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29.2 圆的有关性质 课后同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中的是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．如图，点分别在以为直径的半圆上，连接，已知，求的度数（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题：①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆的内接菱形是正方形；⑤长度相等的弧所对的圆周角相等．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．③④
9．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，均在圆上，，则______．
12．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
13．有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________．
14．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______．
15．如图，在矩形中，，E，F分别是上的点，且于点G，连接，则的最小值为________．
三、解答题
16．如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）

17．一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由．
18．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长．
19．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
20．如图，四边形内接于，，是对角线．点E在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D B A B D C B
1．【答案】A
【知识点】圆心角概念辨析及简单运算
【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解．
【详解】解：图中是圆心角
故选：A．
2．【答案】C
【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角，
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
3．【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；
由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵圆心到弦的距离，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
4．【答案】D
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键．
先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
，
，
．
故选：D．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【分析】根据圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵点是的外心，，
∴．
6．【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】先根据直径所对圆周角为直角可得∠C＝90°，再利用含30°的直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴OA＝OB＝AB＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解决本题的关键．
7．【答案】B
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，，
∴ ．
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度
【分析】根据垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质结合各说法进行判断，可得出答案．
【详解】解①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本项漏了特殊情况，故错误；
③半圆所对的圆周角是直角，故正确；
④圆的内接菱形是正方形，故正确；
⑤在等圆或同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，本项缺少了前提条件，故错误．
综上可得③④正确．
故选: D．
【点睛】考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，确定圆的条件等知识点，比较基础，难度不大.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理的推论
【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可．
【详解】解：∵的平分线交于点，是半径，
∴，，，，故A、B、D正确；
选项C不能证明，
故选：C．
10．【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理．
连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径．
【详解】解：如下图所示，连接，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
圆的半径为．
故选：B．
11．【答案】/30度
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果.
【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角，，
∴.
12．【答案】1cm或7cm．
【知识点】利用垂径定理求平行弦问题
【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故填1cm或7cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
13．【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了圆心角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
【详解】解：采用的四等分圆周的一种方法，可以利用圆心角定理来解释，
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
14．【答案】/144度
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、圆心角概念辨析及简单运算
【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解．
【详解】解：∵各个扇形面积的比为，
设四个扇形的圆心角分别为，，，，
则，
解得：，
最大圆心角为．
故答案为：．
15．【答案】8
【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，矩形的性质．理解点G在以为直径的圆上运动是解题关键．根据题意得出，即得出点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，结合勾股定理可求出，又可得出的最小值即为的长，求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，如图，
∴，
∴．
由图可知的最小值即为的长，
∴．
故答案为：8．
16．【答案】
解：如图，为所作．

【知识点】作垂线(尺规作图)、利用垂径定理求解其他问题
【分析】先作过P点的半径，然后过P点作的垂线交于A、B，则满足条件．
【详解】略
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理．
17．【答案】
答：卡车能通过厂门，理由如下：
如图，，为卡车的宽度，过点，作的垂线交半圆于，，过点作，为垂足，
∴，，
由作法可得，，，
∴，
∴，
∵卡车高，
∴，
∴卡车能通过厂门．
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理，进行解答，即可．
【详解】略
18．【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
，
，
，
．
19．【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、 求圆弧的度数
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：作，则，
在中，，
，
，
在中，，
．
20．【答案】(1)
证明：如图，连接，
四边形内接于，，
，
，
，
，
、，
，
；
(2)21
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理
【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质得到，结合圆周角定理得到，从而得出结论；
（2）在和中，分别利用勾股定理求出、的值，再结合（1）中，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
由（1）知，
，
．
答案第1页，共2页
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