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小结与评价
整式的乘法
第1章
（湘教版）七年级
下
知识图谱
思考回顾
同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n (m,n 都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
1. ，，（ m，n是正整数）分别怎么计算？
思考回顾
幂的乘方法则：
（am）n=amn(m,n 都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
1. ，，（ m，n是正整数）分别怎么计算？
思考回顾
1. ，，（ m，n是正整数）分别怎么计算？
积的乘方法则：
(ab)n = anbn (n为正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
思考回顾
2. 单项式与单项式相乘，怎么乘？单项式与多项式相乘呢？多项式与多项式相乘呢？
单项式与单项式的乘法法则:
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.
例如：（
思考回顾
2. 单项式与单项式相乘，怎么乘？单项式与多项式相乘呢？多项式与多项式相乘呢？
单项式与多项式的乘法法则:
单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘多项式中的每一项，再把所得的积相加减.
例如：
思考回顾
2. 单项式与单项式相乘，怎么乘？单项式与多项式相乘呢？多项式与多项式相乘呢？
多项式与多项式的乘法法则:
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加减.
例如：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
思考回顾
3. 叙述平方差公式，并解释几何背景.
平方差公式:
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图②所示的长方形，则这个长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，于是，面积为(a+b)(a-b)。
由此可得(a+b)(a-b)=a -b
思考回顾
如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为a -b .
平方差公式的几何背景：
3. 叙述平方差公式，并解释几何背景.
思考回顾
4. 叙述完全平方公式，并解释几何背景.
完全平方公式:
(a±b)2 = a2 ±2ab+b2 .
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
思考回顾
于是(a+b)2=ab+b +a +ba=a2+2ab+ b2
如图，把一个边长为a的正方形分割成四部分，这四部分的面积分别为ab，b ，a ，ba.
4. 叙述完全平方公式，并解释几何背景.
完全平方公式的几何背景：
注意事项
1. 同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，进行运算时要注意区分.
2. 多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，注意不要漏乘.
3. 平方差公式和完全平方公式都是多项式乘法的重要公式， 其中的字母x，y 可以用任何数或者任意多项式代入.
典例精讲
题型一：幂的运算
例1
化简的结果是( )
A. B. C. D.-
D
计算(-y)2的结果是( )
A. -y B.y C.- D.
D
例2
已知 =8131,b=2741,c=961,则 ,b,c 的大小关系是 ( )
A. >b>c B. >c>b
C. c>
典例精讲
题型一：幂的运算
例3
A
典例精讲
题型二：整式的乘法
例4
(1) (－5a2b)(－3a)；
解：(1) (－5a2b)(－3a)
=[(－5)×(－3)](a2·a)·b
=15a3b．
(2) (-4x2)(3x+1)
(2) (-4x2)(3x+1)
=(-4x2)(3x)+(-4x2)×1
=(-4×3)(x2·x)+(-4x2)
=-12x3-4x2．
典例精讲
题型二：整式的乘法
例4
(3)(3x+1)(x+2)
解：(3) (3x+1)(x+2)
=(3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
典例精讲
题型三：乘法公式
例5
(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;
（2）4(2a+b)2–4(2a+b)+1
=[2(2a+b)] – 2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b–1)2
（1）
解：（1）
=
=
=
典例精讲
拓展提升
例6
（如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，据此可以验证的乘法公式是 .
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a-b
a
典例精讲
拓展提升
例6
解：通过图形面积的计算，验证乘法公式：
从第一个图形可知阴影部分面积是两个正方形的面积差，即 (a2－b2)；
第二个图形是梯形，上底是 2b，下底是 2a，高为 (a－b)，
所以其面积是 (2a + 2b)(a－b) ÷2 = (a + b)(a－b).
根据面积相等，得乘法公式 (a + b)(a－b) = a2－b2.
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