设，
则，
，
即，
解得：，
.
②当点在上时，设，
则，
，
即，
解得：，
.
（3）解：∵点是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点
∴
设点，
①当作为平行四边形的一边时
如图所示：
，解得
故点为
，解得
故点为
②当作为平行四边形的对角线时
如图所示：
，解得
故点为
综上：.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题．掌握“分类讨论”的数学思想是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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