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苏科版数学八年级上册 1.2 全等三角形 同步分层练习
一、夯实基础
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．如果a≠b，b≠c，那么a≠c
C．两个锐角之和一定是钝角
D．如果两个角相等，那么它们是对顶角
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.全等三角形的面积相等，真命题，故符合题意；
B.如果a≠b，b≠c，那么a可能等于c，也可能不等于c，假命题，故不符合题意；
C.两个锐角之和可能是锐角、也可能是直角也可能为钝角，假命题，故不符合题意；
D.如果两个角相等，那么它们可能是对顶角假命题，故不符合题意；
故选：A.
【分析】根据全等三角形的性质，不等式的传递性，三角形内角和，对顶角的定义，即可求解.
2．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图，
左侧图形中边所对应的角的度数为：.
∵左右两个三角形全等，
∴左侧图形中边所对应的角的度数＝.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理得左侧图形中边所对应的角的度数，根据全等三角形的性质即可得的度数.
3．如图，点C在线段BD上，且△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解： ∵△ABC≌△DBE，AB=7， BE=3
∴BD=AB=7， BC=BE=3
∴CD=BD-BC=4
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质得到BD=AB=7， BC=BE=3，再计算线段的和差即可解答.
4．如图，，若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据已知可知：△ABC △DCB，全等三角形的对应边相等，对应角相等。在△ABC 和△DCB 中，BC 是公共边，是两个三角形的对应边。点 A 的对应点是 D，点 C 的对应点是 B，因此边 AC 的对应边是BD。
已知 AC = 5，根据全等三角形对应边相等的性质，可得 BD = AC。因此，BD = 5。
故答案为：D。
【分析】这道题的核心是运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等，来直接推导出未知边的长度。
5．如图，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
6． 如图，若△ACM≌△DBN，AC=3，则BD的长是　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵ △ACM≌△DBN，
∴AC=BD=3，
故答案为：3.
【分析】由全等三角形的性质作答即可.
7．如图， △ABC≌△ADE，若∠CAE=60°， ∠E=70°，且 AD⊥BC，则∠BAC的度数为　 　度.
【答案】80
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵ △ABC ≌ △ADE（已知），
∴ ∠BAC = ∠DAE（全等三角形对应角相等），
且 ∠C = ∠E = 70°（对应角相等）。
又∵ AD ⊥ BC（已知），
∴ ∠ADC = 90°（垂直定义），
在 △ADC 中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°。
又已知 ∠CAE = 60°，
而 ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 60° = 80°，
又∵ ∠BAC = ∠DAE（全等对应角），
∴ ∠BAC = 80°。
故答案为：80
【分析】本题考查全等三角形的性质与直角三角形内角和的应用。关键在于：利用“全等三角形对应角相等”，建立 ∠BAC 与 ∠DAE 的等量关系；由“AD ⊥ BC”推出直角三角形 ADC，从而求出 ∠DAC；结合已知 ∠CAE = 60°，将 ∠DAE 拆分为 ∠DAC + ∠CAE，完成角度计算；最终代得到 ∠BAC 的值。
8．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为　 　°．
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
即∠ACA'+∠A'CB=∠B'CB+∠A'CB，
∴∠ACA'=∠B'CB，
又∠B'CB=30°
∴∠ACA'=30°．
故答案为30
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠A'CB'，根据角之间的和差关系，得到∠ACA'=∠B'CB，即可求解．
二、能力提升
9．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴图中阴影部分的面积等于，
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，，再求出图中阴影部分的面积等于即可.
10．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∵△ABE周长=AB+AE+BE=12，BE=4，
∴AB+AE=12-4=8，
∵点E在CA延长线上，CE=AC+AE，又AB=AC，
∴CE=AB+AE=8．
故答案为：B．
【分析】先根据全等三角形△ABD≌△ACD对应边相等的性质，得到AB=AC，再根据三角形周长定义，算出AB+AE=8，再根据图中线段关系CE=AC+AE，把AC等量替换为AB，推出CE=AB+AE=8．
11．如图，若，，，则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等求出，再计算求解得EF即可．
12．如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB=3，CE=8，则AD=　 　.
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC △CDE，
∴CD=AB=3，AC=CE=8，
∴AD=AC-CD=5.
故答案为：5.
【分析】由全等三角形的性质推出CD=AB=3，AC=CE=8，即可求出AD的长.
13．如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求与的周长和；
【答案】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴，，
∴与的周长和为：
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形对应角相等的性质得，从而得，进而利用角的和差关系求解即可；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质可求出，，再利用三角形的周长公式求解即可．
（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
14．如图，已知．
（1）若，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴，
∵，
∴，
∴，
故BC的长为10.
（2）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴，
∵，在中，根据三角形内角和为
∴，
∴．
故.
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应边相等），熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）解题关键是利用全等三角形的对应边相等，先由得，再结合线段的和差关系出CE，最后通过计算出 BC 的长度。
（2）利用全等三角形的对应角相等，由得；再在中，根据三角形内角和为求出的度数；最后根据平角的定义求出的度数。
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、拓展创新
15．如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边，
故选：B．
【分析】分为或为公共边作三角形解答即可．
16．根据以下素材，完成探究任务.
如何制作风筝
素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作.
素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成，如图，是小明制作的风筝骨架模型图(为轴对称图形)的一部分，其中直线l为对称轴.
问题解决
任务一 请你画出风筝完整的骨架ABCD；
任务二 连接BD交AC于点O，有以下结论，其中一定正确的有结论有 ▲ ；(填写序号)①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC；⑤OA=OC.
任务三 已知竹条AC的长为60cm，与其垂直的竹条长为30cm，若给风筝骨架ABCD的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积.
【答案】解：任务一：画出风筝完整的骨架ABCD 如解图①；
任务二：①②③④；
任务三：如解图②，由题可知，AC=60 cm，BD=30cm，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】
解：任务二：如解图②，
由任务一可知，结论①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC 均正确；OA 与OC 不一定相等，故结论⑤不符合题意.
故答案为：①②③④；
【分析】
任务一 、以直线l为对称轴，画出△ABC的对称图形解答即可；
任务二、由轴对称图形的性质可判断①②③④正确，但OA 与OC 不一定相等，由此判断即可解答；
任务三、根据题意得出AC=60 cm，BD=30cm，再根据绢布ABCD的面积等于两个三角形面积之和，利用三角形面积公式计算即可解答；
1 / 1苏科版数学八年级上册 1.2 全等三角形 同步分层练习
一、夯实基础
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．如果a≠b，b≠c，那么a≠c
C．两个锐角之和一定是钝角
D．如果两个角相等，那么它们是对顶角
2．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点C在线段BD上，且△ABC≌△DBE，若AB=7，BE=3，则CD的长为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．10
4．如图，，若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6． 如图，若△ACM≌△DBN，AC=3，则BD的长是　 　.
7．如图， △ABC≌△ADE，若∠CAE=60°， ∠E=70°，且 AD⊥BC，则∠BAC的度数为　 　度.
8．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为　 　°．
二、能力提升
9．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
11．如图，若，，，则的长是　 　．
12．如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB=3，CE=8，则AD=　 　.
13．如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求与的周长和；
14．如图，已知．
（1）若，求的长；
（2）若，求的度数．
三、拓展创新
15．如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
16．根据以下素材，完成探究任务.
如何制作风筝
素材一 风筝的制作技艺是中国传统工艺，为了让同学们感受传统工艺的魅力，王老师带领同学们进行风筝制作.
素材二 风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分构成，如图，是小明制作的风筝骨架模型图(为轴对称图形)的一部分，其中直线l为对称轴.
问题解决
任务一 请你画出风筝完整的骨架ABCD；
任务二 连接BD交AC于点O，有以下结论，其中一定正确的有结论有 ▲ ；(填写序号)①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC；⑤OA=OC.
任务三 已知竹条AC的长为60cm，与其垂直的竹条长为30cm，若给风筝骨架ABCD的正反两面都粘上绢布形成风筝面，求绢布的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A.全等三角形的面积相等，真命题，故符合题意；
B.如果a≠b，b≠c，那么a可能等于c，也可能不等于c，假命题，故不符合题意；
C.两个锐角之和可能是锐角、也可能是直角也可能为钝角，假命题，故不符合题意；
D.如果两个角相等，那么它们可能是对顶角假命题，故不符合题意；
故选：A.
【分析】根据全等三角形的性质，不等式的传递性，三角形内角和，对顶角的定义，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图，
左侧图形中边所对应的角的度数为：.
∵左右两个三角形全等，
∴左侧图形中边所对应的角的度数＝.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理得左侧图形中边所对应的角的度数，根据全等三角形的性质即可得的度数.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
解： ∵△ABC≌△DBE，AB=7， BE=3
∴BD=AB=7， BC=BE=3
∴CD=BD-BC=4
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质得到BD=AB=7， BC=BE=3，再计算线段的和差即可解答.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据已知可知：△ABC △DCB，全等三角形的对应边相等，对应角相等。在△ABC 和△DCB 中，BC 是公共边，是两个三角形的对应边。点 A 的对应点是 D，点 C 的对应点是 B，因此边 AC 的对应边是BD。
已知 AC = 5，根据全等三角形对应边相等的性质，可得 BD = AC。因此，BD = 5。
故答案为：D。
【分析】这道题的核心是运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等，来直接推导出未知边的长度。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵ △ACM≌△DBN，
∴AC=BD=3，
故答案为：3.
【分析】由全等三角形的性质作答即可.
7．【答案】80
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵ △ABC ≌ △ADE（已知），
∴ ∠BAC = ∠DAE（全等三角形对应角相等），
且 ∠C = ∠E = 70°（对应角相等）。
又∵ AD ⊥ BC（已知），
∴ ∠ADC = 90°（垂直定义），
在 △ADC 中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°。
又已知 ∠CAE = 60°，
而 ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 60° = 80°，
又∵ ∠BAC = ∠DAE（全等对应角），
∴ ∠BAC = 80°。
故答案为：80
【分析】本题考查全等三角形的性质与直角三角形内角和的应用。关键在于：利用“全等三角形对应角相等”，建立 ∠BAC 与 ∠DAE 的等量关系；由“AD ⊥ BC”推出直角三角形 ADC，从而求出 ∠DAC；结合已知 ∠CAE = 60°，将 ∠DAE 拆分为 ∠DAC + ∠CAE，完成角度计算；最终代得到 ∠BAC 的值。
8．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
即∠ACA'+∠A'CB=∠B'CB+∠A'CB，
∴∠ACA'=∠B'CB，
又∠B'CB=30°
∴∠ACA'=30°．
故答案为30
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠A'CB'，根据角之间的和差关系，得到∠ACA'=∠B'CB，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴图中阴影部分的面积等于，
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，，再求出图中阴影部分的面积等于即可.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∵△ABE周长=AB+AE+BE=12，BE=4，
∴AB+AE=12-4=8，
∵点E在CA延长线上，CE=AC+AE，又AB=AC，
∴CE=AB+AE=8．
故答案为：B．
【分析】先根据全等三角形△ABD≌△ACD对应边相等的性质，得到AB=AC，再根据三角形周长定义，算出AB+AE=8，再根据图中线段关系CE=AC+AE，把AC等量替换为AB，推出CE=AB+AE=8．
11．【答案】2
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等求出，再计算求解得EF即可．
12．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC △CDE，
∴CD=AB=3，AC=CE=8，
∴AD=AC-CD=5.
故答案为：5.
【分析】由全等三角形的性质推出CD=AB=3，AC=CE=8，即可求出AD的长.
13．【答案】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴，，
∴与的周长和为：
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形对应角相等的性质得，从而得，进而利用角的和差关系求解即可；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质可求出，，再利用三角形的周长公式求解即可．
（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
14．【答案】（1）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴，
∵，
∴，
∴，
故BC的长为10.
（2）解：∵，根据全等三角形的性质（对应边相等），∴，
∵，在中，根据三角形内角和为
∴，
∴．
故.
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应边相等），熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）解题关键是利用全等三角形的对应边相等，先由得，再结合线段的和差关系出CE，最后通过计算出 BC 的长度。
（2）利用全等三角形的对应角相等，由得；再在中，根据三角形内角和为求出的度数；最后根据平角的定义求出的度数。
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【答案】B
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边，
故选：B．
【分析】分为或为公共边作三角形解答即可．
16．【答案】解：任务一：画出风筝完整的骨架ABCD 如解图①；
任务二：①②③④；
任务三：如解图②，由题可知，AC=60 cm，BD=30cm，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】
解：任务二：如解图②，
由任务一可知，结论①AB=AD；②△ABC≌△ADC；③OB=OD；④∠BAC=∠DAC 均正确；OA 与OC 不一定相等，故结论⑤不符合题意.
故答案为：①②③④；
【分析】
任务一 、以直线l为对称轴，画出△ABC的对称图形解答即可；
任务二、由轴对称图形的性质可判断①②③④正确，但OA 与OC 不一定相等，由此判断即可解答；
任务三、根据题意得出AC=60 cm，BD=30cm，再根据绢布ABCD的面积等于两个三角形面积之和，利用三角形面积公式计算即可解答；
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