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(共42张PPT)
第2课时　向量的减法运算
　
第1章　1.2　向量的加法
学习目标
1.通过实例， 掌握向量减法的运算， 并理解其几何意义， 提升数学抽象与数学运算核心素养.
2.初步体会数形结合在向量减法解题中的应用， 培养直观想象核心素养.
新知形成
知识点　向量的减法
知识梳理
定义 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差
作法
三角形法则
(几何意义)
口诀 共起点，连终点，指向被减
b－a
自主检测
√
√
√
√
√
①④
返回
合作探究
典例
1
向量减法运算的常用方法
规律方法
典例
2
求作两个向量的差向量的2种思路
1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
2.可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
规律方法
典例
3
用已知向量表示某向量的步骤
规律方法
返回
随堂评价
√
√
a－b＋c
返回
课时分层
√
√
√
√
√
√
5.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是
A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同
B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反
C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b有相等的模
D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同
√
√
√
如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当
a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜
｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选ABD.
3
√
√
返回第2课时　向量的减法运算
学习目标 1.通过实例， 掌握向量减法的运算， 并理解其几何意义， 提升数学抽象与数学运算核心素养. 2.初步体会数形结合在向量减法解题中的应用， 培养直观想象核心素养.
知识点　向量的减法
定义 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O.作 ＝a，＝b，则＝b－a，即b－a＝b＋(－a).
三角形法则 (几何意义) 向量等于终点向量减起点向量
口诀 共起点，连终点，指向被减
[点拨]　(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把向量的减法转化为加法.
(2)向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
(3)｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b方向相同时左侧取等号，a，b方向相反时右侧取等号.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.(　　)
(2)向量与向量是相反向量.(　　)
(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√
2.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
答案：D　
解析：＝－＝a－b.故选D.
3.化简下列各式：
①－(－)；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：D　
解析：①－(－)＝－＝0.
②－＋－＝(＋)－＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
4.向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是　　　　.(填序号)
答案：①④
解析：①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝.故①④正确.
学生用书 第8页
探究点一　向量的减法运算
化简：(1)－－；
(2)(－)－(－).
解：(1)方法一：－－＝－＝.
方法二：－－＝－(＋)＝－＝.
(2)方法一：(－)－(－)
＝－－＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
向量减法运算的常用方法
对点练1.化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
解：(1)方法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
(2)方法一：原式＝－＝.
方法二：原式＝－(＋)＝－＝.
探究点二　向量的减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：方法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的2种思路
1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
2.可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
对点练2.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d.
解：因为a＋b＝，c－d＝，
所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示.
作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.
根据平行四边形法则可得b－c＝，a＋d＝.
学生用书 第9页
探究点三　用已知向量表示其他向量
如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量.
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
用已知向量表示某向量的步骤
对点练3.四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.
1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0 B.－＋＝0
C.＋－＝0 D.－－＝0
答案：A　
解析：因为＝，所以＋＝＋＝＝，所以＋＋＝0，故选A.
2.化简下列各式：
①－＋；②＋－；③－－＋；④－－＋.
其中结果为零向量的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：D　
解析：①－＋＝＋＝0；
②＋－＝－＝0；
③－－＋＝＋－＝－＝0；
④－－＋＝＋＋＋＝0.故选D.
3. 如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝　　　　.
答案：a－b＋c
解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c.
4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜－＋－｜，试判断△ABC的形状.
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－，
又｜－｜＝｜－＋－｜，
所以｜＋｜＝｜－｜，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形.
课时分层评价3　向量的减法运算
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)
A.0 B.
C. D.
答案：A　
解析：＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
2.化简：－＋－－＝(　　)
A.0 B.
C. D.
答案：A　
解析：－＋－－＝＋＋＋－＝－＝0.故选A.
3.(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
答案：BCD　
解析：在菱形ABCD中，如图，｜｜＝｜｜，所以B正确；又｜－｜＝｜＋｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝2｜｜，所以C正确；又｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜＝｜｜，所以D正确；A显然不正确，故选BCD.
4.在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜－｜，则必有(　　)
A.＝0
B.＝0或＝0
C.四边形ABCD为矩形
D.四边形ABCD为正方形
答案：C　
解析： 因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形.故选C.
5.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是(　　)
A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同
B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反
C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b有相等的模
D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同
答案：ABD　
解析：如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选ABD.
6.下列各式能化简为的个数是　　　　.
①(－)－；
②－(＋)；
③－(＋)－(＋)；
④－－＋.
答案：3
解析：因为①(－)－＝＋＋＝＋＝，
②－(＋)＝－0＝，
③－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝，
④－－＋＝＋＋＝＋2，
所以能化简为的有3个.
7.在△ABC中，若｜＋｜＝｜－｜，则∠A＝　　　　.
答案：
解析：因为｜＋｜＝｜－｜，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形，
故AB⊥AC，即∠A＝.
8.已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝　　　　.
答案：
解析：如图，设＝a，＝b，＝a＋b，
则＝－＝a－b，因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以BA＝OA＝OB.
所以△OAB为正三角形，设其边长为1，则｜a－b｜＝｜｜＝1，｜a＋b｜＝2×＝.
所以＝＝.
9.(15分)已知在△AOB中， ＝a，＝b且满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝2，求｜a＋b｜与△AOB的面积.
解：由已知得｜｜＝｜｜，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
如图，＝a＋b，＝a－b，由于｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，即OA＝OB＝BA，所以△AOB为正三角形，｜a＋b｜＝｜｜＝2，S△AOB＝×2×2×＝.
10.(15分)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b， c－d.
解：如图所示，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，＝c，＝d，
则＝a－b，＝c－d.
(11、12每小题5分，共10分)
11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，｜｜＝4，｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝(　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
答案：C
解析：以，为邻边作平行四边形ACDB(图略)，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜.因为四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，所以AC⊥AB，所以AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，所以｜｜＝｜｜＝2.
12.已知点O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若点E为AC的中点，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B　
解析：因为向量，，，＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以四边形ABCD为平行四边形.因为点E为AC的中点，所以点E为对角线AC与BD的交点，所以＝＝＝，所以＝.

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