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苏科版数学八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 同步分层练习
一、夯实基础
1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
2．如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积(　　)
A．始终不变 B．向右移动变小
C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴无论点P在直线AB上如何运动，点P到直线CD的距离始终不变，
∵△PCD的底边为线段CD，长度不变，
∴根据三角形的面积公式S=底×高，可知△PCD的面积始终不变，
故答案为：A.
【分析】根据平行线间距离处处相等，可知点P到直线CD的距离为定值，再结合三角形面积公式S=底×高，即可得出答案.
3．已知：如图， AB∥CD， ∠1=36°， ∠2=60°，则∠3的度数是(　　)
A．36° B．34° C．26° D．24°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设EC和AB交于点F，
∵AB//CD，
∴∠BFE=∠2=60°，
∴∠3=∠BFE-∠1=60°-36°= 24°，
故答案为：D .
【分析】先根据平行线的性质得到∠BFE=∠2=60°，然后根据三角形外角性质解答即可.
4．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等.如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中AB段与AC 段长度相等，经测量，BC段的长为6m，则AB段的长可能为（　　）
A．2.4m B．2.8m C．3m D．4m
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设AB=AC=x，
由三角形的三边关系，
得2x>6，
∴x>3，
故答案为：D.
【分析】设AC=AB=x，根据三角形两边之和大于第三边，作答即可.
5．如图，直线，直线EF分别交、于点E、F，过点F作交于点G，垂足为F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据三角形外角的性质可知，结合平行线的性质与垂直的定义，分别求出两个角的度数，进而得到结果．
6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据三角形中线平分三角形面积的性质，算出中线AD分割出的△ABD面积为12，再根据E为AD中点，BE是△ABD的中线，再次利用中线面积平分性质，求出△ABE面积为6．
7． 如图， ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角， 则∠1+∠2+∠3=　 　．
【答案】360°
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵ ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角
∴∠1+∠2+∠3=360°
故答案为：360°
【分析】根据三角形外角和即可求出答案.
8．如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为　 　cm．
【答案】18
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，BD=CD，AB=13，
∴AC-AB=5，
∴AC=13+5=18cm，
故答案为18．
【分析】根据的周长比的周长多5cm可以得到(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，从而得到AC-AB=5，结合AB=13，代入计算即可．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=45°，∠1=52°，则∠2=　 　 度．
【答案】97
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ DE∥BC，
∴ ∠B=∠1=52 （两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠2 是△ABC 的外角，
∴ ∠2=∠A+∠B。
代入 ∠A=45 ，∠B=52 ，得：∠2=45 +52 =97
故答案为：97.
【分析】本题利用平行线的同位角相等先求出∠B的度数，再结合三角形外角定理，计算∠2的度数。
二、能力提升
10．如图，直线CF∥DE，∠ACB=90°，若∠1=20°，∠2=40°，则∠A的度数为(　　)
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可.
11．如图，点为的重心，，，，则的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点，
∵点为的重心，
∴是的中线，，
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，进一步得，进而由即得答案.
12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE：DE=2：1，EF：CF=3：1，且S△ABC=12cm2，则S△BEF为　 　 cm2.
【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】∵ S△ABC=12cm2 ， D为BC的中点 ，
∴S△ABD=S△ADC= S△ABC=12=6cm2
∵ AE：DE=2：1，
∴S△BDE=S△CDE=S△ABD=6=2cm2
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=4cm2
∵ EF：CF=3：1
∴S△BEF=S△BCE=4=3cm2，
故答案为：3。
【分析】根据三角形的中线和利用线段比例求三角形的面积。
13．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
14．如图， 点B，E， C，F依次在同一条直线上，AC∥DF，AC， DE交于点G，连结AB，BG， 已知∠1=∠2.
（1）请说明∠A=∠D的理由.
（2）若BG⊥AC， ∠D=2∠1-30°， 求∠A的度数.
【答案】（1）证明： ∵∠1=∠2，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠D+∠DEF+∠DFE=180°，
∴∠A=∠D；
（2）解： ∵BG⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∴∠A+∠2=90°.
∵∠A=∠D， ∠D=2∠1-30°， ∠1=∠2，
∴∠A=2∠2-30°，
∴2∠2-30°+∠2=90°，
解得∠2=40°，
∴∠A=90°-40°=50°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到 然后根据三角形的内角和定理解答即可；
(2)根据直角三角形的两锐角互余得到∠A+∠2=90°，再根据等量代换可得方程2∠2-30°+∠2=90°，求出∠2的度数解答即可.
15．如图所示，交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，。
（1）求证：。
（2）若点在的延长线上，且，，则和相等吗请说明理由。
（3）在的条件下，若，，求的度数。
【答案】（1）证明：BDA+CEG=，BDA+ADC=，
ADC=CEG
AD//EF
（2）解：BAD和CAD相等
理由如下：
EDH=C，
DH//AC
H=AGF
F=H，
F=AGF
AD//EF，
BAD=F，CAD=AGF
BAD=CAD
（3）解：FHBC，
CEG=
C=，
CGE=--=。
F=AGF=CGE=。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行即可求解；
(2)根据平行线的性质可得∠BAD=∠F，∠CAD=∠AGF，进而即可求解；
(3)根据垂线的概念可知∠CEG=，再根据三角形的内角和定理即可求解.
三、拓展创新
16．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2 倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，a为倍角。如果一个“倍角三角形”中有一个内角为39°，那么这个“倍角三角形”的倍角 的度数是　 　.
【答案】39°或78°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当α=39°，另外两角分别为19.5°，121.5°，符合题意
当α=2×39°=78°时，此时39°+78°<180°，符合题意；
当>90°，不符合题意；
综上所述， 的度数是39°或78°
故答案为：39°或78°
【分析】根据“倍角三角形”定义分情况讨论，结合三角形内角和定理即可求出答案.
17．综合与实践
【探究课题】三角形重心的性质
【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】图①中的值是多少？
【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____．
（2）在（1）的条件下，求的值．
【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
【答案】解：（1）
（2）由题意可知，，
，
，
∵与同高，
，即：；
（3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴，，
则，
∴．
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵点为的重心，
∴，，分别是，，边上的中点，
，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形重心性质可得，，分别是，，边上的中点，则，，再根据三角形之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可知，，再根据三角形之间的关系即可求出答案.
（3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，，再根据边之间的关系可得，，，，再根据与同高即可求出答案.
1 / 1苏科版数学八年级上册 1.1 三角形中的线段和角 同步分层练习
一、夯实基础
1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
2．如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积(　　)
A．始终不变 B．向右移动变小
C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大
3．已知：如图， AB∥CD， ∠1=36°， ∠2=60°，则∠3的度数是(　　)
A．36° B．34° C．26° D．24°
4．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等.如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中AB段与AC 段长度相等，经测量，BC段的长为6m，则AB段的长可能为（　　）
A．2.4m B．2.8m C．3m D．4m
5．如图，直线，直线EF分别交、于点E、F，过点F作交于点G，垂足为F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
7． 如图， ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角， 则∠1+∠2+∠3=　 　．
8．如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为　 　cm．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=45°，∠1=52°，则∠2=　 　 度．
二、能力提升
10．如图，直线CF∥DE，∠ACB=90°，若∠1=20°，∠2=40°，则∠A的度数为(　　)
A．20° B．30° C．40° D．60°
11．如图，点为的重心，，，，则的面积为（　　）．
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE：DE=2：1，EF：CF=3：1，且S△ABC=12cm2，则S△BEF为　 　 cm2.
13．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
14．如图， 点B，E， C，F依次在同一条直线上，AC∥DF，AC， DE交于点G，连结AB，BG， 已知∠1=∠2.
（1）请说明∠A=∠D的理由.
（2）若BG⊥AC， ∠D=2∠1-30°， 求∠A的度数.
15．如图所示，交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，。
（1）求证：。
（2）若点在的延长线上，且，，则和相等吗请说明理由。
（3）在的条件下，若，，求的度数。
三、拓展创新
16．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2 倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，a为倍角。如果一个“倍角三角形”中有一个内角为39°，那么这个“倍角三角形”的倍角 的度数是　 　.
17．综合与实践
【探究课题】三角形重心的性质
【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】图①中的值是多少？
【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____．
（2）在（1）的条件下，求的值．
【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
2．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴无论点P在直线AB上如何运动，点P到直线CD的距离始终不变，
∵△PCD的底边为线段CD，长度不变，
∴根据三角形的面积公式S=底×高，可知△PCD的面积始终不变，
故答案为：A.
【分析】根据平行线间距离处处相等，可知点P到直线CD的距离为定值，再结合三角形面积公式S=底×高，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设EC和AB交于点F，
∵AB//CD，
∴∠BFE=∠2=60°，
∴∠3=∠BFE-∠1=60°-36°= 24°，
故答案为：D .
【分析】先根据平行线的性质得到∠BFE=∠2=60°，然后根据三角形外角性质解答即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设AB=AC=x，
由三角形的三边关系，
得2x>6，
∴x>3，
故答案为：D.
【分析】设AC=AB=x，根据三角形两边之和大于第三边，作答即可.
5．【答案】A
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据三角形外角的性质可知，结合平行线的性质与垂直的定义，分别求出两个角的度数，进而得到结果．
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据三角形中线平分三角形面积的性质，算出中线AD分割出的△ABD面积为12，再根据E为AD中点，BE是△ABD的中线，再次利用中线面积平分性质，求出△ABE面积为6．
7．【答案】360°
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵ ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角
∴∠1+∠2+∠3=360°
故答案为：360°
【分析】根据三角形外角和即可求出答案.
8．【答案】18
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，BD=CD，AB=13，
∴AC-AB=5，
∴AC=13+5=18cm，
故答案为18．
【分析】根据的周长比的周长多5cm可以得到(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，从而得到AC-AB=5，结合AB=13，代入计算即可．
9．【答案】97
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ DE∥BC，
∴ ∠B=∠1=52 （两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠2 是△ABC 的外角，
∴ ∠2=∠A+∠B。
代入 ∠A=45 ，∠B=52 ，得：∠2=45 +52 =97
故答案为：97.
【分析】本题利用平行线的同位角相等先求出∠B的度数，再结合三角形外角定理，计算∠2的度数。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点，
∵点为的重心，
∴是的中线，，
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，进一步得，进而由即得答案.
12．【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】∵ S△ABC=12cm2 ， D为BC的中点 ，
∴S△ABD=S△ADC= S△ABC=12=6cm2
∵ AE：DE=2：1，
∴S△BDE=S△CDE=S△ABD=6=2cm2
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=4cm2
∵ EF：CF=3：1
∴S△BEF=S△BCE=4=3cm2，
故答案为：3。
【分析】根据三角形的中线和利用线段比例求三角形的面积。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
14．【答案】（1）证明： ∵∠1=∠2，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠D+∠DEF+∠DFE=180°，
∴∠A=∠D；
（2）解： ∵BG⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∴∠A+∠2=90°.
∵∠A=∠D， ∠D=2∠1-30°， ∠1=∠2，
∴∠A=2∠2-30°，
∴2∠2-30°+∠2=90°，
解得∠2=40°，
∴∠A=90°-40°=50°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到 然后根据三角形的内角和定理解答即可；
(2)根据直角三角形的两锐角互余得到∠A+∠2=90°，再根据等量代换可得方程2∠2-30°+∠2=90°，求出∠2的度数解答即可.
15．【答案】（1）证明：BDA+CEG=，BDA+ADC=，
ADC=CEG
AD//EF
（2）解：BAD和CAD相等
理由如下：
EDH=C，
DH//AC
H=AGF
F=H，
F=AGF
AD//EF，
BAD=F，CAD=AGF
BAD=CAD
（3）解：FHBC，
CEG=
C=，
CGE=--=。
F=AGF=CGE=。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行即可求解；
(2)根据平行线的性质可得∠BAD=∠F，∠CAD=∠AGF，进而即可求解；
(3)根据垂线的概念可知∠CEG=，再根据三角形的内角和定理即可求解.
16．【答案】39°或78°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当α=39°，另外两角分别为19.5°，121.5°，符合题意
当α=2×39°=78°时，此时39°+78°<180°，符合题意；
当>90°，不符合题意；
综上所述， 的度数是39°或78°
故答案为：39°或78°
【分析】根据“倍角三角形”定义分情况讨论，结合三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
（2）由题意可知，，
，
，
∵与同高，
，即：；
（3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴，，
则，
∴．
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵点为的重心，
∴，，分别是，，边上的中点，
，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形重心性质可得，，分别是，，边上的中点，则，，再根据三角形之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可知，，再根据三角形之间的关系即可求出答案.
（3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，，再根据边之间的关系可得，，，，再根据与同高即可求出答案.
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