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2.1.2　两角和与差的正弦公式
学习目标 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系，提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等，提升数学运算核心素养. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养的学业质量水平要求.
知识点　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的 正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
[点拨]　(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式S(α＋β)，S(α－β)可记为“异名相乘，符号同”.
符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“位置”要特别注意.
(3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则
sin(A＋B)＝sin C，sin(A＋C)＝sin B，sin(B＋C)＝sin A；
sin()＝cos，sin()＝cos，sin()＝cos.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.(　　)
(3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
2.sin 105°的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
3.已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin (α－β)等于(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：A
解析：因为α是第二象限角且sin α＝，
所以cos α＝－ ＝－.
又因为β是第四象限角，且cos β＝，
所以sin β＝－＝－.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝.
4.已知sin α＝，α∈，则sin＝　　　　　　　.
答案：
解析：因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以sin＝sin αcos －sin cos α
＝×－×＝.
学生用书 第51页
探究点一　给角求值问题
化简求值：
(1)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°；
(2).
解：(1)原式＝sin(29°＋90°)·sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin 29°
＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1° sin 29°
＝－(cos 29°sin 1°＋cos 1°sin 29°)
＝－sin(1°＋29°)＝－sin 30°
＝－.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝.
解决给角求值问题的策略
1.对于非特殊角的三角函数式的求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形.
2.一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分.解题时要注意逆用或变用公式.
对点练1.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：D
解析：因为cos 200°＝cos(180°＋20°)
＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，
所以原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50°
＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.
对点练2.化简求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)].
解：原式
＝·sin 80°
＝·cos 10°
＝2(sin 50°cos 10°＋sin 10°sin 40°)
＝2(sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°)
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
探究点二　给值求值问题
已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin的值；
(2)求sin β的值.
解：(1)因为α为锐角，sin α＝，
所以cos α＝＝，
所以sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝.
(2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
由cos(α＋β)＝，得
sin(α＋β)＝＝，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
解决给值求值问题的解题策略
1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
[提醒]　解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.
学生用书 第52页
对点练3.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，｜a－b｜＝.
(1)求cos(α－β)的值.
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝，求sin α的值.
解：(1)因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
所以a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
所以｜a－b｜2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
(2)因为0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝，
所以sin β＝－，且0＜α－β＜π.
又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，
所以sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×(－)＝.
探究点三　给值求角问题
已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π).
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又因为α∈，所以α＝.
给值求角问题的解题策略
1.解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
2.选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等.
对点练4.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝　　　　.
答案：
解析：由条件知cos α＝，cos (α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.又β为锐角，所以β＝.
1.(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A.sin＝sin cos ＋cos
B.cos ＝sin －cos cos
C.cos ＝cos cos ＋
D.cos ＝cos －cos
答案：ABC
解析：因为sin ＝，所以A正确；
因为cos ＝－cos ＝－cos ，
所以B正确；
因为cos ＝cos，所以C正确；
因为cos ＝cos≠cos －cos ，
所以D不正确.故选ABC.
2.sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°＝(　　)
A. B.
C. D.－
答案：B
解析：由诱导公式得sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°
＝sin 70°·cos 25°－cos 70°·sin 25°
＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝，故选B.
3.设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设α为锐角，若cos(α＋)＝，
0＜α＜，＜α＋＜，sin＝，
则sin α＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝.故选B.
4.已知tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜.
(1)求sin α和cos α；
(2)求β的值.
解：(1)因为tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜，
所以cos2α＝＝＝，
因为cos α＞0，所以cos α＝，
所以sin α＝＝.
(2)因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以cos(α－β)＝ ＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－sin(α－β)cos α，
＝×－×＝，
故β＝.
课时分层评价14　两角和与差的正弦公式
(时间：40分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8每小题5分，共40分)
1.(多选)下列各式正确的是(　　)
A.cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos 100°
B.cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
C.sin(α＋45°)cos α－cos(α＋45°)sin α＝sin 45°
D.cos(α＋)＝cos α＋cos α
答案：ABC
解析：A中左边＝cos(80°＋20°)＝cos 100°，
B中右边＝cos(45°＋30°)＝cos 75°，
C中左边＝sin[(α＋45°)－α]＝sin 45°，
D中左边＝cos α－sin α，故D错误.
故选ABC.
2.sin 15°＋sin 75°＝(　　)
A. B.1
C. D.
答案：C
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝.故选C.
3.已知sin(＋α)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是(　　)
A.－ B.
C. D. －
答案：D
解析：因为sin(＋α)＋sin α＝，
所以sincos α＋cossin α＋sin α＝，
即cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝，
即sin(α＋)＝，
所以sin(α＋)＝sin(π＋α＋)＝－sin(α＋)＝－，
故选D.
4.如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α.若｜AB｜＝1，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为点B的坐标为(，－)，
设∠BOC的大小为θ，0＜θ＜，
所以sin θ＝，cos θ＝，
因为∠AOC＝α，｜AB｜＝1，
则三角形OAB为等边三角形，
所以θ＋α＝.
则α＝－θ.
则sin α＝sin(－θ)＝sincos θ－cossin θ
＝×－×＝.
故选B.
5.若α，β均为锐角，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝(　　)
A. B.
C.或 D.－
答案：B
解析：因为α与β均为锐角，且sin α＝＞sin(α＋β)＝，
所以α＋β为钝角.
又由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－.
由sin α＝，得cos α＝.
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－(－)×＝，故选B.
6.已知sin＝－，则sin x＋sin＝　　　　.
答案：－1
解析：原式＝sin x＋sin＝sin x＋sin x－cos x＝sin x－cos x
＝×(sin x－cos x)
＝sin＝×(－)＝－1.
7.设sin(α－)＝2cos α·sin，则的值为　　　　.
答案：
解析：因为sin(α－)＝sin αcos－cos αsin＝2cos α·sin，
所以tan α＝3tan.
所以＝＝＝＝＝.
8.在△ABC中，若sin A＝2cos B·sin C，则该三角形的形状一定是　　　　　　.
答案：等腰三角形
解析：因为sin A＝2cos B·sin C，
A＋B＋C＝π，
所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
所以sin A＝sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C，
所以sin B·cos C＝cos B·sin C，
即sin B·cos C－cos B·sin C＝0，
所以sin(B－C)＝0，
因为B，C∈(0，π)，
所以B－C∈(－π，π)，
所以sin(B－C)＝0，即B－C＝0，
所以B＝C，则△ABC为等腰三角形.
9.(15分)化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β).
解：(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10.(15分)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)sin(2α－β)的值；(2)β的值.
解：(1)因为α，β∈，
所以α－β∈，
又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，
由题意得，sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝×＋×＝.
(2)sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
又因为β∈，所以β＝.
(11、12每小题5分，共10分)
11.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案：B
解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝
＝.
即＝，
化简得cos(B＋C)＝0，即cos(π－A)＝0，
所以cos A＝0.
因为0＜A＜π，所以A＝，又无法判断B是否等于C，
所以△ABC为直角三角形.
12.“在△ABC中，cos Acos B＝　　　　＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是　　　　　　.
答案：b＜a＜c
解析：由题意，横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0；当C是锐角时，－1＜b＝cos(A＋B)＜0；当C是钝角时，0＜c＝cos(A＋B)＜1.故b＜a＜c.(共52张PPT)
2.1.2　两角和与差的正弦公式
　
第2章　2.1　两角和与差的三角函数
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系，提升逻辑推理核心素养.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等，提升数学运算核心素养.
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养的学业质量水平要求.
学习目标
新知形成
知识点　两角和与差的正弦公式
知识梳理
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的
正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝
____________________________ α，β∈R
两角和的
正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝
____________________________ α，β∈R
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立. (　　)
(3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β. (　　)
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合作探究
典例
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解决给角求值问题的策略
1.对于非特殊角的三角函数式的求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形.
2.一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分.解题时要注意逆用或变用公式.
规律方法
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典例
2
解决给值求值问题的解题策略
1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
提醒　解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.
规律方法
典例
3
给值求角问题的解题策略
1.解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
2.选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等.
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8.在△ABC中，若sin A＝2cos B·sin C，则该三角形的形状一定是____________.
等腰三角形
因为sin A＝2cos B·sin C，
A＋B＋C＝π，
所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
所以sin A＝sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C，
所以sin B·cos C＝cos B·sin C，
即sin B·cos C－cos B·sin C＝0，
所以sin(B－C)＝0，
因为B，C∈(0，π)，
所以B－C∈(－π，π)，
所以sin(B－C)＝0，即B－C＝0，
所以B＝C，则△ABC为等腰三角形.
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12.“在△ABC中，cos Acos B＝__________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是______________.
b＜a＜c
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