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1.3　向量的数乘
学习目标 1.理解向量的数乘、共线向量、向量的夹角及单位向量的概念， 提升数学抽象和直观想象核心素养. 2.掌握向量的数乘的运算律， 会用相关法则进行向量的线性运算， 培养数学运算核心素养. 3.通过向量共线定理， 解决向量共线的相关问题， 提升数学运算和逻辑推理核心素养.
知识点一　向量的数乘运算
1.向量的数乘运算
定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种求向量的实数倍的运算叫作向量的数乘，记作λa
规定 长度 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜
方向 当λ＞0且a≠0时，λa的方向与a的方向相同
当λ＜0且a≠0时，λa的方向与a的方向相反
当λ＝0或a＝0时，λa＝0
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.
[点拨]　实数和向量可以求积，但不能求和或求差.
知识点二　共线向量
共线 向量 定义 当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b
两个 向量 平行 充要条件 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b 存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb
推广：证明A、B、C三点共线的充要条件 (1)＝λ； (2)＝x＋y，x＋y＝1
向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b(如图)，任选一点O，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角，记作＜a，b＞
范围 (1)0≤θ≤π； (2)当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向； (3)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b
[点拨]　(1)规定零向量与所有的向量平行.
(2)考虑两个向量是否平行时，不要忽略零向量.
(3)两个向量平行的充要条件要注意：向量a∥b 存在唯一的实数λ，使得a＝λb是错误的，比如a＝b＝0，那么λ∈R；a≠0，b＝0，那么λ不存在.
知识点三　共线向量的运算
　单位向量：把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.
[点拨]　对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a；那么a的单位向量为±.
知识点四　数乘运算律
　设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则满足如下运算律：
(1)(x＋y)a＝xa＋ya；
学生用书 第11页
(2)x(ya)＝(xy)a；
(3)x(a＋b)＝xa＋xb.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λ a的方向与a的方向一致.(　　)
(2)若λ a＝0，则a＝0.(　　)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　)
(4)任意两个单位向量都相等.(　　)
(5)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　)
A.｜a｜＝｜b｜ B.4｜a｜＝｜b｜
C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
答案：C　
解析：因为a＝4b，4＞0，所以｜a｜＝4｜b｜.因为4b与b的方向相同，所以a与b的方向相同.故选C.
3.(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是(　　)
A.m(a－b)＝ma－mb
B.(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b
D.若ma＝na(a≠0)，则m＝n
答案：ABD　
解析：易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确.故选ABD.
4.在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形的形状是　　　　.
答案：梯形
解析：因为＝－，
所以AB∥CD且｜AB｜＝｜CD｜，
所以四边形ABCD是梯形.
探究点一　向量的线性运算
化简下列各式：
(1)(2－)－(－2)；
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)].
解：(1)(2－)－(－2)＝2－－＋2＝2＋＋＋2＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)＝－a＋b.
向量的线性运算的基本方法
1.类比方法：向量的数乘运算可类比代数多项式的运算.例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
2.方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
对点练1.若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝　　　　.
答案：－16i＋j
解析：－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.
对点练2.若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则向量x＝　　　　　　　　.
答案：a－b＋c
解析：由题知2x－a－b－c＋x＋b＝0，
所以x＝a－b＋c，
所以x＝a－b＋c.
探究点二　用已知向量表示未知向量
如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，.
解：因为DE∥BC，＝，
所以＝＝b，＝－＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a).
又M是△ABC的边BC的中点，DE∥BC，
所以＝＝(b－a)，
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).
学生用书 第12页
用已知向量表示其他向量的两种方法
1.直接法
2.方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
对点练3.在△ABC中，M，N分别是BC，AC上的点，且BM＝2MC，AN＝2NC，AM与BN交于点P，则下列式子正确的是(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
答案：D　
解析：连接MN，如图，
因为BM＝2MC，AN＝2NC，
所以＝＝，
所以MN∥AB，
所以△CMN∽△CBA，
△PMN∽△PAB，
所以＝＝，
所以＝＝，
所以＝.
因为＝－，
所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋，
所以＝＝＝＋.故选D.
探究点三　向量共线的应用
设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且∥，求实数k的值.
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为＝2e1－8e2，所以＝2.
又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
(2)由(1)可知＝e1－4e2，又＝3e1－ke2，
所以可设＝λ(λ∈R).
所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，(3－λ)e1＝(k－4λ)e2，又e1，e2不共线，所以解得k＝12.
　　利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.
对点练4.在△AOB中，∠AOB为直角，＝，＝，AD与BC相交于点M，＝a，＝b.
(1)试用a、b表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设＝λ，＝μ，求＋的值.
解：(1)设＝ma＋nb，m，n为实数，
因为C，M，B三点共线，
所以存在非零实数k使得＝k＝k(－)＝kb－a，
所以＝＋＝a＋kb－a＝a＋kb，
所以 m＝①，
又因为D，M，A三点共线，
所以存在非零实数t使得＝t＝t(－)＝ta－b，
所以＝＋＝b＋ta－b＝ta＋b，
又＝ma＋nb，
所以 n＝②，
由①②解得：m＝，n＝，
所以＝a＋b.
(2)由(1)知＝a＋b，
因为F，M，E三点共线，
所以存在非零实数s使得＝s＝s(－)＝sλa－sμb，
因为＝－＝a＋(－μ)b.
所以
消去s得μ＋3λ＝7λμ.
所以＋＝7.
学生用书 第13页
1.如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案：D
解析：取BC中点F，连接FA，
因为在梯形ABCD中，BC＝2AD，
所以四边形ADCF是平行四边形，
所以FA∥CD，FA＝CD，
则＝＋＝＋＝＋
＝＋－)＝＋－)
＝＋＝a＋b.故选D.
2.如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且＝＋m，则实数m的值为(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：A　
解析：由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
由E，F，G三点共线，
则＝λ＋(1－λ)＝λ(＋)＋(1－λ)(＋)＝＋，
由已知＝＋m，
所以＝，m＝，
解得：λ＝，m＝，
所以实数m的值为，故选A.
3.若点P是△ABC内的一点，且满足＋＋＝0，则＝　　　　　.
答案：
解析：取BC中点D，连接AD，
则＋＝2，
因为＋＋＝0，
所以＋＝2＝－，所以＝，
所以P是△ABC的重心，
连接CP并延长，交AB于E，
则EP∶CE＝1∶3，
设△PAB中AB边上的高为h1，△ABC中AB边上的高为h2，则h1∶h2＝1∶3，
故＝＝.
4.已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解：(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
因为e1与e2不共线，所以所以k＝±1.
课时分层评价4　向量的数乘
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案：A　
解析：因为＝－5a＋6b，＝7a－2b，所以＝＋＝2a＋4b，又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共点B，所以A，B，D三点共线，A选项正确；＝－4a＋8b，显然，，两两不共线，选项B，C，D都不正确.故选A.
2.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ－μ＝(　　)
A.－ B.
C.1 D.－1
答案：D　
解析：由＝＋＝＋
＝－＋＋)＝－＋，
所以λ＝－，μ＝，即λ－μ＝－1，故选D.
3.(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　)
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.｜－λa｜≥｜a｜ D.｜－λa｜≥｜λ｜·a
答案：ACD　
解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，故A不正确；而λ2＞0，故a与λ2a的方向相同，B正确；对于C，｜－λa｜＝｜λ｜｜a｜，由于｜λ｜的大小不确定，故｜－λa｜与｜a｜的大小关系不确定，故C错误；对于D，｜λ｜·a是向量，而｜－λa｜表示长度，两者不能比较大小，故D错误.故选ACD.
4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　)
A. a＋ b B. a＋ b
C. a＋ b D. a＋ b
答案：B　
解析：由题得＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，即＝＋，解得＝＋，即＝ a＋ b.故选B.
5.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论不正确的是(　　)
A.＝2 B.＋＋＝0
C.＝＋＋ D.＝＝
答案：D　
解析：如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG.
对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确；对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确；对于C，＝3＝3(－)＝3(－)＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确；对于D，＝＝显然不正确.故选D.
6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为　　　　.
答案：
解析：方法一：由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝.
方法二：由D是AB边上一点知，A，B，D三点共线.
又＝＋λ，所以＋λ＝1，因此λ＝.
7.若＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是　　　　.
答案：A，B，D
解析：因为＝＋＝a＋5b，所以＝，又有公共点B，则A，B，D三点共线.
8.已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　　　　.
答案：2∶3
解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC与△ABC的面积之比为2∶3.
9.(10分)设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc(c≠0)，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2，
所以(2λ＋2μ－2k)e1＝(－9k＋3λ－3μ)e2，
又e1，e2是两个不共线的向量，
所以解得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
10.(10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，设＝a，＝b.
(1)试用a和b表示；
(2)若点P满足＝a＋λb，且B，D，P三点共线，求实数λ的值.
解：(1)因为＝－，＝－，又AB＝2CD，故＝2，
所以－＝2(－)，
化为＝－＋2＝－b＋2a.
(2)因为B，D，P三点共线，
所以＝k＋(1－k)，
因为＝－，＝2，
所以＝＋，
又＝a＋λb＝＋λ
＝＋λ(－)，
所以＝＋λ(－)
＝－＋(＋λ)，
又因为，不共线，
所以解得λ＝.
11.(5分)△ABC中，D为AC上的一点，满足＝.若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m＞0，n＞0)，则＋的最小值为　　　　　　　.
答案：16
解析：由已知＝＋＝(m－1)＋n，
又＝，
所以＝＋＝－m－n＋＝－m＋(－n)，
因为B，P，D三点共线，，不共线，
所以存在λ使得＝λ，即
得m＋4n＝1，
又m＞0，n＞0，
所以＋＝(m＋4n)(＋)＝8＋＋≥8＋2 ＝16，
当且仅当m＝4n即m＝，n＝时，取等号，
即＋的最小值为16.
12.(15分)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，连接AE.若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中＝λ＋μ.
(1)当点P为BC的中点时，求λ＋μ的值；
(2)满足λ＋μ＝1的点P有几个？
解：(1)连接AC(图略)，
因为点P为BC的中点，
所以＝＋，①
因为DE＝CD，所以＝2，
所以＝＋＝＋2＝－2，
因为＝λ＋μ，
所以＝(λ－2μ)＋μ，②
因为，不共线，
由①②可得
所以λ＋μ＝2.
(2)若λ＋μ＝1，则λ＝1－μ，
因为＝λ＋μ，
所以＝(1－μ)＋μ，
所以－＝μ(－)，所以＝μ，
所以B，P，E三点共线，
所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件，
即满足λ＋μ＝1的点P有3个.(共57张PPT)
1.3　向量的数乘
　
第1章　平面向量及其应用
学习目标
1.理解向量的数乘、共线向量、向量的夹角及单位向量的概念， 提升数学抽象和直观想象核心素养.
2.掌握向量的数乘的运算律， 会用相关法则进行向量的线性运算， 培养数学运算核心素养.
3.通过向量共线定理， 解决向量共线的相关问题， 提升数学运算和逻辑推理核心素养.
新知形成
知识点一　向量的数乘运算
1.向量的数乘运算
知识梳理
定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的乘积是一个______，这种求向量的实数倍的运算叫作向量的数乘，记作_____
规定 长度 ｜λa｜＝____________
方向 当λ＞0且a≠0时，λa的方向与a的方向______
当λ＜0且a≠0时，λa的方向与a的方向______
当λ＝0或a＝0时，λa＝___
向量
λa
｜λ｜｜a｜
相同
相反
0
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.
点拨　实数和向量可以求积，但不能求和或求差.
知识点二　共线向量
共线
向量 定义 当非零向量a，b方向______或______时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“____”来表示它们共线 (或平行)，记作_______
两个
向量
平行 充要条件 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b 存在实数λ，使得b＝_____或a＝λb
推广：证明A、B、C三点共线的充要条件
相同
相反
∥
a∥b
λa
向量的夹角 定义
范围
非零向量
∠AOB
＜a，b＞
点拨　(1)规定零向量与所有的向量平行.
(2)考虑两个向量是否平行时，不要忽略零向量.
(3)两个向量平行的充要条件要注意：向量a∥b 存在唯一的实数λ，使得a＝λb是错误的，比如a＝b＝0，那么λ∈R；a≠0，b＝0，那么λ不存在.
1
知识点四　数乘运算律
设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则满足如下运算律：
(1)(x＋y)a＝__________；
(2)x(ya)＝_______；
(3)x(a＋b)＝________.
xa＋ya
(xy)a
xa＋xb
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λ a的方向与a的方向一致. (　　)
(2)若λ a＝0，则a＝0. (　　)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b. (　　)
(4)任意两个单位向量都相等. (　　)
(5)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa. (　　)
自主检测
×
×
×
×
×
2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则
A.｜a｜＝｜b｜ B.4｜a｜＝｜b｜
C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
√
因为a＝4b，4＞0，所以｜a｜＝4｜b｜.因为4b与b的方向相同，所以a与b的方向相同.故选C.
3.(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是
A.m(a－b)＝ma－mb
B.(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b
D.若ma＝na(a≠0)，则m＝n
√
√
√
易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确.故选ABD.
梯形
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合作探究
典例
1
向量的线性运算的基本方法
1.类比方法：向量的数乘运算可类比代数多项式的运算.例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
2.方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
规律方法
典例
2
用已知向量表示其他向量的两种方法
1.直接法
2.方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
规律方法
√
典例
3
　　利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.
规律方法
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随堂评价
√
√
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课时分层
√
√
3.(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.｜－λa｜≥｜a｜ D.｜－λa｜≥｜λ｜·a
√
√
√
对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，故A不正确；而λ2＞0，故a与λ2a的方向相同，B正确；对于C，｜－λa｜＝｜λ｜｜a｜，由于｜λ｜的大小不确定，故｜－λa｜与｜a｜的大小关系不确定，故C错误；对于D，｜λ｜·a是向量，而｜－λa｜表示长度，两者不能比较大小，故D错误.故选ACD.
√
√
A，B，D
2∶3
16
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