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小结与评价
实 数
第二章
（湘教版）七年级
下
知识图谱
思考回顾
1. 举例说明什么是一个数的平方根、算术平方根、立方根.
①如果有一个数 r，使得 _____ = a，那么 r叫作 a的一个________，也叫作二次方根. 例如，9的平方根是±3，因为=9且=9。
②正数 a的正平方根叫作 a的____________.
例如9的算术平方根是3，因为=9，并且3是非负的。
③如果有一个数 b，使得 = a，那么 b叫作a的一个________，也叫作三次方根. 由于 = 8，因此2是8的一个立方根，即 = 2.
平方根
算数平方根
立方根
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2. 举例说明乘方与开方的关系.
乘方与开方之间的关系主要体现在它们是互为逆运算上。即，如果 =b，那么 b 的 n 次方根就是 a。反之亦然，如果 =a，那么 =b。
乘方到开方的转换：
已知 =81，求81 的 4 次方根就是 3.
开方到乘方的转换：
已知 =3， 3 的 3 次方就是 27.
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定义：无理数是不能表示为两个整数之比的数，也就是说，它们不能写成 ,无理数是_____________小数.有理数则可以表示为两个整数之比的数，即形如的数。有理数可以是_______小数或________小数。
区别：
性质上：有理数在数轴上有精确的坐标，无理数没有
表现形式上：有理数可以表现为分数、有限小数、循环小数。无理数不可以表现为分数、可以是无限不循环小数
3. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么
无限不循环
有限
无限循环
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运算上：有理数加减乘除运算后还是有理数无理数与有理数（非0）的加、减运算结果是无理数；但无理数与有理数的乘、除（除数不为0）运算结果可能是有理数也可能是无理数，这取决于具体的运算情况。
3. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么
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4. 实数如何分类？
按定义分类
实数可以分为_______和_______两大类。
按大小分类
实数分为_______、____和_______。
无理数
有理数
正实数
0
负实数
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5. 实数有哪些运算？实数运算中遇到无理数，如何进行近似计算？
实数有这些运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方
当实数运算中遇到无理数要进行近似计算时，通常有以下几种方法：
四舍五入法：
截断法：直接截断无理数的小数部分到指定的位数。
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5. 实数有哪些运算？实数运算中遇到无理数，如何进行近似计算？
科学记数法：对于非常大或非常小的无理数，可以使用科学记数法进行近似表示。
计算器或软件等
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6. 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方在底数为实数时是否也成立？
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是实数范围内幂运算的基本法则，它们在底数为实数时是完全成立的。
同底数幂的乘法：
对于任意实数 a（a≠0）和任意正整数 m,n，有 =
幂的乘方：
对于任意实数 a（a≠0）和任意正整数 m,n，有=
积的乘方：
对于任意实数 a,b（a0,b 0）和任意正整数 n，有=

注意事项
1. 把数扩充到实数后，我们现在说的“数”，通常指实数.
2. 在实数范围内，负实数没有平方根 . 求一个正实数的平方根时，
不要漏掉其中的负平方根.
3. 在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
4. 乘法公式也适用于系数为实数的多项式.
典例精析
【题型一】区分不同的“数”
；；；；3.14；；0.6404；0.101000100001……这8个实数中，分别判断他们属于有理数还是无理数，并给出判断理由.
：是分数，可以表示为两个整数的比，因此它是有理数。
不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的，因此它是无理数。
③ =0.1，这是一个有限小数，因此它是有理数。
=5，这是一个整数，因此它是有理数。
典例精析
【题型一】区分不同的“数”
；；；；3.14；；0.6404；0.101000100001……这8个实数中，分别判断他们属于有理数还是无理数，并给出判断理由.
3.14：这是一个有限小数，因此它是有理数。
π：是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的，是无理数。
0.6404：这是一个有限小数，因此它是有理数。
0.101000100001…：这是一个无限不循环小数，因此它是无理数。
典例精析
典例精析
典例精析
【题型二】比较数的大小
比较大小： ．（选填“<”，“>”或“=”）
解：首先，我们计算两个数的差： 1.5
因为1.5=代入上式得： =
接下来，我们需要判断 2的符号
因为5>4,所以>,即>2,所以,所以 >0,即 >1.5
典例精析
【题型三】 数的估算
已知，则整数n的值是 ．
解：因为36<41<49。我们对不等式两边同时开平方，得到：
< < , 即6< <7
接下来，根据题目条件：n 1< 只有当 n=7 时，上述不等式才成立
因为当 n=7 时，n 1=6，满足 6<<7
所以答案为：7
典例精析
【题型四】 计算
．
解：因为： =5, =4 =2, = -1, =7
所以原式=—1+5—2+ （ -1 ）-7
=-6
典例精析
【题型四】 计算
．
解：由于题目要求结果精确到0.01，我们可以使用计算器来得到这两个值的近似值：
≈1.73，≈2.24
接下来，我们根据题目要求计算 ：
×+2≈1.73×2.24+2
=3.8672+2
=5.8672
但是，由于题目要求结果精确到0.01，我们需要对最后的结果进行四舍五入：5.8672≈5.87
典例精析
【题型五】 结合实际问题计算
我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？
【答案】根据题目给出的经验公式 v=16 我们需要将已知的 d 和 f 值代入公式中计算 v。
已知 d=51.2 米，f=1.25，代入公式得：
v=16 =16=16×8=128 （千米/小时）
典例精析
【题型五】 结合实际问题计算
我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？
【答案】由于计算出的 v=128 千米/小时，而我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过 120 千米/时，因此可以判断肇事汽车当时的速度超出了规定的速度。
作业布置
完成本单元测试卷
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