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1.1　向　量
学习目标 1.了解向量的物理背景， 理解平面向量的基本概念， 能正确进行平面向量的几何表示， 提升直观想象核心素养. 2.掌握向量的长度 (模)、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念， 提升数学抽象核心素养.
知识点一　向量的基本要素及几何表示
名称 定义 表示方法 长度(模)及表示
有向 线段 具有方向的线段 以A 为起点、B为终点的有向线段记作 线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作｜｜
向量 既有大小又有方向的量 ①字母表示法：用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F或，， ②有向线段表示：用有向线段表示的向量记作 向量a(或)的大小，也是向量a(或)的长度，称为a(或)的模，记作｜a｜(或｜｜)
[点拨]　判断一个量是不是向量，关键看它是否具备向量的两要素：大小和方向，同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量.注意：有向线段不是向量，是表示向量的一个图形工具，在平面内有向线段是固定的，因为有向线段有三要素：起点、方向和长度；而向量是可以自由平移的，因为向量有两要素：大小和方向.
知识点二　向量的相等
1.相等向量：方向相同、长度相等的向量叫作相等向量.向量a与b相等，记作a＝b.
2.相反向量：长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a.
3.零向量：如果向量a的大小｜a｜＝0，就称a是零向量，记作0.所有的零向量相等.
[点拨]　(1)向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量的模可以比较大小.
(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
(3)在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量.
(4)规定零向量的方向是任意的，所有的零向量相等.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0和0相同且0没有方向.(　　)
(2)有向线段的三要素为起点、方向、长度.(　　)
(3)如果｜｜＞｜｜，那么＞.(　　)
(4)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是(　　)
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
学生用书 第2页
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
答案：D
解析：由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量，而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量，故选D.
3.下列说法正确的是(　　)
A.若｜a｜＞｜b｜，则a＞b
B.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b
C.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜
D.若a＝b，b＝c，则a＝c
答案：D
解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且｜a｜＝｜b｜，所以B不正确；两个向量不相等，但它们的模可以相等，所以C不正确；故选D.
4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有　　　　.
答案：，
解析：根据相等向量的定义及平行四边形的性质，与向量，.
探究点一　向量的有关概念
下列说法正确的是(　　)
A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B.若｜a｜＝｜b｜，且a与b的方向相同，则a＝b
C.0与0表示的含义相同
D.长度相等的向量叫作相等向量
答案：B
解析：A不正确，由｜a｜＝｜b｜只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为｜a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C不正确，0表示数量，但0表示零向量，其中｜0｜＝0；D不正确，方向相同、长度相等的向量称为相等向量.
1.判断一个量是否为向量的2个关键条件
(1)大小；(2)方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量应注意的问题
零向量的方向是任意的.
对点练1.(多选)下列判断不正确的是(　　)
A.长度为0的向量都是零向量
B.零向量是最小的向量
C.因为｜｜＝｜｜，所以＝
D.因为｜0｜＝0，所以0＝0
答案：BCD
解析：由零向量的定义知A正确.由于向量是不能比较大小的，故B不正确.表示以A为起点，B为终点，方向从A指向B，表示以B为起点，A为终点，方向从B指向A，虽然｜｜＝｜｜，但的方向不同，故C不正确；向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0，D不正确，故选BCD.
探究点二　相等向量与相反向量
如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量，，相等的向量，向量的相反向量.
解：与，，；
与，，；
与，，.
向量，，，.
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的.
2.相反向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是反向的.
对点练2.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(　　)
A.一组 B.两组
C.三组 D.四组
答案：A
解析：在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，在如题图所示的向量中，相等向量是，有一组.故选A.
探究点三　向量的表示及应用
在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
学生用书 第3页
(1)作出，，；
(2)求｜｜.
解：(1)根据题意，作出，，，如图所示，
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以AD＝BC＝400 km，
所以｜｜＝400 km.
用有向线段表示向量的步骤
对点练3.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，点C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
(1)作出所有的向量；
(2)求｜｜的最大值与最小值.
解：(1)作出所有的向量，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2 时，｜｜取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值，为＝.
所以｜｜的最大值为，最小值为.
1.(多选)在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A.与相等的向量(不含)只有一个
B.与的模相等的向量(不含)有9个
C.的模是的模的倍
D.与不相等
答案：ABC
解析：因为＝，所以与，所以A正确；
与向量的模相等的向量有：
，，，，，，，，，所以B正确；
设对角线AC与BD的交点为O，
在直角△AOD中，因为∠ADO＝30°，
所以｜｜＝｜｜，所以｜｜＝｜｜，
所以C正确；
因为＝，所以是相等向量，所以D不正确.
2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案：C
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3.如图，四边形ABCD是菱形，则在向量，，，，和中，相等的有　　　　对.
答案：2
解析：＝，＝.其余不相等，共两对.
4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出下列向量：
(1)，使｜｜＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使｜｜＝4，点B在点A正东方向.
解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.
又｜｜＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向，且｜｜＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示.
课时分层评价1　向　量
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.(多选)对于向量a与b，下列说法不正确的是(　　)
A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b是相等向量
B.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
C.若a与b方向相反，则a与b是相反向量
D.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜
答案：ABC
解析：两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，故B错误；两个向量大小相等，方向相反才是相反向量，故C错误.故选ABC.
2.若｜｜＝｜｜且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案：C
解析：在四边形ABCD中，
因为＝，
所以BA∥CD，且BA＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
又｜｜＝｜｜，
所以平行四边形ABCD是菱形.
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.与相等 B.与是相反向量
C.与相等 D.与是相反向量
答案：D
解析：如图所示，因为D是AB的中点，所以大小相等，方向相反.
4.设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A.相等向量 B.模相等的向量
C.相反向量 D.起点相同的向量
答案：B　
解析：因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量.
5.如图，在四边形ABCD中，＝，则相等的向量是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
答案：D　
解析：由＝知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知，｜｜＝｜｜，且方向相同.
6.给出以下说法：
①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
③∠AOB的两条边都是向量.
其中正确说法的序号是　　　　.
答案：②
解析：对于①，由于温度没有方向，故温度不是向量，故①不正确；对于②，作用力和反作用力大小相等，方向相反，力既有大小又有方向，属于向量，故②正确；对于③，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量，故③不正确.
7.如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南　　　　方向行走了　　　　 km.
答案：60°　2
解析：由题图知，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南60°的方向行走了2 km.
8.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有　　　　个.
答案：11
解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个.
9.(10分)如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中，请分别写出：
(1)与向量相反的向量；
(2)与向量的模相等的向量；
(3)与向量相等的向量.
解：因为在△ABC中，AD是BC边上的中线，
所以D为BC边的中点，
又因为EF是△ABC的中位线，
所以EF∥BC，EF＝BC.
同理：ED∥AC，ED＝AC；DF∥AB，DF＝AB.
故：(1)与向量，，.
(2)与向量，，，，.
(3)与向量，.
10.(10分)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.(参考数据：sin 53°≈0.8)
解：(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
11.(5分)已知在平面内点O固定，且｜｜＝2，则A点构成的图形是(　　)
A.一个点 B.一条直线
C.一个圆 D.不能确定
答案：C　
解析：由于｜｜＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆.故选C.
12.(15分)一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
解：(1)根据题意，可在题目给出的坐标系中作图，向量，，，如图所示：
(2)由题意得＝，所以AD与BC平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”.(共49张PPT)
1.1　向　量
　
第1章　平面向量及其应用
学习目标
1.了解向量的物理背景， 理解平面向量的基本概念， 能正确进行平面向量的几何表示， 提升直观想象核心素养.
2.掌握向量的长度 (模)、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念， 提升数学抽象核心素养.
新知形成
知识点一　向量的基本要素及几何表示
知识梳理
名称 定义 表示方法 长度(模)及表示
有向
线段 具有方向的线段
向量 既有大小又有方向的量
点拨　判断一个量是不是向量，关键看它是否具备向量的两要素：大小和方向，同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量.注意：有向线段不是向量，是表示向量的一个图形工具，在平面内有向线段是固定的，因为有向线段有三要素：起点、方向和长度；而向量是可以自由平移的，因为向量有两要素：大小和方向.
知识点二　向量的相等
1.相等向量：方向______、长度______的向量叫作相等向量.向量a与b相等，记作_______.
2.相反向量：长度______、方向______的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a.
3.零向量：如果向量a的大小｜a｜＝___，就称a是零向量，记作___.所有的零向量相等.
相同
相等
a＝b
相等
相反
0
0
点拨　(1)向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量的模可以比较大小.
(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
(3)在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量.
(4)规定零向量的方向是任意的，所有的零向量相等.
自主检测
×
√
×
√
2.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
√
由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量，而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量，故选D.
3.下列说法正确的是
A.若｜a｜＞｜b｜，则a＞b
B.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b
C.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜
D.若a＝b，b＝c，则a＝c
√
向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且｜a｜＝｜b｜，所以B不正确；两个向量不相等，但它们的模可以相等，所以C不正确；故选D.
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合作探究
探究点一　向量的有关概念
下列说法正确的是
A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B.若｜a｜＝｜b｜，且a与b的方向相同，则a＝b
C.0与0表示的含义相同
D.长度相等的向量叫作相等向量
典例
1
√
A不正确，由｜a｜＝｜b｜只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为｜a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C不正确，0表示数量，但0表示零向量，其中｜0｜＝0；D不正确，方向相同、长度相等的向量称为相等向量.
1.判断一个量是否为向量的2个关键条件
(1)大小；(2)方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量应注意的问题
零向量的方向是任意的.
规律方法
√
√
√
典例
2
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的.
2.相反向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是反向的.
规律方法
对点练2.在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有
A.一组
B.两组
C.三组
D.四组
√
典例
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用有向线段表示向量的步骤
规律方法
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随堂评价
√
√
√
√
2
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课时分层
1.(多选)对于向量a与b，下列说法不正确的是
A.若｜a｜＝｜b｜，则a与b是相等向量
B.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
C.若a与b方向相反，则a与b是相反向量
D.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜
√
√
√
两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，故B错误；两个向量大小相等，方向相反才是相反向量，故C错误.故选ABC.
√
√
√
√
6.给出以下说法：
①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
③∠AOB的两条边都是向量.
其中正确说法的序号是________.
②
对于①，由于温度没有方向，故温度不是向量，故①不正确；对于②，作用力和反作用力大小相等，方向相反，力既有大小又有方向，属于向量，故②正确；对于③，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量，故③不正确.
60°
2
11
如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个.
10.(10分)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
解：画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile).
√
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