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29.3 弧长和扇形面积 课后同步练习2026-2027学年人教版
九年级数学上册
一、单选题
1．已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（ ）．
A．4 B．8 C． D．
5．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．π
6．如图，是一个圆锥形的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为，母线长为，那么纸杯的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面圆半径是（ ）
A． B． C． D．1
8．在综合与实践活动课上，某同学需要用扇形薄纸板制作成底面半径为3分米，高为4分米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为（ ）
A．54° B．108° C．136° D．216°
9．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（ ）
A． cm B．cm C．cm D．cm
二、填空题
11．如图，中，，，以B为圆心为半径作弧交于点D，则阴影部分的面积为___________．
12．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）．
13．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．

14．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___.
15．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,．
(1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应；
(2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π）
17．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积．
18．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．
19．如图，为了美化校园，学校准备做一个周长的扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：的近似值取3）
(1)求出与的函数关系式．
(2)当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．
(3)在（2）的条件下，将花坛分成3个面积相等的扇形分别种上不同品种的花，求每个扇形的圆心角的度数．
20．综合与实践
【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．
【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具．
【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，．
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．
(1)求A，C两点间的距离；
(2)求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，）试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A C B D A B
1．【答案】C
【知识点】求弧长
【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：圆心角所对的弧长．
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】求扇形半径
【分析】本题考查了求弧长，圆锥的侧面展开图；设扇形的半径为r，利用圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，即可求解．
【详解】解：设扇形的半径为r，
由题意得：，
解得：；
故选：B．
3．【答案】D
【知识点】求圆心角、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键．
连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可．
【详解】解：连接，如图：

设，则，
则的长为，的长为，
∵，
即，
整理得：，
解得：，
即，，
∵，
∴．
故选：D．
4．【答案】D
【知识点】求某点的弧形运动路径长度
【分析】根据题意，所经过的路径是以为直径的圆，进而根据圆周长公式计算即可
【详解】解：依题意，所经过的路径是以为直径的圆，
点P所经过的路径长为
故选D
【点睛】本题考查了点的轨迹，理解点的轨迹是以为直径的圆是解题的关键．
5．【答案】A
【知识点】正多边形的内角问题、求扇形面积
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键．
根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和为，
∴正五边形每个内角度数为，
∴图中阴影部分面积．
故选：A．
6．【答案】C
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】由扇形面积公式代值计算即可得到答案．
【详解】解：纸杯的侧面积为．
7．【答案】B
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，利用了圆的周长公式，弧长公式求解．用到的等量关系为：圆锥侧面展开图的弧长=底面周长．
【详解】解：设底面半径为R，则底面周长，
半圆的弧长，
∴．
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可．
【详解】解：∵底面半径为3厘米，高为4厘米，
∴圆锥的母线长==5cm，
∵底面半径为3cm，
∴底面周长=2·π·R=6πcm，
∴=6π，
解得n=216，
∴该扇形薄纸板的圆心角为216°．
故选：D．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确记忆这两个关系是解题的关键．
9．【答案】A
【知识点】求图形旋转后扫过的面积
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、C、A共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积进行计算即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到，
∴，
∴点B′、C、A共线，
∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
10．【答案】B
【知识点】求圆锥的高、用勾股定理解三角形
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝5．
所以这个圆锥形小帽子的高＝cm．
答：这个圆锥形小帽子的高为cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．【答案】
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查的是扇形面积的计算及直角三角形的性质，先根据锐角三角函数的定义求出的度数，再由勾股定理求出的长，再根据进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
12．【答案】/
【知识点】求弧长
【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角
∴劣弧的长
．
13．【答案】22
【知识点】求圆锥底面半径、圆锥的实际问题
【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：，
∴，
∴米堆的体积为：，
∴米堆的斛数为：；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
14．【答案】/
【知识点】求扇形半径
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】解：扇形的弧长是：，
圆的半径为，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
即：，
与之间的关系是．
故答案是：．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．
15．【答案】
【知识点】圆锥侧面上最短路径问题
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是，
以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是，
设展开后的圆心角是，则，
解得：，
∴展开后，
，，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
16．【答案】(1)作图见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形
【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，
对于（1），将点A绕点C顺时针旋转得到点D，同理得到点E，再连接，可得答案；
对于（2）扫过的是以点C为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：∵绕点C顺时针方向旋转后得到的，
∴.
又∵，
∴线段所扫过的图形的面积．
17．【答案】
【知识点】求其他不规则图形的面积
【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得．
【详解】解：，
∴阴影部分面积是．
18．【答案】cm
【知识点】用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题
【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：n＝180°，
则∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
如图，
由勾股定理得：BP＝，
答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度．
19．【答案】(1)
(2)时，面积最大为
(3)
【知识点】求扇形面积、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了扇形的面积，二次函数的应用．
（1）根据扇形的面积公式即扇形面积等于二分之一乘以扇形的弧长l乘以半径r即可求解；
（2）利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得圆心角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∵，
∴当时，面积最大为；
（3）解：由（2）知半径米，此时圆心角弧度；
因为的近似值取3，所以弧度对应，即1弧度，故；
将花坛分成三个面积相等的扇形，每个扇形的圆心角为；
答：每个扇形的圆心角为．
20．【答案】(1)
(2)
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）、求弧长
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键．
（1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出即可；
（2）先证，再用勾股定理解求出，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接，过点B作，垂足为点E，
因为，
所以，，
在中，因为，
所以，
所以，
所以，，两点之间的距离为．
（2）解： 因为，
所以，
所以，
在中，由勾股定理可得，
所以,
所以的长为,
答：待建环山路的长度为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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