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(共25张PPT)
第三章 圆的基本性质
3.5 圆内接四边形
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
理解圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念。
会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关证明和计算。
02
新知导入
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？
03
新知探究
探究一
合作学习:
过四边形的4个顶点能画一个圆吗？
过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。
C
A
B
O
D1
D3
如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆，
但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。
D2
02
新知导入
如图，四边形的ABCD3的四个顶点都在O上，请类比三角形，描述四边形ABCD3与O的关系？
C
A
B
O
D3
三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆 这个圆叫做四边形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形 这个四边形叫做圆的内接四边形
探究二
02
新知导入
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，四边形ABCD是O的内接四边形，O是四边形ABCD的外接圆。
C
D
A
B
O
新课探究
∠A+ ∠C=180 ，∠B+∠D=180
猜想：∠A与∠C， ∠B与∠D之间的关系为：
_________________________________.
你能证明吗？
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O.
求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
03
新知讲解
.
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是360°
∴∠A＋∠C＝180°
同理∠B＋∠D＝180°
圆的内接四边形的对角互补。
03
新知讲解
C
D
A
B
O
E
【思考】如下图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BAE是∠BAD的外角，问 ：∠C与∠BAE有怎样的数量关系
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠BAE=180°，
∴∠C=∠BAE。
【总结】圆内接四边形的任意一个外角等于它相邻的内角的对角。
03
新知讲解
圆内接四边形的对角_______.
互补
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
03
新知讲解
例1
已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D. 求证：DB=DC.
分析：要证明DB=DC，只需证明∠DBC=∠DCB.
根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”,
得∠DBC=∠DAC. 又根据“圆内接四边形的对角互
补”和“同角的补角相等”,可得∠DCB=∠DAE.
而已知∠DAC=∠DAE，这就证明了∠DBC=∠DCB.
03
新知讲解
证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC=∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+ ∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB=∠DAE.
而∠DAC=∠DBC(在同圆中,同弧所对的圆周角相等)
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC.
03
新知讲解
例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形
的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)
解：设原木的横截面为⊙O.要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能地大，正方形ABCD应内接于⊙O.由正方形ABCD四个内角都是直角，得它的两条对角线是⊙O的两条直径，且这两条直径互相垂直.所以只要在⊙O内作两条互相垂直的直径AC和BD，就可以作出⊙O的内接正方形ABCD.
03
新知讲解
解：当原木的直径为30cm时，AO=BO=15cm，
正方形ABCD的面积为4××AO×BO=4××15×15=450 (cm )=
4.50×10-2 (m ).
所以木材的体积为4.50×10-2 ×15=0.675(m ).
答：沿正方形ABCD的四条边，就可以
锯出符合要求的截面为正方形的木材.
如果这根原木长15m，那么锯出木材的
体积为0.675m .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图所示，四边形ABCD为 ⊙O 的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( )
A.80°
B.120°
C.100°
D.90°
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2、如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，
=。若∠C=110°，则∠ABC的度数等于________。
55°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，求∠DCE的度数。
解：∵∠BOD＝120°，
∴∠BAD＝60°.
∵∠BAD＋∠BCD＝180°，
∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD＝60°.
05
课堂小结
概念：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
性质1：圆内接四边形的对角互补。
性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用】
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是(　　)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD＝________度．
60
06
作业布置
【综合实践类作业】
3.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(1)AD＝CD；
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D=180°-∠B=130°.∵∠ACD=25°，∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=25°，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD.
06
作业布置
【综合实践类作业】
3.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(2)AB是⊙O的直径．
证明：∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
Thanks!
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